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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:13 Mo 04.06.2007 | | Autor: | Riley |
| Aufgabe | Bei dem n-fachen, unabhängigem Messen einer physikalischen Größe [mm] \theta_0 [/mm] mit einem Messgerät der Varianz [mm] \sigma^2 [/mm] =4 ergeben sich 16 Werte (...).
(a) Teste zum Niveau [mm] \alpha=0.1 [/mm] unter der Annahme, dass die Messwerte gemäß einer Normalverteilung [mm] N(\theta,\sigma²) [/mm] verteilt sind:
[mm] H_0: \theta=10, H_1: \theta=12
[/mm]
(b) Teste zum Niveau [mm] \alpha [/mm] = 0.1 unter der Annahme, dass die Messwerte gemäß einer Normalverteilung [mm] N(\theta, \sigma²) [/mm] verteilt sind:
[mm] H_0: \theta [/mm] =10, [mm] H_1: \theta \not=10.
[/mm]
(c) Was ergibt sich in (a) und (b) falls die Varianz unbekannt ist? |
Hallo!
ich schreib mal auf was ich bisher habe:
[mm] \alpha=0,1
[/mm]
1- [mm] \alpha [/mm] Quantil: [mm] \phi^{-1}(0.9)=1.29
[/mm]
[mm] H_0 [/mm] : [mm] \theta [/mm] =10 [mm] \leq \theta_0
[/mm]
[mm] H_1: \theta [/mm] = 12 > [mm] theta_0
[/mm]
[mm] \psi(x) [/mm] = [mm] \begin{cases} 1, & \mbox{falls} T_1(x) > 1,29 \\ 0, & \mbox{falls } T_1(x) \leq 1,29 \end{cases}
[/mm]
hab nun versucht das mit dieser Formel zu berechnen:
[mm] T_1(x) [/mm] := [mm] \frac{1}{\sqrt{n \sigma²}} [/mm] ( [mm] \sum_{k=1}^{n} (x_k [/mm] - n [mm] \theta_0))
[/mm]
= [mm] \frac{1}{\sqrt{16 \cdot 4}} [/mm] ( [mm] \sum_{k=1}^{16} (x_k [/mm] - 16 [mm] \theta_0))
[/mm]
die 16 werte hab ich ja, die muss ich für [mm] x_k [/mm] einsetzen, aber was mach ich mit dem [mm] \theta_0 [/mm] ??
was sollte ich dafür einsetzen?
Viele Grüße,
Riley
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:32 Mo 04.06.2007 | | Autor: | luis52 |
Moin Riley,
du testest [mm] H$_0:\theta=\theta_0=10$!
[/mm]
lg
Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:41 Mo 04.06.2007 | | Autor: | Riley |
Hi Luis,
warum nehm ich [mm] H_0: \theta [/mm] = [mm] \theta_0 [/mm] ?
hab das mal gemacht, dann bekomm ich für [mm] T_1(x) \approx [/mm] 1,46 (ich glaub ich hab die klammer im letzten post falsch gesetzt)
also [mm] \psi(x) [/mm] = 1.
Heißt das also man verwirft Hypothese [mm] \theta_0 [/mm] ? und was ist mit [mm] H_1 [/mm] ??
Viele Grüße
Riley
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(Antwort) fertig | | Datum: | 06:41 Di 05.06.2007 | | Autor: | luis52 |
Hallo Riley,
> warum nehm ich [mm]H_0: \theta[/mm] = [mm]\theta_0[/mm] ?
du schaust dir die Verteilung der Pruefstatistik $T$ unter der Annahme an, dass die Nullhypothese korrekt ist. Nimmt sie dann einen zu "extremen Wert" $t$ an, so wird die Nullhypothese zugunsten der Alternativhypothese verworfen. "Extrem" kann bedeuten, dass unter der Nullhypothese gilt [mm] $P(T>t)\le \alpha$. [/mm] Trifft naemlich die Alternative
[mm] $\theta=12$ [/mm] zu, so wird $T$ dazu tendieren, eine Wert annehmen, der extrem gross ist, wenn die Nullhypothese [mm] $\theta=10$ [/mm] korrekt waere.
>
> hab das mal gemacht, dann bekomm ich für [mm]T_1(x) \approx[/mm]
> 1,46 (ich glaub ich hab die klammer im letzten post falsch
> gesetzt)
Ja.
> also [mm]\psi(x)[/mm] = 1.
>
> Heißt das also man verwirft Hypothese [mm]\theta_0[/mm] ?
Ja.
> und was ist mit [mm]H_1[/mm] ?
Vermutlich trifft [mm]H_1[/mm] zu.
lg
Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 07:53 Di 05.06.2007 | | Autor: | Riley |
Morgen Luis,
danke für deine Erklärung!
Könnte man eigentlich auch die Alternativthese testen und dann die Nullhypothese verwerfen (falls es andersrum wäre) ?
was muss ich dann aber bei der (b) noch machen?'weil wenn ich da [mm] H_0: \theta=10 [/mm] teste, ist es doch erstmal das gleiche ...?
und bei der (c) wenn die Varianz nicht gegeben ist, komm ich auf
[mm] T_1(x) [/mm] = [mm] \frac{11,67}{\sqrt{14 \sigma^2}}=\frac{2,9175}{\sigma}
[/mm]
Muss ich dann einfach nur schauen für welches sigma [mm] T_1(x) [/mm] größer 1,29 wird? also falls [mm] \sigma< [/mm] 2,2616 verwerfe wieder Hypothese [mm] \theta_0 [/mm] ...?
oder muss ich bei der (b) und (c) ein ganz anderes Testverfahren nehmen...?
Viele Grüße,
Riley
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:05 Di 05.06.2007 | | Autor: | luis52 |
> Morgen Luis,
>
> danke für deine Erklärung!
>
> Könnte man eigentlich auch die Alternativthese testen und
> dann die Nullhypothese verwerfen (falls es andersrum wäre)
> ?
Ja.
>
> was muss ich dann aber bei der (b) noch machen?'weil wenn
> ich da [mm]H_0: \theta=10[/mm] teste, ist es doch erstmal das
> gleiche ...?
Nicht ganz. Hier wuerden grosse oder kleine Werte von $T$ gegen die Nullhypothese sprechen. Du orientierst dich dann am 5%- und am 95%-Punkt der Standardnormalverteilung und nicht wie bislang am 90%-Punkt.
>
> und bei der (c) wenn die Varianz nicht gegeben ist, komm
> ich auf
> [mm]T_1(x)[/mm] = [mm]\frac{11,67}{\sqrt{14 \sigma^2}}=\frac{2,9175}{\sigma}[/mm]
>
> Muss ich dann einfach nur schauen für welches sigma [mm]T_1(x)[/mm]
> größer 1,29 wird? also falls [mm]\sigma<[/mm] 2,2616 verwerfe wieder
> Hypothese [mm]\theta_0[/mm] ...?
> oder muss ich bei der (b) und (c) ein ganz anderes
> Testverfahren nehmen...?
Letzteres. Habt ihr schon die t-Verteilung behandelt?
lg
Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:36 Di 05.06.2007 | | Autor: | Riley |
Hallo Luis,
das ist das Problem- wir sind damit nicht mehr durchgekommen und sollen im Skript mal weiterblättern, da kommt eine t-Verteilung vor. Habs mir auch grade mal bei wiki gesucht...
Wie ich das allerdings hier verwenden müsste ist mir noch nicht klar ...?
Viele Grüße,
Riley
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:52 Mi 06.06.2007 | | Autor: | Riley |
Frage kann deaktiviert werden!
Danke ;)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:05 Di 05.06.2007 | | Autor: | luis52 |
Hallo Riley,
ich schreibe mal die Teststatistik um:
[mm] $T_1(x) [/mm] = [mm] \frac{\sum_k x_k - n \theta_0}{\sqrt{n \sigma^2}}=\frac{\bar x - \theta_0}{\sqrt{\sigma^2/n}} [/mm] $.
mit [mm] $\bar x=\sum x_k/n$. [/mm] Ersetzt man [mm] $\sigma^2$ [/mm] durch den fuer [mm] $\sigma^2$ [/mm] erwartungstreuen Schaetzer [mm] $\widehat{\sigma^2}=\sum_k(x_k-\bar x)^2/(n-1)$, [/mm] so resultiert
$ [mm] T_2(x) [/mm] = [mm] \frac{\bar x - \theta_0}{\sqrt{\widehat{\sigma^2}/n}} [/mm] $.
Im Gegensatz zu [mm] $T_1(x)$ [/mm] ist [mm] $T_2(x)$ [/mm] *nicht* standardnormalverteilt sondern t-verteilt mit $n-1$ Freiheitsgraden. Die Testphilosophie bleibt aber erhalten, nur orientierst du dich nun an den Prozentpunkten der t-Verteilung. Mehr dazu wahrscheinlich in deiner naechsten Vorlesung.
lg
luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:59 Di 05.06.2007 | | Autor: | Riley |
Hallo Luis,
danke für deine Antwort!
ich hab ![[]](/images/popup.gif) hier so eine Tabelle gefunden. Man hat hier ja dann 15 Freiheitsgrade, aber wie komm ich an die Prozentpunkte?
Viele Grüße,
Riley
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:09 Di 05.06.2007 | | Autor: | luis52 |
Hallo Riley,
fuer df=15 liest du den 90%-Punkt der t(15)-Verteilung mit 1,341 ab.
lg
Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:36 Di 05.06.2007 | | Autor: | Riley |
Hi Luis,
ahso, wegen [mm] \alpha...
[/mm]
Ah, ich hab in unsrem Skript weiter hinten noch was gefunden:
[mm] \psi(x) [/mm] = [mm] \begin{cases} 1, & \mbox{falls } |T_3(x)|>c \\ 0, & \mbox{falls } |T_3(x)| \leq c\end{cases}
[/mm]
und c wählt man [mm] c=t_{n-1,1-\frac{\alpha}{2}} [/mm] als (1- [mm] \frac{\alpha}{2}) [/mm] - Quantil der t-Verteilung mit den n-1 Freiheitsgraden. Ist das dann der Wert den wir aus der Tabelle abgelesen haben?
Gibt es noch ein Trick [mm] T_2(x) [/mm] zu berechnen?
hab das mal so versucht:
[mm] T_2(x) [/mm] = [mm] \frac{\frac{1}{16} 171,67 - 10}{\frac{1}{16*15} \sum_{k=1}^{16} (x_k - \frac{171,67}{16})} \approx [/mm] 4.89
wobei [mm] \sum_{k=1}^{n}x_k=171.67.
[/mm]
D.h. man verwirft wieder die Nullhyothese weil 4.89 > c ?
Was hat das aber mit der Varianz auf sich, wenn die net bekannt ist?
Viele Grüße,
Riley
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:23 Di 05.06.2007 | | Autor: | luis52 |
> Ist das dann der Wert den wir aus der
> Tabelle abgelesen haben?
Ja.
Du musst zwei Tests durchfuehren, einen fuer (a) und einen fuer (b).
Bei (a) brauchst du den 90%-Punkt der t(15)-Verteilung, bei (b) den 5%-
und den 95%-Punkt.
>
> Gibt es noch ein Trick [mm]T_2(x)[/mm] zu berechnen?
Was misfaellt dir denn?
> hab das mal so versucht:
>
> [mm]T_2(x)[/mm] = [mm]\frac{\frac{1}{16} 171,67 - 10}{\frac{1}{16*15} \sum_{k=1}^{16} (x_k - \frac{171,67}{16})} \approx[/mm]
> 4.89
>
> wobei [mm]\sum_{k=1}^{n}x_k=171.67.[/mm]
Fehlt dir nicht ein Quadrat und eine Wurzel im Nenner? Also:
[mm] $\frac{\frac{1}{16} 171,67 - 10}{\sqrt{\frac{1}{16\cdot{}15}\sum_{k=1}^{16} (x_k - \frac{171,67}{16})^2}} [/mm] $
Kann ich nicht nachvollziehen, da du nach wie vor nicht verraetst, was sich hinter (...) in deiner Aufgabenstellung versteckt.
>
> D.h. man verwirft wieder die Nullhyothese weil 4.89 > c ?
Was ist denn nun $c$?
>
> Was hat das aber mit der Varianz auf sich, wenn die net
> bekannt ist?
Das ist ja gerade der Witz! Vergleiche [mm] $T_1(x)$ [/mm] und [mm] $T_2(x)$. [/mm] Bei [mm] $T_2(x)$
[/mm]
wird Varianz durch den Schaetzer ersetzt, eben weil sie unbekannt ist.
lg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:06 Di 05.06.2007 | | Autor: | Riley |
Guten Abend Luis,
danke für deine Hilfe!
Teil (a) ist erledigt mit [mm] T_1(x) [/mm] = 1,4588.
Teil (b) hab ich nochmal berechnet. In meiner Aufgabenstellung stehen die (...) nur für die 16 werte, die hab ich gedacht muss ich nicht abtippen...
ich hab nun für [mm] \overline{x} [/mm] = 10,7294 und für [mm] \hat{\sigma^2} [/mm] = 5,6411.
[mm] \Rightarrow T_2(x) [/mm] = [mm] \frac{19,7 - 10}{\sqrt{\frac{1}{16} 5,6411}} [/mm] = 1,23
zu Teil(c):
Wenn ich unser Skript richtig verstehe ist c eben der Wert aus der t-Verteilungstabelle.
für (a) hast du gemeint ich soll 90% nehmen, also ist c=1,341.
für (b) wie kommst du nun auf die 95% bzw 5 % ? hat das nichts mit dem 1 - [mm] \alpha [/mm] = 0,9 zu tun? und 5% kann ich in der tabelle gar nicht finden...
und was muss ich mit den Werten aus der Tabelle nun genau machen?
hmm, kannst du mir bitte noch helfen den Witz an der Aufgabe zu verstehen? Wir haben die Varianz durch den schäzer ersetzt, aber da kommen ja ziemlich ähnliche werte raus:
[mm] T_1(x) [/mm] = 1,4588 und [mm] T_2(x) [/mm] = 1,2284 ??
Viele Grüße,
Riley
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:38 Di 05.06.2007 | | Autor: | luis52 |
Hallo Riley,
ich bin etwas verwirrt. Bei Teil (a) und (b) arbeiten wir mit [mm] $T_1(x)$,
[/mm]
da [mm] $\sigma^2=4$ [/mm] als bekannt vorausgesetzt wird. Bei (a) lehnst du die
Nullhypothese ab, wenn [mm] $T_1(x)>z_{0.9}=1.282$ [/mm] eintritt. Bei (b) lehnst
du die Nullhypothese ab, wenn [mm] $T_1(x)
[mm] $T_1(x)>z_{0.95}=1.645$ [/mm] eintritt. In jedem Fall soll das
Signifikanzniveau [mm] $\alpha=0.1$ [/mm] verwendet werden. Du kannst [mm] $\alpha$ [/mm] als
die Wahrscheinlichkeit einer irrtuemlichen Ablehnung der Nullhypothese
interpretieren. Bei (b) musst du [mm] $\alpha$ [/mm] halbieren, da die Nullhypothese
fuer grosse und kleine Werte abgelehnt wird.
Bei (c) arbeitest du mit [mm] $T_2(x)$, [/mm] da [mm] $\sigma^2=4$ [/mm] nun nicht mehr bekannt
ist. Die Ueberlegungen von (a) und (b) gelten hier analog, jedoch musst du hier statt mit der Standardnormalverteilung mit der t(15)-Verteilung arbeiten. Du brauchst also fuer (c,a) den 90%-Punkt der t(15)-Verteilung, also wie bereits gesagt 1.341. Fuer (c,b) brauchst du den 5%-Punkt und den 95%-Punkte der t(15)-Verteilung, also [mm] $\pm [/mm] 1.753$.
Dass da aehnliche Werte herauskommen, ist nicht verwunderlich, da [mm] $\widehat{\sigma^2}$ [/mm] als erwartungstreuer Schaetzer von [mm] $\sigma^2$ [/mm] in dessen Naehe liegen sollte. Aber dadurch, dass du mit der t-Verteilung arbeitest, wirst du vorsichtiger, da du [mm] $\sigma^2$ [/mm] nicht kennst. Beachte, dass die Prozentpunkte der t-Verteilung "im allgemeinen" betragsmaessig groesser sind als die der Standardnormalverteilung.
lg
Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:38 Mi 06.06.2007 | | Autor: | Riley |
GUten Morgen Luis,
erst nochmal vielen Dank! Also dann hab ich das so nun richtig verstanden:
(a) ich lehne [mm] H_0 [/mm] ab, weil [mm] T_1(x)=1,4586 [/mm] > [mm] z_{0,9}=1,282
[/mm]
(b) lehne [mm] H_0 [/mm] nicht ab, da [mm] T_1(x) [/mm] = 1,4586 > [mm] z_{0.05}=-1.645 [/mm] und [mm] T_1(x) [/mm] =1,4586< [mm] z_{0,95}=1,645
[/mm]
(c)
zur (a) lehe [mm] H_0 [/mm] ab, falls [mm] T_2(x) [/mm] > 1,341
[mm] T_2(x) [/mm] = 1,23< 1,341 also lehne ich sie nicht ab.
zur (b) lehne [mm] H_0 [/mm] ab, falls [mm] T_2(x) [/mm] < - 1,753 oder [mm] T_2(x) [/mm] > 1,753
beides nicht der Fall, also lehne ich sie nicht ab.
Stimmt das nun so?
d.h. bei (a) lehnt man [mm] H_0 [/mm] bei bekannter Varianz ab, bei unbekannter aber nicht... ?
Viele Grüße,
Riley
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:12 Mi 06.06.2007 | | Autor: | luis52 |
> Also dann hab ich das so nun
> richtig verstanden:
> (a) ich lehne [mm]H_0[/mm] ab, weil [mm]T_1(x)=1,4586[/mm] > [mm]z_{0,9}=1,282[/mm]
>
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> (b) lehne [mm]H_0[/mm] nicht ab, da [mm]T_1(x)[/mm] = 1,4586 >
> [mm]z_{0.05}=-1.645[/mm] und [mm]T_1(x)[/mm] =1,4586< [mm]z_{0,95}=1,645[/mm]
>
> (c)
> zur (a) lehe [mm]H_0[/mm] ab, falls [mm]T_2(x)[/mm] > 1,341
> [mm]T_2(x)[/mm] = 1,23< 1,341 also lehne ich sie nicht ab.
>
> zur (b) lehne [mm]H_0[/mm] ab, falls [mm]T_2(x)[/mm] < - 1,753 oder [mm]T_2(x)[/mm] >
> 1,753
> beides nicht der Fall, also lehne ich sie nicht ab.
> Stimmt das nun so?
> d.h. bei (a) lehnt man [mm]H_0[/mm] bei bekannter Varianz ab, bei
> unbekannter aber nicht... ?
>
Ja. Da die Varianz unbekannt ist, verhaeltst du dich bei
deiner Entscheidung vorsichtiger.
lg
Luis
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:52 Mi 06.06.2007 | | Autor: | Riley |
Hi Luis,
besten Dank für deine geduldigen Erklärungen!! habs verstanden *freu*
Viele Grüße,
Riley
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:00 Mi 06.06.2007 | | Autor: | luis52 |
> Hi Luis,
>
> besten Dank für deine geduldigen Erklärungen!! habs
> verstanden *freu*
>
Uff! 
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