Tetraederwurf < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:15 Mo 08.02.2010 | | Autor: | elba |
| Aufgabe | Ein Tetraeder beschriftet mit den Zahlen 0,1,2,3 wird n-mal unabhängig geworfen, [mm] n\ge [/mm] 3
a) Beschreiben sie die Situation durch ein geeignetes Zufallsmodell [mm] (\Omega,P)
[/mm]
b)Stellen Sie die folgenden Ereignisse als Teilmengen von [mm] \Omega [/mm] dar, und berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten.
A [mm] \hat= [/mm] die Augenzahl des ersten Wurfes ist ungerade und die des letzten Wurfes ist größer als Null.
B [mm] \hat= [/mm] Die Augenzahl von genau zwei Würfen ist kleiner als 2.
C [mm] \hat= [/mm] Das Produkt der Augenzahlen ist 0. |
meine Lösungen oder Ansätze:
a) [mm] \Omega= \{\omega=\(\omega_{1},...,\omega_{n}\)|\omega_{i}=\{0,...,3\} \forall 3 \le i \le n und \forall 0 \le \omega \le 3\}
[/mm]
b) für das Ereignis A:
im ersten Wurf gibt es ja [mm] \vektor{4 \\ 2} [/mm] Möglichkeiten eine gerade Zahl zu würfeln, für die nächsten Würfe bleiben (n-2) [mm] *\vektor{4 \\ 4} [/mm] Möglichkeiten Zahlen von 0-3 zu würfeln, und für den letzten Wurf bleiben [mm] \vektor{4 \\ 3} [/mm] Möglichkeiten Zahlen zu würfeln, die größer als Null sind.
|A|= [mm] \vektor{4 \\ 2}*(n-2)* \vektor{4 \\ 4} [/mm] * [mm] \vektor{4 \\ 3}
[/mm]
dann wäre [mm] \IP(A)= \bruch{|A|}{|\Omega}= \bruch{\vektor{4 \\ 2}*(n-2)* \vektor{4 \\ 4} * \vektor{4 \\ 3}}{4^n}
[/mm]
Ereignis B:
[mm] \IP(X=2)= \vektor{n \\ 2} [/mm] * [mm] (0,5)^2 [/mm] * [mm] 0,5^{n-2}
[/mm]
Stimmt das so weit??
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:25 Mo 08.02.2010 | | Autor: | abakus |
> Ein Tetraeder beschriftet mit den Zahlen 0,1,2,3 wird n-mal
> unabhängig geworfen, [mm]n\ge[/mm] 3
> a) Beschreiben sie die Situation durch ein geeignetes
> Zufallsmodell [mm](\Omega,P)[/mm]
> b)Stellen Sie die folgenden Ereignisse als Teilmengen von
> [mm]\Omega[/mm] dar, und berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten.
> A [mm]\hat=[/mm] die Augenzahl des ersten Wurfes ist ungerade und
> die des letzten Wurfes ist größer als Null.
> B [mm]\hat=[/mm] Die Augenzahl von genau zwei Würfen ist kleiner
> als 2.
> C [mm]\hat=[/mm] Das Produkt der Augenzahlen ist 0.
> meine Lösungen oder Ansätze:
>
> a) [mm]\Omega= \{\omega=\(\omega_{1},...,\omega_{n}\)|\omega_{i}=\{0,...,3\} \forall 3 \le i \le n und \forall 0 \le \omega \le 3\}[/mm]
>
> b) für das Ereignis A:
> im ersten Wurf gibt es ja [mm]\vektor{4 \\ 2}[/mm] Möglichkeiten
Wie bitte?
Von den 4 Zahlen sind zwei gerade. Die Wahrscheinlichkeit dafür ist 1/2.
> eine gerade Zahl zu würfeln, für die nächsten Würfe
> bleiben (n-2) [mm]*\vektor{4 \\ 4}[/mm] Möglichkeiten Zahlen von
> 0-3 zu würfeln,
... was völlig belanglos ist...
> und für den letzten Wurf bleiben
> [mm]\vektor{4 \\ 3}[/mm] Möglichkeiten Zahlen zu würfeln, die
> größer als Null sind.
Nein Es sind 3 (von 4 möglichen) Zahlen größer als 0.
> |A|= [mm]\vektor{4 \\ 2}*(n-2)* \vektor{4 \\ 4}[/mm] * [mm]\vektor{4 \\ 3}[/mm]
>
> dann wäre [mm]\IP(A)= \bruch{|A|}{|\Omega}= \bruch{\vektor{4 \\ 2}*(n-2)* \vektor{4 \\ 4} * \vektor{4 \\ 3}}{4^n}[/mm]#
Es gilt P(A)=0,5*0,75.
Gruß Abakus
>
> Ereignis B:
> [mm]\IP(X=2)= \vektor{n \\ 2}[/mm] * [mm](0,5)^2[/mm] * [mm]0,5^{n-2}[/mm]
>
>
> Stimmt das so weit??
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:31 Mo 08.02.2010 | | Autor: | elba |
ja, das hatte ich auch erst so. und dann hab ich irgendwie versucht auf die Anzahl der Möglichkeiten in A zu kommen.
Also gilt dann für [mm] \IP(A)= \bruch{1}{2} [/mm] * [mm] (\bruch{3}{4})^{n-2}??
[/mm]
[mm] \IP(A)= \bruch{1}{2} [/mm] * [mm] (\bruch{3}{4}) [/mm] gilt doch nur bei n=3, oder?
Oder muss man einfach nur die W'keit für den ersten und letzten Wurf beachten, da ja für alle Würfen dazwischen, die W'keit 1 beträgt, da alle Würfe erlaubt sind??
zu c) die W'keit keine 0 zu werfen, ist doch: ( [mm] \bruch{3}{4} )^{n}. [/mm] Dann ist die W'keit eine 0 zu werfen,: [mm] 1-(\bruch{3}{4})^{n}. [/mm] Und somit auch die W'keit dafür, dass das Produkt der Augenzahlen 0 ist!?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:45 Mo 08.02.2010 | | Autor: | tobit09 |
> ja, das hatte ich auch erst so. und dann hab ich irgendwie
> versucht auf die Anzahl der Möglichkeiten in A zu kommen.
> Also gilt dann für [mm]\IP(A)= \bruch{1}{2}[/mm] *
> [mm](\bruch{3}{4})^{n-2}??[/mm]
Nein. (Berechne [mm] $\IP(A)$ [/mm] mithilfe vom richtigen Wert für $|A|$, wie ich ihn in der anderen Antwort angegeben habe.)
> [mm]\IP(A)= \bruch{1}{2}[/mm] * [mm](\bruch{3}{4})[/mm] gilt doch nur bei
> n=3, oder?
Nein, wie du feststellst, wenn du [mm] $\IP(A)$ [/mm] wie von mir vorgeschlagen ausrechnest.
> Oder muss man einfach nur die W'keit für den ersten und
> letzten Wurf beachten, da ja für alle Würfen dazwischen,
> die W'keit 1 beträgt, da alle Würfe erlaubt sind??
Gute Intuition!
> zu c) die W'keit keine 0 zu werfen, ist doch: (
> [mm]\bruch{3}{4} )^{n}.[/mm] Dann ist die W'keit eine 0 zu werfen,:
> [mm]1-(\bruch{3}{4})^{n}.[/mm] Und somit auch die W'keit dafür,
> dass das Produkt der Augenzahlen 0 ist!?
Gut! Die Ideen zur Berechnung der Wahrscheinlichkeit des Ereignisses C hast du. Ich nehme mal an, ihr müsst eure Vorgehensweise noch anhand eines stochastischen Modells (am besten anhand von dem aus a)) begründen.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:34 Mo 08.02.2010 | | Autor: | tobit09 |
Hallo elba,
> a) [mm]\Omega= \{\omega=\(\omega_{1},...,\omega_{n}\)|\omega_{i}=\{0,...,3\} \forall 3 \le i \le n und \forall 0 \le \omega \le 3\}[/mm]
Vielleicht nur Tippfehler? Es muss [mm] $\omega_i\in\{0,\ldots,3\}$ [/mm] statt [mm] $\omega_i=\{0,\ldots,3\}$ [/mm] heißen. Dies muss für alle [mm] $1\le i\le [/mm] n$ und nicht nur für alle [mm] $3\le i\le [/mm] n$ gelten. $0 [mm] \le \omega \le [/mm] 3$ macht keinen Sinn, da [mm] $\omega$ [/mm] ja für ein Tupel, nicht für eine Zahl steht.
Zur a) fehlt noch die Angabe einer Wahrscheinlichkeitsverteilung.
> b) für das Ereignis A:
Das muss noch als Teilmenge von [mm] $\Omega$ [/mm] angegeben werden.
> im ersten Wurf gibt es ja [mm]\vektor{4 \\ 2}[/mm] Möglichkeiten
> eine gerade Zahl zu würfeln, für die nächsten Würfe
> bleiben (n-2) [mm]*\vektor{4 \\ 4}[/mm] Möglichkeiten Zahlen von
> 0-3 zu würfeln, und für den letzten Wurf bleiben
> [mm]\vektor{4 \\ 3}[/mm] Möglichkeiten Zahlen zu würfeln, die > größer als Null sind.
> |A|= [mm]\vektor{4 \\ 2}*(n-2)* \vektor{4 \\ 4}[/mm] * [mm]\vektor{4 \\ 3}[/mm]
Nein. Es gibt 2 gerade Zahlen aus [mm] $\{0,\ldots,3\}$, [/mm] 4 beliebige Zahlen aus dieser Menge und 3 Zahlen größer 0 aus dieser Menge. Also gilt [mm] $|A|=2\cdot4^{n-2}\cdot3$.
[/mm]
> dann wäre [mm]\IP(A)= \bruch{|A|}{|\Omega}= \bruch{\vektor{4 \\ 2}*(n-2)* \vektor{4 \\ 4} * \vektor{4 \\ 3}}{4^n}[/mm]
Folgerichtig. Insbesondere ist die Berechnung von [mm] $|\Omega|$ [/mm] korrekt.
> Ereignis B:
Muss wieder noch als Teilmenge von [mm] $\Omega$ [/mm] geschrieben werden.
> [mm]\IP(X=2)= \vektor{n \\ 2}[/mm] * [mm](0,5)^2[/mm] * [mm]0,5^{n-2}[/mm]
Du solltest auf jeden Fall erklären, wofür die Zufallsgröße X stehen soll. Das Ergebnis stimmt (man kann noch die letzten beiden Faktoren zusammenfassen). Ich nehme mal an, ihr dürft nicht einfach irgendein Endergebnis hinschreiben, sondern müsst es anhand eures Modells begründen?
Viele Grüße
Tobias
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:12 Mo 08.02.2010 | | Autor: | elba |
Ich hab mal versucht für A ein Modell anzugeben:
A [mm] \hat= \{\omega=\omega_{1},...,\omega_{n}|\omega_{i} \in \Omega, \omega_{1}\in{0,1}, \omega_{2}=...=\omega_{n-1}\in\{0,1,2,3\}, \omega_{n}\in\{1,2,3\}\}
[/mm]
kann man das so in der Art machen??
Bei B hab ich das Problem, dass ich nicht weiß wie ich die zwei [mm] \omega [/mm] bezeichnen soll, die genau die Augenzahl <2 sein sollen.
B [mm] \hat=\{\omega=\omega_{1},...,\omega_{n}|\omega_{i}\in \Omega, \omega_{i}\in \{0,1,2,3\}, \omega_{j}=\omega_{k}\in \{0,1\}\}
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:47 Mo 08.02.2010 | | Autor: | tobit09 |
> Ich hab mal versucht für A ein Modell anzugeben:
> A [mm]\hat= \{\omega=\omega_{1},...,\omega_{n}|\omega_{i} \in \Omega, \omega_{1}\in{0,1}, \omega_{2}=...=\omega_{n-1}\in\{0,1,2,3\}, \omega_{n}\in\{1,2,3\}\}[/mm]
(Bei [mm] $(\omega_1,\ldots,\omega_n)$ [/mm] die Klammern nicht vergessen.) [mm] $\omega$ [/mm] soll aus [mm] $\Omega$ [/mm] sein, nicht irgendwelche [mm] $\omega_i$. [/mm] Die weiteren Bedingungen passen, abgesehen davon, dass nicht [mm] $\omega_2=\ldots=\omega_{n-1}$ [/mm] gelten muss, sondern nur [mm] $\omega_2,\ldots,\omega_{n-1}\in\{0,1,2,3\}$. [/mm] (Das ergibt sich schon automatisch aus [mm] $\omega\in\Omega$, [/mm] aber das schadet ja nicht.)
> Bei B hab ich das Problem, dass ich nicht weiß wie ich die
> zwei [mm]\omega[/mm] bezeichnen soll, die genau die Augenzahl <2
> sein sollen.
Meiner Meinung nach sollte man die Bedingung, dass es genau 2 [mm] $i\in\{1,\ldots,n\}$ [/mm] gibt mit [mm] $\omega_i\in\{0,1\}$ [/mm] auch genau so in Worten hinschreiben dürfen. Manche Übungsleiter sehen das anders und wollen es lieber in Zeichen formuliert haben: [mm] $|\{i\in\{1,\ldots,n\}\;|\;\omega_i\in\{0,1\}\}|=2$.
[/mm]
> B [mm]\hat=\{\omega=\omega_{1},...,\omega_{n}|\omega_{i}\in \Omega, \omega_{i}\in \{0,1,2,3\}, \omega_{j}=\omega_{k}\in \{0,1\}\}[/mm]
Hier würde ich das gleiche kritisieren wie bei A. Außerdem ist unklar, ob es existieren j,k oder für alle j,k gemeint ist. Wenn existieren j,k mit [mm] $j\not=k$ [/mm] gemeint: Dann würde diese Menge für das Ereignis MINDESTENS in zwei Würfen Zahlen kleiner 2 stehen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:52 Mo 08.02.2010 | | Autor: | elba |
ok, dann erstmal Danke bis hier hin.
die klammern hatte ich, nur hab ich manchmal das \ davor vergessen, deswegen waren die dann nicht mehr zu sehen.
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