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| Aufgabe 1 | Die Funktion f hat die Funktionsgleichung [mm] f(X)-6e^{-0,5x}+6e^{-3x}+6=6(1-e^{-0,5x}+e^{-3x})
[/mm]
Für einen Teil des Definitionsbereichs ist der Graph der Funktion gegeben:
(Abbildung)
a) Der Funktionsterm ist die Summe von drei Termen, zwei mit positiven Vorzeichen, einem mit negativen Vorzeichen.
Beschreiben Sie ausgehend vom Graphen, das Verhalten der Funktion im Hinblick auf folgende Fragen:
Wie arbeiten die drei Terme für den Funktionswert bei x=0 zusammen?
Warum fällt die Funktion für kleine x?
Warum steigt die Funktion wieder?
Warum bestimmt der Term 6 das Verhalten der funktion für große x? |
| Aufgabe 2 | b) Die Gleichung f'(x)=0 ist äquivalent zu der Gleichung [mm] e^{-0,5x}=6 *e^{-3x} [/mm] und damit auch äquivalent zu der Gleichung -0,5x=ln(6)-3x.
Untersuchen Sie unter Verwendung dieses Hinweises die Funktion f auf Extrempunkte. |
| Aufgabe 3 | c) Untersuchen Sie die Funktion f auf Wendestellen.
(Verwenden Sie zur Berechnung die in b) vorgestellte Methode.) |
Hallo,
vorweg ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt. Diese Aufgabe ist ziemlich lang und für mich auch dementsprechend schwierig vom Text her zu verstehen. Ich denke da bin ich nicht der einzige...
Ich kenne mich leider mit der Bedienung noch nicht so aus, daher hoffe ich mal, dass Ihr mir Unleserlichkeiten/Fehler verzeiht.
So zu meinem Lösungsansatz:
a)Wie arbeiten die drei Terme für den Funktionswert bei x=0 zusammen?
-Hier fiel mir leider nichts ein...
Warum fällt die Funktion für kleine x?
-Es fällt,weil der x-Wert immer kleiner wird.
Warum steigt die Funktion wieder?
-Sie steigt, da der Y-Wert wieder größer wird.
Warum bestimmt der Term 6 das Verhalten der funktion für große x?
-Hier fiel mir wieder nichts ein...
b) Ich wusste nicht genau was ich mit diesen Hinweisen anfangen sollte, daher wollte ich einfachmal herrausfinden was passiert, wenn ich die 1.Ableitung nehme und die gleich null setzte.
[mm] f(x)=-6e^{-0,5x}+6e^{-3x}+6
[/mm]
[mm] f'(x)=-0,5/dot(-6)^{-0,5x}-3/dot6e^{-3x}
[/mm]
[mm] f'(x)=3e^{-0,5x}-18e^{-3x}
[/mm]
[mm] 0=3e^{-0,5x}-18e^{-3x} |+18e^{-3x}
[/mm]
[mm] 18e^{-3x}=3e^{-0,5x} [/mm] --> Hier kam ich nicht weiter, weil ich weder /log noch /ln anwenden kann.
c) Zu dieser Aufgabe konnte ich noch nichts berechnen, da ich die f-Funktion nicht habe oder ist damit die Ausgangsfunktion [mm] f(x)=-6^{-0,5x}+... [/mm] gemeint?
Die restlichen Aufgabenbereiche poste ich später. Ich möchte erstmal einen Teil abgearbeitet haben.
Ich hoffe Ihr könnt mir trozdem helfen auch wenn Ihr das Bild nicht habt.
Vielen Dank schonmal im Voraus!
Liebe Grüße
lernwillig
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:20 Mi 29.08.2012 | | Autor: | meili |
Hallo lernwillig,
> Die Funktion f hat die Funktionsgleichung
> [mm]f(X)-6e^{-0,5x}+6e^{-3x}+6=6(1-e^{-0,5x}+e^{-3x})[/mm]
> Für einen Teil des Definitionsbereichs ist der Graph der
> Funktion gegeben:
> (Abbildung)
>
> a) Der Funktionsterm ist die Summe von drei Termen, zwei
> mit positiven Vorzeichen, einem mit negativen Vorzeichen.
> Beschreiben Sie ausgehend vom Graphen, das Verhalten der
> Funktion im Hinblick auf folgende Fragen:
> Wie arbeiten die drei Terme für den Funktionswert bei x=0
> zusammen?
> Warum fällt die Funktion für kleine x?
> Warum steigt die Funktion wieder?
> Warum bestimmt der Term 6 das Verhalten der funktion für
> große x?
> b) Die Gleichung f'(x)=0 ist äquivalent zu der Gleichung
> [mm]e^{-0,5x}=6 *e^{-3x}[/mm] und damit auch äquivalent zu der
> Gleichung -0,5x=ln(6)-3x.
> Untersuchen Sie unter Verwendung dieses Hinweises die
> Funktion f auf Extrempunkte.
> c) Untersuchen Sie die Funktion f auf Wendestellen.
> (Verwenden Sie zur Berechnung die in b) vorgestellte
> Methode.)
> Hallo,
> vorweg ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt. Diese Aufgabe ist ziemlich lang
> und für mich auch dementsprechend schwierig vom Text her
> zu verstehen. Ich denke da bin ich nicht der einzige...
Die Aufgaben 1 - 3 bzw. a) bis c) ist eine typische Kurvendiskussion.
Habt ihr Kurvendiskussionen z.B. schon mit Polynomen gemacht?
Dann ist es leichter den roten Faden bei der Aufgabe nicht zu verlieren.
Nur kommen hier noch die besonderen Eigenschaften von e-Funktionen hinzu.
> Ich kenne mich leider mit der Bedienung noch nicht so aus,
> daher hoffe ich mal, dass Ihr mir Unleserlichkeiten/Fehler
> verzeiht.
>
> So zu meinem Lösungsansatz:
> a)Wie arbeiten die drei Terme für den Funktionswert bei
> x=0 zusammen?
> -Hier fiel mir leider nichts ein...
Einfach mal 0 in die Funktion einsetzen: $f(0) = [mm] -6*e^{-0,5*0}+6*\cdots$, [/mm]
und berechen was für die einzelnen Summanden raus kommt,
und insgesamt.
>
> Warum fällt die Funktion für kleine x?
> -Es fällt,weil der x-Wert immer kleiner wird.
Diese Argumentation stimmt für monoton wachsende Funktionen.
>
> Warum steigt die Funktion wieder?
> -Sie steigt, da der Y-Wert wieder größer wird.
Das ist fast eine Tautologie.
Ja warum wird der Y-Wert wieder größer?
>
> Warum bestimmt der Term 6 das Verhalten der funktion für
> große x?
> -Hier fiel mir wieder nichts ein...
Für alle Fragen bei a) solltest Du
die Funktionen [mm] $h_1(x) [/mm] = [mm] e^x, h_2(x) [/mm] = [mm] e^{-x}, h_3(x) [/mm] = [mm] e^{-3x}, h_4(x) [/mm] = [mm] e^{-\bruch{1}{2}x}$ [/mm] zeichen oder plotten lassen,
damit Du siehst, wie sie verlaufen.
Wie ist das Verhalten für sehr große
oder sehr kleine x?
>
> b) Ich wusste nicht genau was ich mit diesen Hinweisen
> anfangen sollte, daher wollte ich einfachmal herrausfinden
> was passiert, wenn ich die 1.Ableitung nehme und die gleich
> null setzte.
> [mm]f(x)=-6e^{-0,5x}+6e^{-3x}+6[/mm]
> [mm]f'(x)=-0,5/dot(-6)^{-0,5x}-3/dot6e^{-3x}[/mm]
> [mm]f'(x)=3e^{-0,5x}-18e^{-3x}[/mm]
>
> [mm]0=3e^{-0,5x}-18e^{-3x} |+18e^{-3x}[/mm]
> [mm]18e^{-3x}=3e^{-0,5x}[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Diese Gleichung noch durch 3 teilen, und es ist der Hinweis.
Die rechte und die linke Seite der Gleichung [mm]6e^{-3x}=e^{-0,5x}[/mm] logaritmieren:
[mm]ln(6e^{-3x})=ln(e^{-0,5x})[/mm]
und  Logarithmengesetze anwenden.
> --> Hier kam ich nicht weiter, weil ich weder /log noch /ln
> anwenden kann.
>
> c) Zu dieser Aufgabe konnte ich noch nichts berechnen, da
> ich die f-Funktion nicht habe oder ist damit die
> Ausgangsfunktion [mm]f(x)=-6^{-0,5x}+...[/mm] gemeint?
Ja, die Ausgangsfunktion, da sich c) auf b) bezieht, und bei b) auch die
Ausgangsfunktion gemeint ist.
>
> Die restlichen Aufgabenbereiche poste ich später. Ich
> möchte erstmal einen Teil abgearbeitet haben.
>
> Ich hoffe Ihr könnt mir trozdem helfen auch wenn Ihr das
> Bild nicht habt.
> Vielen Dank schonmal im Voraus!
> Liebe Grüße
> lernwillig
>
Gruß
meili
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