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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:49 Sa 17.12.2005 | | Autor: | SusanneS |
| Aufgabe | | Man bewiese, dass die Summe aus dem Produkt von 4 aufeinanderfolgenden ungeraden ganzen Zahlen und der Zahl 16 eine Quadratzahl ergibt. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Könnte mir jemand beim Lösen dieser einfach aussehenden Aufgabe helfen?
Mein Ansatz war:
((2x+1)*(2x+3)*(2x+5)*(2x+7))+16=y²
Leider kam ich nach dem Ausmultiplizieren nicht mehr weiter. Kann es sein, dass schon der Ansatz falsch ist?
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Hallo SusanneS,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Man beweise, dass die Summe aus dem Produkt von 4
> aufeinanderfolgenden ungeraden ganzen Zahlen und der Zahl
> 16 eine Quadratzahl ergibt.
> Mein Ansatz war:
> ((2x+1)*(2x+3)*(2x+5)*(2x+7))+16=y²
> Leider kam ich nach dem Ausmultiplizieren nicht mehr
> weiter. Kann es sein, dass schon der Ansatz falsch ist?
Das ist der Ansatz. Allerdings wäre hier vielleicht ein anderer Ansatz besser. Ein Ansatz, der dir z.B. erlauben würde die 3te binomische Formel anzuwenden. Damit müßtest Du nicht so viel ausmultiplizieren, und die Rechnung wäre nicht mehr so fehleranfällig:
[mm]\begin{gathered}
\left( {2x - 3} \right)\left( {2x - 1} \right)\left( {2x + 1} \right)\left( {2x + 3} \right) + 16 = \left( {2x - 3} \right)\left( {2x + 3} \right)\left( {2x - 1} \right)\left( {2x + 1} \right) + 16 \hfill \\
\mathop = \limits^{\begin{subarray}{l}
{\text{3te binomische}} \\
{\text{Formel}}
\end{subarray}} \left( {\left( {2x} \right)^2 - 9} \right)\left( {\left( {2x} \right)^2 - 1} \right) + 16 = \left( {4x^2 - 9} \right)\left( {4x^2 - 1} \right) + 16 \hfill \\
= \left( {4x^2 - 9} \right)\left( {4x^2 - 9 + 8} \right) + 16 = \left( {4x^2 - 9} \right)^2 + 8\left( {4x^2 - 9} \right) + 16 \hfill \\
= \left( {4x^2 - 9} \right)^2 + 32x^2 - 72 + 16 = 16x^4 - 72x^2 + 81 + 32x^2 - 56 \hfill \\
= 16x^4 - 40x^2 + 25 \hfill \\
\end{gathered}[/mm]
Ersetze [mm] $x^4$ [/mm] durch [mm] $z^2$. [/mm] Wende jetzt die 2te binomische Formel an:
[mm]16z^2 - 40z + 25 = \left( {4z} \right)^2 - 2 \cdot 5 \cdot 4z + 5^2 = \left( {4z - 5} \right)^2[/mm]
Damit ist die Aussage bewiesen.
Viele Grüße
Karl
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