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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:55 Mi 20.10.2004 | | Autor: | Pfeifeje |
In einem Dorf gibt es 3000 Telefonanschlüsse.
Wie viele Telefonverbindungen sind innerhalb dieses Dorfes möglich ?
Ich benötige eine einfache Lösungserklärung für ein zehnjähriges Kind.
schon mal Danke
* Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:14 Mi 20.10.2004 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> In einem Dorf gibt es 3000 Telefonanschlüsse.
> Wie viele Telefonverbindungen sind innerhalb dieses Dorfes
> möglich ?
>
> Ich benötige eine einfache Lösungserklärung für ein
> zehnjähriges Kind.
Hm, ja, eine Lösung kann ich anbieten, aber wie man die für ein zehnjähriges Kind formulieren kann, so dass es verständlich ist, damit kann ich leider nicht (wirklich) dienen.
Also: Wir geben jedem Telefonanschluss eine Nummer, bei $1$ beginnend und bei $3000$ endend. Wir starten die Verbindungsvergabe bei der Nummer $1$/dem ersten Anschluss.
Die Nummer $1$/Der erste Anschluss kann dann mit den $2999$ anderen Telefonanschlüssen/Nummern verbunden werden (die Verbindung mit sich selbst ist ja unsinnig  ). Der zweite Anschluss ist bereits mit dem ersten verbunden. Für die Nummer $2$/Für den zweiten Anschluss gibt es also noch $2998$ Nummern/Telefonanschlüsse, die zur Verbindung in Frage kommen. Für den dritten Anschluss bleiben (wegen der gleichen Überlegung) noch $2997$ Verbindungen möglich etc.
Insgesamt kommt man also auf:
$2999+2998+2997+2996+...+3+2+1=:x$
mögliche Telefonverbindungen im Dorf.
Dafür gibt es eine Formel:
[mm] $\sum_{k=1}^{n}{k}:=1+2+3+...+n=\frac{n}{2}(n+1)$.
[/mm]
In deinem Fall ist $n=2999$, und man berechnet dann $x$ mit der Formel zu:
$x=4498500$.
Liebe Grüße
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:11 Mi 20.10.2004 | | Autor: | Pfeifeje |
Danke erstmal für die schnelle Beantwortung meiner Frage !
So aufwendig hätte ich die Lösung nicht parat gehabt.
Ich meinte die Lösung wäre 3000 * 2999 = 8997000 Verbindungen gibt
es bei 3000 Telefonanschlüssen.
Jens
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:33 Mi 20.10.2004 | | Autor: | Marcel |
Hallo Jens,
bei 4 Anschlüssen gäbe es ja nach dir: $4*3=12$ Verbindungen
(Deine Idee müsste dann ja so aussehen, zumindest passt deine Rechnung zu dem Folgenden) (Nummerierungen wie eben):
$(I)$ $(1;2), (1;3), (1;4),$
$(II)$ $(2;1), (2;3), (2;4),$
$(III)$ $(3;1), (3;2), (3;4),$
$(IV)$ $(4;1), (4;2), (4;3)$
Siehst du, warum es dort zuviele Möglichkeiten gibt? In Zeile $(I)$ kommt ja schon das Tupel $(1;2)$ vor, deswegen brauchen das Tupel $(2;1)$ nicht mehr in der Zeile $(II)$. In Zeile $(III)$ steht das Tupel $(3;2)$, was wir aber dort nicht mehr brauchen, weil es schon in Zeile $(II)$ als $(2;3)$ steht. Ebenso steht in Zeile $(III)$ das Tupel $(3;1)$, welches aber als $(1;3)$ auch in der ersten Zeile steht. Wenn man in der Aufgabe nicht gerade unterscheidet zwischen Hin- und Rückverbindungen, dann passt dieser Lösungsweg nicht. Sobald man ja eine Verbindung $(1;3)$ hat, braucht man ja nicht noch eine Verbindung $(3;1)$ zu legen!
So, welche Verbindungen brauchen wir denn (bei $4$ Anschlüssen)?
$(1,2), (1;3), (1;4)$
$(2;3), (2;4),$
$(3;4)$
Also hätten wir bei $4$ Anschlüssen $1+2+3=6$ Verbindungen. Ist es jetzt klarer? 
Liebe Grüße
Marcel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:47 Mi 20.10.2004 | | Autor: | Marcel |
Hallo nochmal,
etwas einfacher kann man es doch noch machen:
Es gibt ja (das entspricht in etwa deiner Überlegung) $3000*2999$ Möglichkeiten für die Verbindungen, wenn man "Hin- und Rückverbindungen" zwischen den Anschlüssen legen würde (eine Verbindung eines Anschlusses zu sich selbst macht ja, wie gesagt, keinen Sinn).
(Wenn man das ganze als Zwei-Tupel schreibt, hat man ja für die erste Stelle $3000$ Zahlen zur Verfügung, und dann für die zweite noch $2999$.)
Man braucht aber nur halb so viele, da man ja nur eine Verbindung zwischen zwei Anschlüssen braucht. Dann erhält man das Ergebnis:
[mm] $\frac{3000*2999}{2}=\frac{8997000}{2}=4498500$
[/mm]
In der Tat scheint diese Überlegung einfacher zu sein und vielleicht für einen zehnjährigen besser geeignet. Aber du siehst:
Wir erhalten mit beiden Überlegungen das gleiche Ergebnis!
Liebe Grüße
Marcel
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