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| Aufgabe |
Wenn es auf Fibo in einem Jahr a Paare geschlechtsreifer Kaninchen gibt, und b Paare noch nicht geschlechtsreifer Kaninchen, dann wird die Population im folgenden Jahr durch folgende Formel berechnet:
[mm] $\vektor{a´ \\ b´}=\pmat{ 1 & 1 \\ 1 & 0 }*\vektor{a \\ b}$
[/mm]
Um die Beobachtungen auf Fibo etwas interessanter zu machen, wird eines Tages ein einzelner Fuchs dort ausgesetzt. Damit wird die Population der Tiere auf Fibo
durch einen Vektor der folgenden Form beschreiben:
[mm] \vektor{a\\ b\\f}
[/mm]
Dabei sind a wieder die geschlechtsreifen Kaninchen, b die noch nicht geschlechtsreifen
Kaninchen (jeweils als einzelne Tiere angegeben) und f ist die Anzahl der
Fuchse. Geben Sie die Matrix an, mit der sich die Population des folgenden Jahres
berechnen lasst, wenn der Fuchs in einem Jahr 30 geschlechtsreife und 50 noch
nicht geschlechtsreife Kaninchen frisst. |
kann mir einer einen Tipp geben, mit welcher vorgehehsweise man das ausrechnet und um welche matrix, also m x n Matrix handelt es sich. ich finde es etwas komisch... die Gleichungen auszurechnen, da sie zu viele Unbekannte hat oder kann man etwas aus der alten Matrix übernehmen?
[mm] z.B.\vektor{100-30 \\ 80-50\\1}=Matrix*\vektor{80\\ 20\\1} [/mm] die matrix hat ja zu viel unbekannte wo ist mein Denkfehler?
Lg
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> Wenn es auf Fibo in einem Jahr a Paare geschlechtsreifer
> Kaninchen gibt, und b Paare noch nicht geschlechtsreifer
> Kaninchen, dann wird die Population im folgenden Jahr durch
> folgende Formel berechnet:
> [mm]\vektor{a´ \\ b´}=\pmat{ 1 & 1 \\ 1 & 0 }*\vektor{a \\ b}[/mm]
>
Die kannst du jetzt natürlich verwenden, weil sich an diesen Angaben zunächst mal nichts ändert - es kommt eben nur ein dritter Eintrag im Vektor dazu und entsprechend braucht auch die Matrix :
Für a' gilt aufgrund der obigen Angabe doch: a' = a + b
Neu gilt dafür: a' = a + b - 30
Für b' gilt entsprechend: b' = a - 50
Und für f' gilt: f' = f (und sogar: f' = f = 1 = const)
So kannst du dir jetzt die neue Matrix basteln:
[mm]\vektor{a´ \\ b´ \\ f'}=\pmat{ 1 & 1 & -30 \\ 1 & 0 & -50 \\ 0 & 0 & 1}*\vektor{a \\ b \\ f}[/mm]
Wie gesagt - für die konkrete Berechnung kannst du ja f=1 einsetzen, dann hast du auch nicht mehr Unbekannte als vorher  .
Vielleicht wirkt das auf den ersten Blick etwas übertrieben, aber du beschreibst ja mit der Matrix den Übergang deiner Population von einem Zustand zum nächsten. Und zum Zustand gehört eben auch die Anzahl der Füchse mit dazu, auch wenn die sich in deinem vereinfachten Beispiel nicht ändert.
> Um die Beobachtungen auf Fibo etwas interessanter zu
> machen, wird eines Tages ein einzelner Fuchs dort
> ausgesetzt. Damit wird die Population der Tiere auf Fibo
> durch einen Vektor der folgenden Form beschreiben:
>
> [mm]\vektor{a\\ b\\f}[/mm]
> Dabei sind a wieder die
> geschlechtsreifen Kaninchen, b die noch nicht
> geschlechtsreifen
> Kaninchen (jeweils als einzelne Tiere angegeben) und f ist
> die Anzahl der
> Fuchse. Geben Sie die Matrix an, mit der sich die
> Population des folgenden Jahres
> berechnen lasst, wenn der Fuchs in einem Jahr 30
> geschlechtsreife und 50 noch
> nicht geschlechtsreife Kaninchen frisst.
> kann mir einer einen Tipp geben, mit welcher vorgehehsweise
> man das ausrechnet und um welche matrix, also m x n Matrix
> handelt es sich. ich finde es etwas komisch... die
> Gleichungen auszurechnen, da sie zu viele Unbekannte hat
> oder kann man etwas aus der alten Matrix übernehmen?
> [mm]z.B.\vektor{100-30 \\ 80-50\\1}=Matrix*\vektor{80\\ 20\\1}[/mm]
Du hast ja nicht nur in einem Übergang diesen Verlust von 30 und 50 Kaninchen, sondern bei jedem Übergang. Folgerung: Diese Information muss in der Übergangsmatrix drin stecken, nicht in einem Zustandsvektor.
> die matrix hat ja zu viel unbekannte wo ist mein
> Denkfehler?
> Lg
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