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| Aufgabe | Eine Kupferkugel wird auf 100°C erhitzt und zur Zeit t=0 in Wasser getaucht, das auf einer Temperatur von 30°C gehalten wird. Gemäß des Newton'schen Gesetzes der Abkühlung ist die Änderungsrate der Temperatur der Kupferkugel T' proportional zum Temperaturunterschied zwischen Kupferkugel und Wasser. Es gilt also
[mm] T'\,=\,k\,(T-30)\,,
[/mm]
mit einer Proportionalitätskonstante [mm] k\,.
[/mm]
Bestimmen Sie die Lösung der Differentialgleichung
[mm] T'\,=\,k\,(T-30)\,,\qquad [/mm] T(0)=100
in Abhängigkeit von [mm] k\,.
[/mm]
Nach 3 min im Wasser ist die Temperatur der Kugel auf 70°C gesunken, d.h. [mm] T(3)\,=\,70\,.
[/mm]
Bestimmen Sie die Proportionalitätskonstante [mm] k\, [/mm] und geben Sie das Ergebnis auf vier Nachkommastellen gerundet an.
Antwort: [mm] \qquad k\,=\,
[/mm]
Rechnen Sie mit dem gerundeten Ergebnis für k weiter und geben Sie die alle weiteren Ergebnisse auf eine Nachkommastelle gerundet an.
Nach 5 min beträgt die Temperatur der Kugel
°C,
und nach 10 min beträgt die Temperatur der Kugel
°C.
Nach welcher Zeit hat sich die Kupferkugel auf 31°C abgekühlt?
Antwort: [mm] \qquad [/mm] Nach Minuten. |
Hallo.
Ich soll die oben beschriebene Textaufgabe lösen und weiß nicht so recht weiter.
Gegeben ist T'=k(T-30) [mm] \Rightarrow [/mm] T'=kT-30k
Wobei T eine Funktion darstellt->T(x), so meine Vermutung.
Ferner weiß man, dass k eine Konstante ist.
Die Differentialgleichung soll lauten:
T'=k*(T-30) T(0)=100
und zwar in Abhängigkeit von k.
Wenn es heißen würde:
T'=T so wäre die gesuchte Funktion [mm] e^x=T
[/mm]
Würde es heißen T'=T*k so müsste die Funktion [mm] T=e^{kx} [/mm] lauten.
Nun lautet die Funktion aber T'=k*T-30k und hier komme ich gerade nicht weier.
Ich dachte an [mm] T=e^{xk}-30kx
[/mm]
Das würde abgeleitet k*e^xk-30k ergeben, wäre damit aber nicht in der Form T'=k*(T-30)
Habt ihr einen Tip?
Viele Grüße und danke im Voraus.
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Hallo Masseltof,
> Eine Kupferkugel wird auf 100°C erhitzt und zur Zeit t=0
> in Wasser getaucht, das auf einer Temperatur von 30°C
> gehalten wird. Gemäß des Newton'schen Gesetzes der
> Abkühlung ist die Änderungsrate der Temperatur der
> Kupferkugel T' proportional zum Temperaturunterschied
> zwischen Kupferkugel und Wasser. Es gilt also
>
> [mm]T'\,=\,k\,(T-30)\,,[/mm]
>
> mit einer Proportionalitätskonstante [mm]k\,.[/mm]
>
>
>
> Bestimmen Sie die Lösung der Differentialgleichung
>
> [mm]T'\,=\,k\,(T-30)\,,\qquad[/mm] T(0)=100
>
> in Abhängigkeit von [mm]k\,.[/mm]
>
>
>
> Nach 3 min im Wasser ist die Temperatur der Kugel auf 70°C
> gesunken, d.h. [mm]T(3)\,=\,70\,.[/mm]
>
>
>
> Bestimmen Sie die Proportionalitätskonstante [mm]k\,[/mm] und geben
> Sie das Ergebnis auf vier Nachkommastellen gerundet an.
>
> Antwort: [mm]\qquad k\,=\,[/mm]
>
>
>
> Rechnen Sie mit dem gerundeten Ergebnis für k weiter und
> geben Sie die alle weiteren Ergebnisse auf eine
> Nachkommastelle gerundet an.
>
>
>
> Nach 5 min beträgt die Temperatur der Kugel
>
> °C,
>
> und nach 10 min beträgt die Temperatur der Kugel
>
> °C.
>
>
>
> Nach welcher Zeit hat sich die Kupferkugel auf 31°C
> abgekühlt?
>
> Antwort: [mm]\qquad[/mm] Nach Minuten.
>
> Hallo.
>
> Ich soll die oben beschriebene Textaufgabe lösen und weiß
> nicht so recht weiter.
>
> Gegeben ist T'=k(T-30) [mm]\Rightarrow[/mm] T'=kT-30k
> Wobei T eine Funktion darstellt->T(x), so meine
> Vermutung.
> Ferner weiß man, dass k eine Konstante ist.
>
> Die Differentialgleichung soll lauten:
> T'=k*(T-30) T(0)=100
> und zwar in Abhängigkeit von k.
>
> Wenn es heißen würde:
> T'=T so wäre die gesuchte Funktion [mm]e^x=T[/mm]
> Würde es heißen T'=T*k so müsste die Funktion [mm]T=e^{kx}[/mm]
> lauten.
>
> Nun lautet die Funktion aber T'=k*T-30k und hier komme ich
> gerade nicht weier.
> Ich dachte an [mm]T=e^{xk}-30kx[/mm]
> Das würde abgeleitet k*e^xk-30k ergeben, wäre damit aber
> nicht in der Form T'=k*(T-30)
>
> Habt ihr einen Tip?
>
Die DGL
[mm]T'=k*(T-30)[/mm]
kann z.B. durch ![[]](/images/popup.gif) Trennung der Variablen gelöst werden.
> Viele Grüße und danke im Voraus.
Gruss
MathePower
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