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Forum "Lineare Gleichungssysteme" - Textaufgabe LGS
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Textaufgabe LGS: Gauß
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:38 Mi 11.03.2009
Autor: Janina09

Aufgabe
Lebensvorgänge erfordern Energie, die durch Atmung gewonnen wird. Dabei werden Sauerstoff (O2) reduziert und organische Stoffe (O6H12O6) oxidiert, sodass Kohlenstoffdioxid CO2 und Wasser entsteht!

bin mir nicht sicher ob das stimmt:

x1 O2 + x2 O6H12O6 -----> x3 CO2 + x4 H2O

O: 2x1 = x4
    2x1 = 2x3
    2x1= 6x2

H: 12x2 = 2x4

??



Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
    

        
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Textaufgabe LGS: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:53 Mi 11.03.2009
Autor: M.Rex

Hallo und [willkommenmr]

schreib die zahlen besser als Indizes, dann wirds übersichtlicher:

[mm] x_{1}*O_{2}+x_{2}*O_{6}H_{12}O_{6}\mapsto x_{3}*CO_{2}+ x_{4}*H_{2}O [/mm]


Irgendwo vor dem Pfeil sollte C stehen, meinst du vielleicht [mm] C_{6}H_{12}O_{6}? [/mm] Das C kann ja nicht einfach so auftauchen.

Ich rechne mal damit
Also:
[mm] x_{1}*O_{2}+x_{2}*C_{6}H_{12}O_{6}\mapsto x_{3}*CO_{2}+ x_{4}*H_{2}O [/mm]


Und jetzt gehe alle drei Grundstoffe durch:

[mm] O:2x_{1}+6x_{2}=2x_{3}+x_{4} [/mm]
[mm] H:12x_{2}=2x_{4} [/mm]
[mm] C:6x_{2}=x_{3} [/mm]

Damit bekommst du folgendes unterbestimmtes Gleichungssystem, dass du so lösen sollst, dass die [mm] x_{i} [/mm] ganzzahlig werden.

[mm] \vmat{2x_{1}+6x_{2}-2x_{3}-x_{4}=0\\12x_{2}-2x_{4}=0\\6x_{2}-x_{3}=0} [/mm]
[mm] \gdw\vmat{2x_{1}+6x_{2}-2x_{3}-x_{4}=0\\6x_{2}-x_{4}=0\\6x_{2}-x_{3}=0} [/mm]

Marius

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Textaufgabe LGS: Frage (reagiert)
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 14:21 Mi 11.03.2009
Autor: Janina09

Danke, soweit hab ich es jetzt vestanden!

es haldelt sich ja um ein überbestimmter Lösungssystem..

jetzt habe ich versucht es mit dem Gauß´schen Algorithmus zu lösen (x4=c)

aber dann habe ich nie eine Zeile in der nur noch z.b c= 8 steht... weil die stelle wo ich null hatte jedes mal durch addiern verloren geht...
?

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Textaufgabe LGS: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:46 Mi 11.03.2009
Autor: angela.h.b.


> Danke, soweit hab ich es jetzt vestanden!
>
> es haldelt sich ja um ein überbestimmter Lösungssystem..

Hallo,

nein,

wie Marius schon sagte: es ist unterbestimmt, dh.

es hat weniger Gleichungen als Variablen, mit der Folge, daß Du keine eindeutige Lösung zu erwarten hast.

> jetzt habe ich versucht es mit dem Gauß´schen Algorithmus
> zu lösen (x4=c)
>  
> aber dann habe ich nie eine Zeile in der nur noch z.b c= 8
> steht... weil die stelle wo ich null hatte jedes mal durch
> addiern verloren geht...
>  ?

Vielleicht stellst Du mal lieber Deine Rechnung daselbst hier vor, solchen Rechengeschichten  zu folgen ist schwer.

Gruß v. Angela

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Textaufgabe LGS: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:01 Mi 11.03.2009
Autor: Janina09

Ok, also ich hab es jetzt so gemacht:

2  6  -2  -1  |  0
0  12 0   -2 |  0
0  6    -1  0  | 0

x4 = c

2x1 + 6x2 -2x3 -1c = 0


12x2 - 2 c =0
6 x2 = c

6x2 - 1x3 = 0
6x2 = x3

2x1 + 6x2 - 2(6x2) - 6x2 = 0


??




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Textaufgabe LGS: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:21 Mi 11.03.2009
Autor: schachuzipus

Hallo Janina,

> Ok, also ich hab es jetzt so gemacht:
>  


> 2  6  -2  -1  |  0
>  0  12 0   -2 |  0
>  0  6    -1  0  | 0

[mm] $\pmat{2&6&-2&-1&\mid&0\\0&12&0&-2&\mid&0\\0&6&-1&0&\mid&0} [/mm] \ \ \ [mm] \leftarrow$ klick! > > [red]setze[/red] $x_4 = c$ [red]mit[/red] $\red{c\in\IR}$ > > 2x1 + 6x2 -2x3 -1c = 0 > > > 12x2 - 2 c =0 > 6 x2 = c [ok] Also $x_2=\frac{1}{6}c$ > > 6x2 - 1x3 = 0 > 6x2 = x3 Ja, nun ist ja $x_2=\frac{1}{6}c$, was ergibt sich also für $x_3$?? > > 2x1 + 6x2 - 2(6x2) - 6x2 = 0 Du hast nun (wenn du oben $x_3$ mal in c ausdrückst) alle Unbekannten $x_2,x_3,x_4$ in c ausgedrückt. Damit solltest du mit der ersten Zeile der Matrix auch $x_1$ in Abhängigkeit von c ausdrücken können LG schachuzipus [/mm]

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Textaufgabe LGS: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:39 Mi 11.03.2009
Autor: Janina09

hab jetzt 1/6 c für x2 eingesetzt und dann kommt für x1, x3 und x4 = c raus!

kann warscheinlich nicht sein! hmm.

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Textaufgabe LGS: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:44 Mi 11.03.2009
Autor: reverend

Hallo Janina,

immerhin löst [mm] x_1=x_3=x_4=6x_2 [/mm] das Gleichungssystem. Du hast also richtig gerechnet.

Da Du aber möglichst kleine ganzzahlige Lösungen haben willst, musst Du noch Dein c passend wählen. Das sollte Dir nicht mehr schwerfallen.

Grüße
reverend

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Textaufgabe LGS: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:43 Mi 11.03.2009
Autor: hawe

Ich frage mich, warum man eine eigentlich offensichtliche Lösung mit einem neuen Gauss-Problem zuhängen sollte? Die Ausgangsgleichungen waren

C: 6 x2 = x3
H: 12 x2 = 2 x4
O: 2 x1 + 6 x2 = 2 x3 + x4

C ist fertig und gibt x3 an
H ergibt die Aussage für x4
H': 6 x2 = x4

nun gehen x3 und x4 in O ein:

O': 2 x1 + 6 x2 = 2 * 6 x2 + 6 x2
O'  2 x1 = 12 x2
        x1 = 6 x2

Alles richtet sich nach x2, ganzzahlig, erste nicht triviale Lösung
x2 = 1  => x1 => x3 => x4

Habe fertig...

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Textaufgabe LGS: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:04 Mi 11.03.2009
Autor: Janina09

Danke! =)

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