Theorem von Egoroff < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:33 Mi 22.06.2005 | | Autor: | Sienna |
Hallo zusammen,
hier steht eine Aufgabe in meinem Übungsblatt, mit der ich gar nichts anfangen kann und wo ich auch im Internet und in meinen Büchern nichts gefunden habe. Hier die Aufgabe:
[mm]Q \subsetR^k [/mm] sei ein Quader und [mm](f_n)_n \inIN[/mm]
eine Folge von Stufenfunktionen auf Q, die in Q punktweise gegen eine Funktion f konvergiert.
1) Definiere [mm]g_n [/mm] durch [mm][mm] g_n=\left| f-f_n \right|[/mm] [mm].
Seien [mm] (\varepsilon_m)_m\inIN [/mm] eine monoton fallende Nullfolge von positiven Zahlen und [mm] Q_N,m [/mm] eine Teilmege von Q, wo [mm]g_n < \varepsilon_m[/mm] für [mm]n \ge N[/mm] Zeige:
[mm] \bigcup_{N=1}^{ \infty} Q_N,m=Q[/mm]
Es gibt auch einen Hinweis dazu: Zeige zuerst, dass [mm] Q_N,m \subset Q_{(N+1),m}[/mm]
2) Sei [mm] \delta > 0 [/mm] gegeben, zeige, dass für jedes [mm]m \in \IN[/mm] es ein n(m) gibt., so dass [mm] \mu (Q-Q_{n(m),m)} < \delta/2^m[/mm]
und zuletzt 3) Sei [mm] Q_0 = \bigcap_{n=1}^{ \infty} Q_n(i),i. [/mm]Zeige, dass [mm] [mm] (f_n) [/mm] in [mm]Q_0[/mm] gleichmäßig gegen f konvergiert.
Auch hier ein Hinweis: Benutze [mm]g_n ![/mm]
Ich weiß einfach nicht, wo und wie ich womit anfangen soll. Ich hoffe jemand kann mir auf die Sprünge helfen, das wäre supernett!
Vielen Dank schon mal fürs lesen,
Liebe Grüße Sienna.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:56 Do 23.06.2005 | | Autor: | Sienna |
Hallo nochmal,
habe schon das ganze Internet durchforstet, der Satz heißt auch:
Egoroffscher Satz bzw. Satz von Egoroff.
Leider gibt es nur Sachen im PS-Format und das macht mein Computer nicht mit. Hat vielleicht von euch noch jemand irgendeinen Tipp?
Ich bin immer noch daran interessiert - auch nächste Woche... 
Ich verstehe es nur nicht...???!!!
Liebe Grüße, Sienna
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo!
Gehen wir das mal Schritt für Schritt durch:
Zu 1).
Wir haben hier eine Folge von Funktionen mit [mm] $f_n(x)\to [/mm] f(x)$ für alle [mm] $x\in [/mm] Q$. Das bedeutet, dass es zu jedem [mm] $\varepsilon>0$ [/mm] ein [mm] $N\in \IN$ [/mm] gibt mit [mm] $g(x)=|f(x)-f_n(x)|<\varepsilon$.
[/mm]
Wir betrachten nun die Vereinigung [mm] $\bigcup Q_{N,m}$.
[/mm]
Sei nun [mm] $x\in [/mm] Q$. Also gibt es ein [mm] $N_0\in \IN$, [/mm] so dass [mm] $g_n(x)=|f(x)-f_n(x)|<\varepsilon_m$ [/mm] für alle [mm] $n\ge N_0$. [/mm] Also ist [mm] $x\in Q_{N_0,m}$ [/mm] und somit in der Vereinigung [mm] $\bigcup Q_{N,m}$. [/mm] Also ist [mm] $Q\subset \bigcup Q_{N,m}$.
[/mm]
Da [mm] $Q_{N,m}\subset [/mm] Q$ für alle $N$ gilt auch [mm] $\bigcup Q_{N,m}\subset [/mm] Q$. Also [mm] $\bigcup Q_{N,m}=Q$.
[/mm]
Zu 2).
Den Tipp braucht man meiner Ansicht nach erst hier:
Sei [mm] $m\in\IN$. [/mm] Da [mm] $Q=\bigcup\limits_{N=1}^\infty Q_{N,m}$, [/mm] ist [mm] $\mu(Q)=\mu\left(\bigcup\limits_{N=1}^\infty Q_{N,m}\right)$. [/mm] Wegen [mm] $Q_{N,m}\subset Q_{N+1,m}$ [/mm] für alle $N$ gilt also:
[mm] $\mu(Q)=\mu\left(\bigcup\limits_{N=1}^\infty Q_{N,m}\right)=\summe_{N=1}^\infty \mu\left(Q_{N,m}\setminus Q_{N-1,m}\right)$, [/mm] wobei wir [mm] $Q_{0,m}:=\emptyset$ [/mm] definieren.
Diese Reihe ist konvergent. Also gibt es ein [mm] $n(m)\in \IN$, [/mm] so dass [mm] $\summe_{N=n(m)+1}^\infty \mu\left(Q_{N,m}\setminus Q_{N-1,m}\right)<\bruch \delta{2^m}$.
[/mm]
Insbesondere ist [mm] $\mu\left(Q\setminus Q_{n(m),m}\right)=\mu\left(\bigcup\limits_{N=n(m)+1}^\infty (Q_{N,m}\setminus Q_{N-1,m})\right)=\summe_{N=n(m)+1}^\infty \mu\left(Q_{N,m}\setminus Q_{N-1,m}\right)<\bruch \delta{2^m}$.
[/mm]
Jetzt zeigen wir noch den Tipp:
Sei [mm] $x\in Q_{N,m}$. [/mm] Dann ist [mm] $g_n(x)<\varepsilon_m$ [/mm] für alle [mm] $n\ge [/mm] N$. Insbesondere ist [mm] $g_n(x)<\varepsilon_m$ [/mm] für alle [mm] $n\ge [/mm] N+1$. Also ist [mm] $x\in Q_{N+1,m}$.
[/mm]
Damit ist [mm] $Q_{N,m}\subset Q_{N+1,m}$.
[/mm]
Zu 3):
Sei [mm] $\varepsilon>0$. [/mm] Dann gibt es ein [mm] $m\in\IN$, [/mm] so dass [mm] $\varepsilon_m<\varepsilon$. [/mm] Dann gilt für jedes [mm] $x\in Q_0$: $x\in Q_{n(m),m}$. [/mm]
Also ist für alle [mm] $x\in Q_0$ [/mm] und für alle [mm] $n\ge [/mm] n(m)$:
[mm] $|f_n(x)-f(x)|<\varepsilon_m<\varepsilon$.
[/mm]
Das ist die gleichmäßige Konvergenz.
Ich hoffe, dass das alles so richtig ist. Hast du alle Schritte verstanden? Oder soll ich dir den einen oder anderen nochmal ausführlicher erläutern?
Gruß, banachella
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