Theoretischer Fehler Spline < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:21 Mi 07.01.2009 | | Autor: | Franzie |
Hallo ihr Lieben!
Ich hab ein Programm geschrieben und soll anhand dessen die Fehler beim Newtonpolynom und beim kubischen Spline betrachten.
Newton würde ich mit folgender Formel abschätzen:
[mm] |f(x)-p_{n}(x)| \le \bruch{1}{(n+1)!}max|f^{(n+1)}(\mu)|max\produkt_{i=0}^{n}(x-x_{i})
[/mm]
Beim kubischen Spline weiß ich jetzt allerdings nicht recht, welche Formel ich zur Abschätzung des Fehlers benutzen kann.
Hab dazu nur folgende gefunden:
|s(x)-f(x)| [mm] \le ch^{4} [/mm] mit h:= max [mm] h_{i}
[/mm]
Stimmt diese Formel? Ich weiß hier nicht, was ich für das c für einen Wert einsetzen soll. Könnt ihr mir dabei helfen?
liebe Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:33 Mi 07.01.2009 | | Autor: | zetamy |
Hallo Franzie,
die von dir angegebene Fehleranschätzung ist für kubische Splines mit vollständigen Randbedingungen:
Ist [mm] $f\in C^4$ [/mm] und ist s ein kubischer Spline zu [mm] $x_0<\dots vollständigen Randbedingungen (also [mm] $s'(x_0)=f'(x_0),\ s'(x_n)=f'(x_n)$, [/mm] so gilt mit
$h:= [mm] \max_{0\leq k
[mm] $\left| f(x)-s(x)\right|\leq [/mm] h^4M$.
Die Fehlerabschätzung für kubische Splines ohne vollständige Randbedingungen ist - soweit ich weiß - nicht genau bestimmt: [mm] $\left| f(x)-s(x)\right|\leq O(h^2)$.
[/mm]
Gruß, zetamy
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:11 Mi 07.01.2009 | | Autor: | Franzie |
Ich hab leider natürliche Randbedingungen.
Was ist denn dein [mm] O(h^{2}) [/mm] in der von dir angegebenen Formel?
Es muss doch da was Geeignetes zur Abschätzung geben......
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:05 Mo 12.01.2009 | | Autor: | Franzie |
Danke dir. Die Formel sieht ganz gut aus. Woher hast du die denn? Hast du die Formulierung Formulierung exakt so übernommen?
liebe Grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:26 Mo 12.01.2009 | | Autor: | zetamy |
Hallo Franzie,
die Formulierung habe ich nicht übernommen, da ich lieber auf Deutsch statt auf Englisch antworte  Meine Quelle ist das Buch "Introductory Methods of Numerical Analysis" von Sastry.
Gruß, zetamy
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:16 Mo 12.01.2009 | | Autor: | Franzie |
Aha, okay. Könntest du mir noch Verlag, Erscheinungsjahr und Ort von dem Buch schicken? Dann würde ich das nämlich mal in der Bibliothek suchen.
liebe Grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:27 Mo 12.01.2009 | | Autor: | zetamy |
"Introductory Methods of Numerical Analysis" von Sastry, Prentice-Hall of India Pvt.Ltd, 2006, 4. Ausgabe ... und damit du nicht so lange suchen musst: Seite 119, Theorem 3.1 
zetamy
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:40 Mo 12.01.2009 | | Autor: | Franzie |
Vielen Dank. Wird mir sicher weiter helfen.
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> Hallo ihr Lieben!
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> Ich hab ein Programm geschrieben und soll anhand dessen die
> Fehler beim Newtonpolynom und beim kubischen Spline
> betrachten.
> Newton würde ich mit folgender Formel abschätzen:
> [mm]|f(x)-p_{n}(x)| \le \bruch{1}{(n+1)!}max|f^{(n+1)}(\mu)|max\produkt_{i=0}^{n}(x-x_{i})[/mm]
>
> Beim kubischen Spline weiß ich jetzt allerdings nicht
> recht, welche Formel ich zur Abschätzung des Fehlers
> benutzen kann.
> Hab dazu nur folgende gefunden:
> |s(x)-f(x)| [mm]\le ch^{4}[/mm] mit h:= max [mm]h_{i}[/mm]
> Stimmt diese Formel? Ich weiß hier nicht, was ich für das
> c für einen Wert einsetzen soll. Könnt ihr mir dabei
> helfen?
>
> liebe Grüße
Hallo Franzie,
wenn ein "Fehler" abgeschätzt werden soll, müsste
man zuerst wissen, was für eine "exakte" Funktion
denn überhaupt approximiert werden soll.
Bei Taylorpolynomen ist dies normalerweise klar:
Man geht von einer gegebenen nicht-polynomialen
Funktion aus und nähert diese in einer Umgebung der
Stützstelle [mm] x_0 [/mm] durch ihr Taylorpolynom (von einem
niedrigen Grad n) an. Damit wird die Abschätzung
des maximal möglichen Fehlers in einer bestimmten
Umgebung von [mm] x_0 [/mm] eine konkrete Aufgabe.
Damit die Frage nach dem maximalen Fehler bei
einem kubischen Spline ebenso konkret wird, müsste
man also zuerst genau wissen, welche Funktion man
denn damit zu approximieren vorhat. Ohne eine
solche Angabe ist die Aufgabe sinnlos !
Gruß Al-Chw.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:35 Do 08.01.2009 | | Autor: | Franzie |
Ich habe folgende Funktionen durch einen Spline zu interpolieren:
[mm] f(x)=e^{-155*(x-\bruch{11}{27})^{2}} [/mm] und außerdem
[mm] f(x)=sin(32x)arctan(e^{8x-5})
[/mm]
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> Ich habe folgende Funktionen durch einen Spline zu
> interpolieren:
> [mm]f(x)=e^{-155*(x-\bruch{11}{27})^{2}}[/mm] und außerdem
> [mm]f(x)=sin(32x)arctan(e^{8x-5})[/mm]
Rückfrage:
In welchem Intervall und mit welchen (Rand-) Bedingungen ?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:09 Do 08.01.2009 | | Autor: | Franzie |
Ich habe das Intervall [0,1] mit natürlichen Randbedingungen
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> Ich habe das Intervall [0,1] mit natürlichen
> Randbedingungen
.... die dann wohl lauten:
Der Spline s und die Funktion f sollen an den beiden
Intervallenden, also bei x=0 und bei x=1, in ihren
Funktionswerten und den Werten der ersten Ableitung
übereinstimmen.
In deiner ursprünglichen Anfrage hast du geschrieben:
"Ich hab ein Programm geschrieben und soll anhand
dessen die Fehler beim Newtonpolynom und beim
kubischen Spline betrachten."
Ich vermute, dass unter diesen Umständen und bei
den vorliegenden doch eher exotischen Funktionen
gar nicht irgendeine "theoretische Abschätzung"
der Fehler erwartet wird, sondern eine numerische
Berechnung.
Wenn dein Programm z.B. schon die Koeffizienten
der Spline-Funktion s berechnet, könntest du einfach
etwa so vorgehen:
(Pascal, aber sicher auch gut verständlich, wenn dir
diese Sprache nicht vertraut sein sollte)
a:=0; b:=1; n:=1000;
maxfehler:=0;
for k:=0 to n do
begin
x:= a+k*(b-a)/n;
d:=abs(s(x)-f(x));
if d>maxfehler then maxfehler:=d;
end;
write(maxfehler)
d.h. das Intervall wird in (z.B.) 1000 kleinen Schritten
durchgescannt und der grösste dabei auftretende
Fehler ermittelt.
Gruß al-Chwarizmi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:47 So 11.01.2009 | | Autor: | Franzie |
Meine Erörterung des Problems war schon richtig. Ich soll sowohl den numerischen als auch den theoretischen Fehler bestimmen, auch bei diesen exotischen Funktionen. Und wie der numerische Fehler bestimmt wird, weiß ich bereits und habe das auch dementsprechend programmiert. Ich soll das nun aber mit dem theoretischen Fehler vergleichen, also brauche ich eine Abschätzung nach oben.....................
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> Meine Erörterung des Problems war schon richtig. Ich soll
> sowohl den numerischen als auch den theoretischen Fehler
> bestimmen, auch bei diesen exotischen Funktionen. Und wie
> der numerische Fehler bestimmt wird, weiß ich bereits und
> habe das auch dementsprechend programmiert. Ich soll das
> nun aber mit dem theoretischen Fehler vergleichen, also
> brauche ich eine Abschätzung nach oben.....................
Hallo Franzie,
nun gut, mir ist keine theoretische Formel bekannt,
die für diese Beispiele irgendwie nützlich sein könnte
und deren Einsatz einfacher als der numerische Test
wäre.
LG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:55 Mo 12.01.2009 | | Autor: | zetamy |
Hallo ihr beiden,
was ist denn mit der von mir angegebenen Fehlerabschätzung? Die ist doch "theoretisch" und auch nicht besonders schwer zu programmieren...
Gruß, zetamy
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> Hallo ihr beiden,
>
> was ist denn mit der von mir angegebenen Fehlerabschätzung?
> Die ist doch "theoretisch" und auch nicht besonders schwer
> zu programmieren...
>
> Gruß, zetamy
hallo zetamy,
ich hatte nur geschrieben, dass ich keine solche
theoretische Abschätzung kenne. In deinem
ersten Beitrag hast du aber eine solche genannt.
Ich ging davon aus, dass f und s an den Randstellen
[mm] x_0=0 [/mm] und [mm] x_1=1 [/mm] im Funktionswert und im Ableitungswert
übereinstimmen sollen. Dann könnte man deine erste
Formel mit h=1 und $\ [mm] M=1*max_{0
Nun sehe ich aber noch, dass mit "natürlichen"
Randbedingungen etwas anderes gemeint ist.
Und dann geht es ja mit der anderen Formel,
die du inzwischen aufgestöbert hast.
Gruß Al-Chw.
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