Theoriefrage < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:05 Mi 28.01.2009 | | Autor: | Lorence |
| Aufgabe | Es gelte an,bn [mm] \not= [/mm] 0 für alle n und sei [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}(|an|/|bn|)=A [/mm]
Man zeige:
i) die Reihen [mm] \summe_{n=1}^{\infty}|an| [/mm] und [mm] \summe_{n=1}^{\infty}|bn| [/mm] sind entweder beide konvergent oder beide divergent, falls A [mm] \not=0 [/mm] und A [mm] \not=\infty [/mm]
ii) Ist A=0, so folgt aus der Konvergenz von [mm] \summe_{n=1}^{\infty}|bn| [/mm] die Konvergenz von [mm] \summe_{n=1}^{\infty}|an| [/mm]
iii) Ist A = [mm] \infty, [/mm] so folgt aus der Divergenz von [mm] \summe_{n=1}^{\infty}|bn| [/mm] die Divergenz von [mm] \summe_{n=1}^{\infty}|an| [/mm] |
Okay, Ich hab wenig Plan wie ich vorgehen muss? Epsilon Kriterium?
Ich bin Dankbar für jeden Denkanstoss!
Gruß
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:25 Mi 28.01.2009 | | Autor: | fred97 |
Ich mach Dir mal i) vor, in der Hoffnung, dass Du die anderen Teile dann selbst hinbekommst.
Sei [mm] \summe_{n=1}^{\infty}|a_n| [/mm] konvergent und
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{|a_n|}{|b_n|} [/mm] = A
Dann ex. ein N [mm] \in \IN [/mm] mit : [mm] \bruch{|a_n|}{|b_n|} [/mm] > A/2 für n > N,
also [mm] |b_n| [/mm] < [mm] \bruch{2}{A}|a_n| [/mm] für n > N.
Jetzt Majorantenkriterium.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:17 Mi 28.01.2009 | | Autor: | Lorence |
Okay, danke Fred,
hier meine ii)
Ist [mm] A=\infty [/mm] folgt: [mm] \bruch{|an|}{|bn|}=0, [/mm] daraus folgt:
[mm] |bn|\not=0 [/mm] und |an|=0
Also |an|=0, und eine Nullfolge konvergiert!
meine iii)
Ist [mm] A=\infty
[/mm]
folgt: [mm] \bruch{|an|}{|bn|}=\infty, [/mm] da [mm] |bn|=\infty [/mm] folgt: |an|>|bn| da
[mm] \bruch{|an|}{|bn|}=\infty [/mm]
da |an|>|bn| ist |bn| eine divergente Minorante zu |an|
Ich weiß die Formulierung ist nicht so toll, aber stimmt das in etwa?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:36 Mi 28.01.2009 | | Autor: | fred97 |
> Okay, danke Fred,
>
> hier meine ii)
>
> Ist [mm]A=\infty[/mm] folgt: [mm]\bruch{|an|}{|bn|}=0,[/mm] daraus folgt:
>
???????????????????????????
> [mm]|bn|\not=0[/mm] und |an|=0
???????????????????????????
>
> Also |an|=0, und eine Nullfolge konvergiert!
>
???????????????????????????
>
> meine iii)
>
> Ist [mm]A=\infty[/mm]
>
> folgt: [mm]\bruch{|an|}{|bn|}=\infty,[/mm] da [mm]|bn|=\infty[/mm] folgt:
> |an|>|bn| da
> [mm]\bruch{|an|}{|bn|}=\infty[/mm]
>
> da |an|>|bn| ist |bn| eine divergente Minorante zu |an|
>
>
???????????????????????????
>
> Ich weiß die Formulierung ist nicht so toll, aber stimmt
> das in etwa?
>
Die Formulierung ist grauenhaft, stimmen tut gar nichts, nicht böse sein , aber da oben steht kompletter Unfug.
ii) A = 0 ,also ex. ein N [mm] \in \IN [/mm] mit [mm] \bruch{|a_n|}{|b_n|} [/mm] < 1/2 für n>N, somit
[mm] |a_n|< \bruch{1}{2}|b_n| [/mm] für n > N. Jetzt Majorantenkriterium.
iii) A = [mm] \infty. [/mm] Somit ex. ein N [mm] \in \In [/mm] mit : [mm] \bruch{|a_n|}{|b_n|}> [/mm] 1 für n>N.
Also [mm] |a_n| [/mm] > [mm] |b_n| [/mm] für n>N. Jetzt Minorantenkriterium.
Bemmerkung: Dir scheint der Unterschied zwischen [mm] (a_n) [/mm] und [mm] \summe_{n=1}^{\infty}a_n [/mm] nicht klar zusein !
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:50 Mi 28.01.2009 | | Autor: | Lorence |
Okay: dann mal ne Frage:
Ich verstehe nicht, wieso in jeder Teilaufgabe,
i) [mm] \bruch{|an|}{|bn|} [/mm] = [mm] \bruch{A}{2}
[/mm]
ii) [mm] \bruch{|an|}{|bn|} [/mm] < [mm] \bruch{1}{2}
[/mm]
iii) [mm] \bruch{|an|}{|bn|} [/mm] > 1
die rechte Seite verstehe ich nicht, wieso es bei jeder Teilaufgabe ein anderer Wert ist?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:58 Mi 28.01.2009 | | Autor: | fred97 |
> Okay: dann mal ne Frage:
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> Ich verstehe nicht, wieso in jeder Teilaufgabe,
>
> i) [mm]\bruch{|an|}{|bn|}[/mm] = [mm]\bruch{A}{2}[/mm]
>
Das habe ich nicht geschrieben, sondern
[mm]\bruch{|an|}{|bn|}[/mm] > [mm]\bruch{A}{2}[/mm] für n>N
Die Folge [mm] (\bruch{|an|}{|bn|}) [/mm] strebt doch gegen A und A ist >0. Wegen A/2<A sind ab einem bestimmten Index (hier N) die Folgenglieder > A/2
> ii) [mm]\bruch{|an|}{|bn|}[/mm] < [mm]\bruch{1}{2}[/mm]
>
Die Folge [mm] (\bruch{|an|}{|bn|}) [/mm] strebt doch gegen 0. Dann sind ab einem bestimmten Index die Folgenglieder < 1/2
> iii) [mm]\bruch{|an|}{|bn|}[/mm] > 1
Die Folge [mm] (\bruch{|an|}{|bn|}) [/mm] strebt doch gegen [mm] \infty. [/mm] Dann sind ab einem bestimmten Index die Folgenglieder > 1
FRED
>
> die rechte Seite verstehe ich nicht, wieso es bei jeder
> Teilaufgabe ein anderer Wert ist?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:24 Mi 28.01.2009 | | Autor: | Lorence |
Okay, dass hat mir geholfen, danke
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