Thermodynamische Umwandlung < HochschulPhysik < Physik < Naturwiss. < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:26 Sa 24.01.2015 | | Autor: | DerBaum |
| Aufgabe | Ein Mol eines monoatomaren idealen Gases durchläuft eine Umwandlung, welche sich durch die Formel [mm] $p=p_0-kV$ [/mm] beschreiben lässt. Dabei seien [mm] $p_0$ [/mm] und $k$ positive Konstanten. Berechnen Sie:
a) die maximale Temperatur des Gases, die während der Transformation erreicht.
b) die molare Wärme die benötigt wird, um das Volumen auf [mm] $$V_1=\frac{p_0}{3k}$$ [/mm] zu ändern. |
Guten Abend zusammen,
ich habe etwas Verständnisprobleme bei der obigen Aufgabe.
Ist das hier bei a) so gemeint, dass wir eine isochore Erwärmung haben, und damit gilt
[mm] $$\frac{p_0}{p}=\frac{T}{T_0}\Leftrightarrow T=T_0\frac{p_0}{p}\Leftrightarrow T=T_0\frac{p_0}{p_0-kV}$$
[/mm]
Hier sind jetzt aber doch $V=const.$, da isochor, [mm] $k,T_0=const$. [/mm] In welcher Abhängigkeit soll ich nun hier die maximale Temperatur bestimmen?
Vielen Dank
Liebe Grüße
Der Baum
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:33 So 25.01.2015 | | Autor: | chrisno |
> Ein Mol eines monoatomaren idealen Gases durchläuft eine
> Umwandlung, welche sich durch die Formel [mm]p=p_0-kV[/mm]
> beschreiben lässt. Dabei seien [mm]p_0[/mm] und [mm]k[/mm] positive
> Konstanten. Berechnen Sie:
>
> a) die maximale Temperatur des Gases, die während der
> Transformation erreicht.
> b) die molare Wärme die benötigt wird, um das Volumen
> auf [mm]V_1=\frac{p_0}{3k}[/mm] zu ändern.
ideales Gas => verwende den Zusammenhang zwischen PV und T
[mm]p=p_0-kV[/mm]
Für p kannst Du einsetzen und dann bleiben nur noch V und T. Also T(V) untersuchen. Du kannst auch T(p) untersuchen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:28 So 25.01.2015 | | Autor: | DerBaum |
Danke für deine Antwort.
Ich habe das jetzt einfach mal versucht:
Mit dem idealen Gasgesetz gilt:
[mm] $$p=\frac{nRT(V)}{V}=p_0-kV\Leftrightarrow T(V)=\frac{p_0V}{nR}-k\frac{V^2}{nR}$$
[/mm]
Damit ergeben sich die Ableitungen:
[mm] $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}V}T(V)=\frac{p_0}{nR}-2k\frac{V}{nR}$ [/mm] und [mm] $\frac{\mathrm{d^2}}{\mathrm{d}V^2}T(V)=-2k\frac{1}{nR}<0 (\star)$, [/mm] da $k>0$.
[mm] $$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}V}T(V)=0\Leftrightarrow \frac{p_0}{nR}-2k\frac{V}{nR}=0\Leftrightarrow $V_1=\frac{p_0}{2k}.$$
[/mm]
Damit ist mit [mm] $(\star):$ $T(V_1)=:T_{\text{max}}=\frac{p_0^2}{4knR}$ [/mm] die gesuchte maximale Temperatur.
Stimmt das so?
Und was ist hier eigentlich dieses $k$? Das $k$ müsste doch die Einheit [mm] $\frac{\mathrm{N}}{\mathrm{m^5}}$ [/mm] haben?
Zur b) habe ich mir bis jetzt gedacht:
Bei [mm] $V_1=\frac{p_0}{3k}$ [/mm] gilt [mm] $T(V_1)=\frac{2p_0^2}{9knR}$.
[/mm]
Für die Volumenänderungsarbeit ergibt sich:
[mm] $$\Delta W=-\int_{V_0}^{V_1}p(V)\mathrm{d}V= \int_{V_0}^{V_1}(kV-p_0)\mathrm{d}V=k(\frac{1}{2}V_1^2-\frac{1}{2}V_2^2)-p_0(V_1-V_0)$$
[/mm]
Und für die innere Energie:
[mm] $$\Delta U=\frac{3}{2}nR\Delta T=\frac{3}{2}nR(T(V_1)-T(V_0))$$
[/mm]
Damit müsste ich dann doch iwie die gesuchte Wärmeenergie durch
[mm] $\Delta Q=\Delta W-\Delta [/mm] U$
erhalten, oder nicht?
Vielen Dank
Liebe Grüße
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:44 Mo 26.01.2015 | | Autor: | DerBaum |
Vielen Dank für deine Antwort
und Entschuldigung für meinen vorherigen Post mit den Fehlern. Ich war nicht mehr ganz fit, als ich ihn verfasst habe und daher sind mir einige Fehler beim Abschreiben von meinem Konzeptblatt unterlaufen. Ich habe diese in meinem Original-Post korrigiert.
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