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| Aufgabe | Untersuchen Sie die Folgen (a) und (b) auf Konvergenz und bestimmen Sie gegebenenfalls deren Grenzwerte.
(a) [mm] ((\wurzel[n]{n}-1)^{n})_{n\in\IN}
[/mm]
(b) [mm] (\bruch{5^{n}-n^{2}}{3^{n}+n})_{n\in\IN} [/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Guten Morgen!
Mir ist klar, dass Folge (a) eine Nullfolge ist und Folge (b) divergiert.
Ich habe bei (a) lange gesucht, aber keine gescheite Umformungsmöglichkeit gefunden, um das [mm] \varepsilon [/mm] -Kriterium günstig anzuwenden. Hat jemand einen heißen Tipp oder muss ich anders argumentieren?
Auch bei (b) weiß ich noch nicht, wie ich argumentieren soll. Früher in der Schule hat man ja noch primitiv gesagt, dass " [mm] 5^{n} [/mm] am stärksten wachse und damit den Ausschlag gebe". Gibt es auch hier eine tolle Umformung, die ich üngünstigerweise nicht sehe? Ich habe vor zu zeigen, dass Menge aller Folgenglieder nicht beschränkt ist.
Gruß
MarthaMatik
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Ich habe aus Versehen kein Diskussionsthema angegeben und finde auch keine Editier-Funktion. Sorry!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 04:51 Sa 05.01.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
bei der a):
[mm] $\wurzel[n]{n} \to [/mm] 1$ für $n [mm] \to \infty$ [/mm] sollte bekannt sein. Weiterhin ist [mm] $\wurzel[n]{n} \ge [/mm] 1$ für alle $n [mm] \ge [/mm] 1$. Das impliziert insbesondere, dass
$0 [mm] \le \wurzel[n]{n}-1 \le \frac{1}{2}$ [/mm] für alle $n [mm] \ge n_0$ [/mm] mit einem genügend großen [mm] $n_0 \in \IN$. [/mm] Also folgt auch:
$0 [mm] \le (\wurzel[n]{n}-1)^n \le \left(\frac{1}{2}\right)^n$ [/mm] für alle $n [mm] \ge n_0$. [/mm] Also...
Bei der b):
Überlege Dir:
1.) Alle Folgeglieder sind [mm] $\ge [/mm] 0$.
2.) Bilde den Kehrbruch. Klammere dann im Zähler und im Nenner jeweils den Faktor [mm] 5^n [/mm] vor, d.h.:
[mm] $3^{n}+n=5^n*\left(\left(\frac{3}{5}\right)^n+\frac{n}{5^n}\right)$
[/mm]
und
[mm] $5^{n}-n^2=5^n*\left(1-\frac{n^2}{5^n}\right)$
[/mm]
Folgere so, dass gilt:
[mm] $\frac{3^{n}+n}{5^{n}-n^2} \to [/mm] 0$ bei $n [mm] \to \infty$
[/mm]
Nun überlege Dir:
Ist [mm] $(a_n)_{n \el \IN}$ [/mm] eine Folge mit [mm] $a_n \ge [/mm] 0$ für alle n und [mm] $a_n \to [/mm] 0$ für $n [mm] \to \infty$, [/mm] so folgt
[mm] $\frac{1}{a_n} \to \infty$.
[/mm]
(Damit erhälst Du also, dass die Folge in (b) gegen [mm] $\infty$ [/mm] strebt, bzw. man sagt auch, dass sie "bestimmt gegen [mm] $\infty$ [/mm] divergiert".)
Gruß,
Marcel
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