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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:17 Mi 24.11.2010 | | Autor: | stffn |
| Aufgabe | Finden Sie alle Lösungen der Gleichungen und stellen Sie diese in kartesische Form und in Polarkoordinaten dar:
a) [mm] z^2-(2+4i)z+1+4i=0
[/mm]
b) [mm] z^2+(-2*\wurzel{6}-\wurzel{2}i)z+\bruch{9}{2}+\wurzel{3}i=0 [/mm] |
Ich habe auch gleich noch eine Frage;
Zu den Aufgaben muss ich sagen, dass wir eigentlich keinen Taschenrechner benutzen dürfen, die also alle auch ohne diesen Lösbar sein müssten.
Deshalb müsste ich bei a) schonmal einen Fehler haben, aber wo ist dieser?
Hier ist meine Rechnung.
Also bin das ganze mit der PQ Formel angegangen:
[mm] z_{1,2}=\bruch{2+4i}{2}\pm\wurzel{(\bruch{2+4i}{2})^2-(1+4i)}=1+2i\pm\wurzel{(-1)16}=1+2i\pmi\wurzel{16}
[/mm]
[mm] z_{1}=1-2i
[/mm]
[mm] z_{2}=1+6i.
[/mm]
Jetzt die Umformung in Polarkoordinaten:
[mm] r_{1}=\wurzel{5}
[/mm]
[mm] r_{2}=\wurzel{37}.
[/mm]
So weit so gut. Jetzt möchte ich mir die Winkel ausrechnen.
Da muss ich ja, weil der Realteil bei beiden Zahlen positiv ist, folgendes rechnen:
[mm] \gamma=arctan(\bruch{Im}{Re}),
[/mm]
Also einmal arctan(-2) und einmal arctan(6).
Aber das sind werte, die ich nicht so einfach ohne rechner ausrechnen kann.
Gibt es hier noch einen anderen Weg oder ist die Aufgabe einfach ohne Rechner nicht weiter zu lösen?
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Hallo, unter der wurzel ist aber etwas passiert
[mm] z_1_2=1+2i\pm\wurzel{(1+2i)^{2}-1-4i}
[/mm]
[mm] z_1_2=1+2i\pm\wurzel{1+4i-4-1-4i}
[/mm]
[mm] z_1_2=1+2i\pm\wurzel{-4}
[/mm]
[mm] z_1_2=1+2i\pm\wurzel{(-1)*4}
[/mm]
jetzt überprüfe zunächst [mm] z_1 [/mm] und [mm] z_2
[/mm]
Steffi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:43 Mi 24.11.2010 | | Autor: | stffn |
Huch, da war ein kleiner Flüchtigkeitsfehler drin.
[mm] z_{1} [/mm] ist also =1 und [mm] z_{2}=1+4i.
[/mm]
Das müsste jetzt erstmal stimmen.
Dann komme ich auch für [mm] z_{1} [/mm] in Polarkoordinaten auf 1 [mm] (z_{1}=1*e^{i*0°})
[/mm]
Für [mm] z_{2}=1+4i [/mm] bleibt das Problem, denn da müsste ich ja den arctan von 4 nehmen.
Das kann ich nicht im Kopf:/
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Hallo stffn,
> Huch, da war ein kleiner Flüchtigkeitsfehler drin.
> [mm]z_{1}[/mm] ist also =1 und [mm]z_{2}=1+4i.[/mm]
>
> Das müsste jetzt erstmal stimmen.
Stimmt auch. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Dann komme ich auch für [mm]z_{1}[/mm] in Polarkoordinaten auf 1
> [mm](z_{1}=1*e^{i*0°})[/mm]
>
> Für [mm]z_{2}=1+4i[/mm] bleibt das Problem, denn da müsste ich ja
> den arctan von 4 nehmen.
> Das kann ich nicht im Kopf:/
Stelle die Lösung [mm]z_{2}[/mm] in der komplexen
Zahlenebene dar und lese den Winkel ab.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:04 Mi 24.11.2010 | | Autor: | stffn |
Ok wenn ich es so mache komme ich auf etwa 75°.
Wenn ich es mir ausrechnen lasse, komme ich auf 75.9637565.
Also schreibe ich einfach [mm] ...\approx75° [/mm] und das wars?!
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Hallo stffn,
> Ok wenn ich es so mache komme ich auf etwa 75°.
> Wenn ich es mir ausrechnen lasse, komme ich auf
> 75.9637565.
> Also schreibe ich einfach [mm]...\approx75°[/mm] und das wars?!
Schreibe hier lieber [mm]...\approx76^{\circ}[/mm]
Nun, der gemessene Winkel muß noch ins Bogenmaß umgerechnet werden.
Dann wars das.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:22 Mi 24.11.2010 | | Autor: | stffn |
Ich mach mal gleich bei b) weiter:
Hier habe ich für z=a+bi eingesetzt, und erstmal so umgeformt, dass ich da stehen habe:
[mm] (a^2-b^2-2\wurzel{6}a+\wurzel{2}b)+i(2ab-2\wurzel{6}b-\wurzel{2}a)=-\bruch{9}{2}-\wurzel{3}i
[/mm]
Jetzt habe ich einen Koeffizientenvergleich vor:
[mm] a^2-b^2-2\wurzel{6}a+\wurzel{2}b=-\bruch{9}{2}
[/mm]
[mm] 2ab-2\wurzel{6}b-\wurzel{2}a=-\wurzel{3}.
[/mm]
Bin ich auf dem richtigen weg?
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Hallo stffn,
> Ich mach mal gleich bei b) weiter:
>
> Hier habe ich für z=a+bi eingesetzt, und erstmal so
> umgeformt, dass ich da stehen habe:
>
> [mm](a^2-b^2-2\wurzel{6}a+\wurzel{2}b)+i(2ab-2\wurzel{6}b-\wurzel{2}a)=-\bruch{9}{2}-\wurzel{3}i[/mm]
>
> Jetzt habe ich einen Koeffizientenvergleich vor:
>
> [mm]a^2-b^2-2\wurzel{6}a+\wurzel{2}b=-\bruch{9}{2}[/mm]
> [mm]2ab-2\wurzel{6}b-\wurzel{2}a=-\wurzel{3}.[/mm]
>
> Bin ich auf dem richtigen weg?
>
Ja.
Du kannst es Dir aber auch einfacher machen.
Berechne die Wurzel aus einer komplexen Zahl:
[mm]\left(x+y*i\right)^2=c+d*i[/mm]
Vergleich der Real- und Imaginärteile liefert:
[mm]x^{2}-y^{2}=c[/mm]
[mm]2*x*y=d[/mm]
Daraus ergeben sich dann die Lösungen x,y.
Und somit kannst Du [mm]\wurzel{c+d*i}[/mm] bestimmen,
und daher auch die Lösungen [mm]z_{1},z_{2}[/mm]
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:49 Mi 24.11.2010 | | Autor: | stffn |
Also mit meiner Variante ist es zwar umständlicher, aber bei der anderen blicke ich irgendwie nicht durch.
[mm] x^{2}-y^{2}=c [/mm]
2xy=d
wenn ich mit diesem Gleichungssystem auf Lösungssuche gehe, komme ich irgendwie nicht am Ziel an (bzw. ich bekomme solche Dinge raus, die irgendwie nicht so aussehen als ob es das ganze vereinfacht).
Aber selbst wenn ich so tue als ob ich die Lösung habe, verstehe ich nicht ganz wie es weiter geht.
Schöne Grüße, stffn.
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Hallo stffn,
> Also mit meiner Variante ist es zwar umständlicher, aber
> bei der anderen blicke ich irgendwie nicht durch.
Dann rechne es zuerst mit Deiner Variante durch.
>
> [mm]x^{2}-y^{2}=c[/mm]
> 2xy=d
>
> wenn ich mit diesem Gleichungssystem auf Lösungssuche
> gehe, komme ich irgendwie nicht am Ziel an (bzw. ich
> bekomme solche Dinge raus, die irgendwie nicht so aussehen
> als ob es das ganze vereinfacht).
>
> Aber selbst wenn ich so tue als ob ich die Lösung habe,
> verstehe ich nicht ganz wie es weiter geht.
Nun, jetzt mußt Du [mm]a,b \in \IR[/mm] so finden,
daß Deine beiden Gleichung erfüllt werden.
>
> Schöne Grüße, stffn.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:06 Do 25.11.2010 | | Autor: | stffn |
Guten TAg!
Also wenn ich das so nach x und y umforme, komme ich halt hierrauf:
[mm] x=\bruch{d}{2y}
[/mm]
[mm] y=\wurzel{x^2-c}
[/mm]
Das bringt mich irgendwie nicht weiter, ich bekomme die Abhängigkeit von x und y ja nicht raus.
Vielleicht kann mir ja nochmal wer auf die Sprünge helfen:s
Vielen Dank dafür.
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Hallo stffn,
> Guten TAg!
> Also wenn ich das so nach x und y umforme, komme ich halt
> hierrauf:
>
> [mm]x=\bruch{d}{2y}[/mm]
> [mm]y=\wurzel{x^2-c}[/mm]
Die Gleichung [mm]2xy=d[/mm] wurde nach x aufgelöst,
setze dies jetzt in
[mm]x^{2}-y^{2}=c[/mm]
ein.
Dann steht da:
[mm]\left(\bruch{d}{2y\right)^{2}-y^{2}=c[/mm]
bzw.
[mm]4y^{4}+4y^{2}*c-d^{2}=0[/mm]
Bestimme hieraus die reellen Lösungen y.
>
> Das bringt mich irgendwie nicht weiter, ich bekomme die
> Abhängigkeit von x und y ja nicht raus.
> Vielleicht kann mir ja nochmal wer auf die Sprünge
> helfen:s
> Vielen Dank dafür.
Gruss
MathePower
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