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Forum "Lineare Gleichungssysteme" - Tipp
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Tipp: GLS mit Zahlenpaar
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:37 Mo 31.10.2011
Autor: DjHighlife

Aufgabe
Für welche Zahlenpaare $(a,b)$ hat das Gleichungssystem

$$
[mm] x_1+x_2-x_3 [/mm]  = 1
[mm] 2x_1+(a+2)x_2+(b-2)x_3 [/mm] = 3
[mm] -3x_1 [/mm] + [mm] (2a-3)x_2 [/mm] + [mm] (a^2-b^2+2b+3)x_3 [/mm] = a-b-1
$$

keine, genau eine, unendlich viele Lößungen? Bestimmen sie jeweils die Lößungsmenge in Abhängigkeit von $a$ und $b$.

Hallo,

ich habe zuerst Gleichung I nach [mm] $x_1$ [/mm] aufgelöst und in Gleichung II eingesetzt. Dann nach [mm] $x_2$ [/mm] aufgelöst.

[mm] $x_2=\frac{1-bx_3}{a}$ [/mm]

Somit ist [mm] $x_1=1- \frac{1-bx_3}{a}+x_3$ [/mm]

Dann in Gleichung III sowohl [mm] $x_1$ [/mm] als auch [mm] $x_2$ [/mm] einsetzen und nach [mm] $x_3$ [/mm] auflösen. (kürzt sich einiges weg!)

[mm] $x_3=\frac{a-b}{a^2-b^2} [/mm]

Dann in [mm] $x_1$: [/mm]

[mm] $x_1=1- \frac{1-b \frac{a-b}{a^2-b^2}}{a}+ \frac{a-b}{a^2-b^2}$ [/mm]

sinnvoll ergänzen, auf HN bringen:

[mm] $=1-\frac{a-b}{a^2-b^2} +\frac{a-b}{a^2-b^2}$ [/mm]

Wobei das dann ja: [mm] $1-2x_3$ [/mm] ist.

Und [mm] $x_2=x_3$ [/mm]

Ich hoffe das stimmt soweit. Da sich einiges wegkürzt, müsste es eigtl richtig sein. Aber nun steck ich fest, was kann ich nun machen? Stimmt das überhaupt soweit?

lg,
Michael

        
Bezug
Tipp: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:47 Mo 31.10.2011
Autor: fred97


> Für welche Zahlenpaare [mm](a,b)[/mm] hat das Gleichungssystem
>
> [mm][/mm]
>  [mm]x_1+x_2-x_3[/mm]  = 1
>  [mm]2x_1+(a+2)x_2+(b-2)x_3[/mm] = 3
>  [mm]-3x_1[/mm] + [mm](2a-3)x_2[/mm] + [mm](a^2-b^2+2b+3)x_3[/mm] = a-b-1
> [mm][/mm]
>  
> keine, genau eine, unendlich viele Lößungen? Bestimmen
> sie jeweils die Lößungsmenge in Abhängigkeit von [mm]a[/mm] und
> [mm]b[/mm].
>  Hallo,
>  
> ich habe zuerst Gleichung I nach [mm]x_1[/mm] aufgelöst und in
> Gleichung II eingesetzt. Dann nach [mm]x_2[/mm] aufgelöst.
>  
> [mm]x_2=\frac{1-bx_3}{a}[/mm]

Ich habs nicht nachgerechnet, aber was machst Du im Falle a=0 ?

>  
> Somit ist [mm]x_1=1- \frac{1-bx_3}{a}+x_3[/mm]
>  
> Dann in Gleichung III sowohl [mm]x_1[/mm] als auch [mm]x_2[/mm] einsetzen und
> nach [mm]x_3[/mm] auflösen. (kürzt sich einiges weg!)
>  
> [mm]$x_3=\frac{a-b}{a^2-b^2}[/mm]

Was machst Du im Falle [mm] a^2=b^2 [/mm] ?


>  
> Dann in [mm]x_1[/mm]:
>  
> [mm]x_1=1- \frac{1-b \frac{a-b}{a^2-b^2}}{a}+ \frac{a-b}{a^2-b^2}[/mm]
>  
> sinnvoll ergänzen, auf HN bringen:
>  
> [mm]=1-\frac{a-b}{a^2-b^2} +\frac{a-b}{a^2-b^2}[/mm]
>  
> Wobei das dann ja: [mm]1-2x_3[/mm] ist.
>  
> Und [mm]x_2=x_3[/mm]
>  
> Ich hoffe das stimmt soweit. Da sich einiges wegkürzt,
> müsste es eigtl richtig sein. Aber nun steck ich fest, was
> kann ich nun machen? Stimmt das überhaupt soweit?

Keine Ahnung. Du gehst völlig unsystematisch vor ! Benutze den Gauß -Alg. und bringe das LGS auf Stufenform. Das geht hier wunderbar.

Du solltest folgendes bekommen:

[mm] x_1+x_2-x_3=1 [/mm]
   [mm] ax_2+bx_3=1 [/mm]
          [mm] (a^2-b^2+3)x_3=a-b [/mm]
            

FRED

>  
> lg,
>  Michael


Bezug
                
Bezug
Tipp: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 10:51 Mo 31.10.2011
Autor: DjHighlife

Hallo,

ja, mit dem Gauss hab ichs auch beim 2. mal probiert, da komme ich genau auf deine Lößung, das ist schonmal gut. Ich hielt nur meinen 1. Versuch für übersichtlicher ;)

Nun kann ich ja nach [mm] $x_3$ [/mm] auflösen und diskutieren wann ich eine Lsg usw habe. Dann [mm] $x_3$ [/mm] iin die 2. Gleichung einsetzen und wieder diskutieren usw.

Ist das Vorgehen so korrekt?

mfg,
Michael

Bezug
                        
Bezug
Tipp: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:21 Mi 02.11.2011
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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