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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:04 Do 15.12.2011 | | Autor: | sunny20 |
| Aufgabe | | [mm] \integral_{}^{}{\bruch{sin(x)*cos(x)}{\wurzel{2-2cos(x)}} dx} [/mm] |
hey,
irgendwas mache ich falsch...
wenn ich u = cos(x) wähle komme ich nachher auf den Ausdruck - [mm] \integral_{}^{}{\bruch{u}{\wurzel{2-2u}} du} [/mm] an dieser Stelle komme ich nicht weiter ...
und wenn ich u = 2- 2cos(x) wähle komme ich am Ende auf eine Stammfunktion von [mm] -\bruch{1}{6}*(2-2*cos(x))^{3/2}+ \bruch{1}{(2*\wurzel{(2-2*cos(x)}})
[/mm]
der erste Term würde Stimmen aber es soll jedoch
[mm] -(1/6)*(2-2*cos(x))^{3/2}+\wurzel{2-2*cos(x)}
[/mm]
als Ergebnis rauskommen. Was mache ich falsch?
Lg
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Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hossa ;)
Ich würde das Gerät erstmal mit Hilfe der Additionstheoreme
$\sin(x\pm y)=\sin x\,\cos y\pm\sin y\,\cos x$
$\cos(x\pm y)=\cos x\,\cos y\mp\sin x\,\sin y$
und mit Hilfe des "trigonometrischen Pythagoras"
$\sin^2x+\cos^2x=1$
wie folgt vereinfachen:
$1-\cos x=1-\left(\cos^2\frac{x}{2}-\sin^2\frac{x}{2}\right)=\left(1-\cos^2\frac{x}{2}\right)+\sin^2\frac{x}{2}\right)=2\sin^2\frac{x}{2}$
$\sin x\,\cos x=2\sin\frac{x}{2}\,\cos\frac{x}{2}\,\left(\cos^2\frac{x}{2}-\sin^2\frac{x}{2}\right)=2\sin\frac{x}{2}\,\cos\frac{x}{2}\,\left(1-2\sin^2\frac{x}{2}\right)$
$\Longrightarrow\quad\frac{\sin x\,\cos x}{\sqrt{2-2\cos x}}=\frac{2\sin\frac{x}{2}\,\cos\frac{x}{2}\,\left(1-2\sin^2\frac{x}{2}\right)}{\sqrt{4\sin^2\frac{x}{2}}}=\cos\frac{x}{2}-2\cos\frac{x}{2}\sin^2\frac{x}{2}$
Dies zu integrieren ist titti...
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:00 Do 15.12.2011 | | Autor: | sunny20 |
Hi,
könnte ich denn auch direkt substituieren wie ich es oben versucht habe ? Weil ich meine der erste Term passt ja ... vlt ist mir ein Fehler im zweiten unterlaufen .
LG
Sunny
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Hallo,
was da genau schief gelaufen ist, kann man nur sagen, wenn du deine Rechnung angibst. Meiner Ansicht nach geht es mit Substitution, auch mit der von dir gewählten. Einfacher jedoch wäre meiner Ansicht nach
u=2-2*cos(x) mit [mm] dx=\bruch{du}{2*sin(x)}
[/mm]
Gruß, Diophant
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