Tipp bei Induktion < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Beweisen Sie die folgende Behauptung mit vollständiger Induktion: Für alle [mm] n\in \IN [/mm] gilt
[mm] $$\summe_{k=1}^{n}\frac{\left(-1\right)^{k-1}}{k}\vektor{n \\ k}=\summe_{k=1}^{n}\frac{1}{k}$$ [/mm] |
Hallo, zusammen,
seit gestern rätseln wir, wie getrickst werden muss:
für n=1 erfüllt
[mm] \summe_{k=1}^{n+1}\frac{\left(-1\right)^{k-1}}{k}\vektor{n+1 \\ k}
[/mm]
[mm] =\summe_{k=1}^{n}\frac{\left(-1\right)^{k-1}}{k}\vektor{n+1 \\ k}+\frac{\left(-1\right)^n}{n+1}*\underbrace{\vektor{n+1 \\ n+1}}_{=1}
[/mm]
[mm] =\summe_{k=1}^{n}\frac{\left(-1\right)^{k-1}}{k}\left[\vektor{n \\ k}+\vektor{n \\ k-1}\right]+\frac{\left(-1\right)^{n}}{n+1}
[/mm]
[mm] =\summe_{k=1}^{n}\frac{\left(-1\right)^{k-1}}{k}\vektor{n \\ k}+\summe_{k=1}^{n}\frac{\left(-1\right)^{k-1}}{k}\vektor{n \\ k-1}+\frac{\left(-1\right)^n}{n+1}
[/mm]
IV
[mm] =\summe_{k=1}^{n}\frac{1}{k}+\summe_{k=1}^{n}\frac{\left(-1\right)^{k-1}}{k}\vektor{n \\ k-1}+\frac{\left(-1\right)^n}{n+1}
[/mm]
Für ungerade $n$ muss der mittlere Teil ja [mm] \frac{2}{n+1} [/mm] werden. Hilft mir diese Kenntnis? Ich denke, nein.
Ich hab' versucht, den mittleren Teil in eine explizite Formel umzuwandeln, dann hab' ichs mit ner Indexverschiebung versucht.
Am besten, einer von euch gibt mir 'nen Tipp, vielleicht reicht das ja!
Vielen Dank,
Stefan.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:45 Di 27.10.2009 | | Autor: | abakus |
> Beweisen Sie die folgende Behauptung mit vollständiger
> Induktion: Für alle [mm]n\in \IN[/mm] gilt
> [mm]\summe_{k=1}^{n}\frac{\left(-1\right)^{k-1}}{k}\vektor{n \\ k}=\summe_{k=1}^{n}\frac{1}{k}[/mm]
>
> Hallo, zusammen,
>
> seit gestern rätseln wir, wie getrickst werden muss:
>
> für n=1 erfüllt
>
> [mm]\summe_{k=1}^{n+1}\frac{\left(-1\right)^{k-1}}{k}\vektor{n+1 \\ k}[/mm]
>
> [mm]=\summe_{k=1}^{n}\frac{\left(-1\right)^{k-1}}{k}\vektor{n+1 \\ k}+\frac{\left(-1\right)^n}{n+1}*\underbrace{\vektor{n+1 \\ n+1}}_{=1}[/mm]
>
> [mm]=\summe_{k=1}^{n}\frac{\left(-1\right)^{k-1}}{k}\left[\vektor{n \\ k}+\vektor{n \\ k-1}\right]+\frac{\left(-1\right)^{n}}{n+1}[/mm]
>
> [mm]=\summe_{k=1}^{n}\frac{\left(-1\right)^{k-1}}{k}\vektor{n \\ k}+\summe_{k=1}^{n}\frac{\left(-1\right)^{k-1}}{k}\vektor{n \\ k-1}+\frac{\left(-1\right)^n}{n+1}[/mm]
>
> IV
>
> [mm]=\summe_{k=1}^{n}\frac{1}{k}+\summe_{k=1}^{n}\frac{\left(-1\right)^{k-1}}{k}\vektor{n \\ k-1}+\frac{\left(-1\right)^n}{n+1}[/mm]
>
> Für ungerade [mm]n[/mm] muss der mittlere Teil ja [mm]\frac{2}{n+1}[/mm]
> werden. Hilft mir diese Kenntnis? Ich denke, nein.
Weiß nicht. Aber wenn wir den Gedanken mal fortsetzen: Für gerade n muss der mittlere Teil Null werden.
Aber warte mal:
[mm] \vektor{n \\ k}=\bruch{1*2*3*...*n}{(1*2*3*...*(k-1)*k)(1*2*...*(n-k)}
[/mm]
und
[mm] \vektor{n \\ k-1}=\bruch{1*2*3*...*n}{(1*2*3*...*(k-1))(1*2*...*(n-k)(n-k+1)}
[/mm]
Diese beiden Terme unterscheiden sich im Nenner um je einen fehlenden und je einen zusätzlichen Faktor.
Damit kannst du [mm] \vektor{n \\ k-1} [/mm] schreiben als [mm] \vektor{n \\ k}*\bruch{k}{n-k+1}.
[/mm]
Hilft das?
Gruß Abakus
>
> Ich hab' versucht, den mittleren Teil in eine explizite
> Formel umzuwandeln, dann hab' ichs mit ner
> Indexverschiebung versucht.
>
> Am besten, einer von euch gibt mir 'nen Tipp, vielleicht
> reicht das ja!
>
> Vielen Dank,
>
> Stefan.
|
|
|
|
