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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:04 So 22.05.2016 | | Autor: | Ardbeg |
| Aufgabe | Sei X eine Menge und [mm] \mathcal{T} [/mm] := [mm] \{ A \subseteq X | X \setminus A (endlich) \} \cup \{ \emptyset \}.
[/mm]
a) Zeigen Sie, dass [mm] \mathcal{T} [/mm] eine Topologie auf X ist.
b) Zeigen Sie, dass [mm] \mathcal{T} [/mm] die diskrete Topologie ist (dh. [mm] \mathcal{T} [/mm] = [mm] \mathcal{P}(X) [/mm] ), wenn X endlich ist.
c) Zeigen Sie, dass X kompakt ist.
d) Charakterisieren Sie alle abgeschlossenen Mengen in X.
e) Charakterisieren Sie alle alle kompakten Mengen in X.
f) Sei U [mm] \subseteq [/mm] X offen. Berechnen Sie den Abschluss von X.
g) Charakterisieren Sie alle stetigen Funktionen f: X [mm] \to [/mm] X . |
So, ich will Schritt für Schritt die Aufgabe durchgehen, damit ich auch sicher sein kann, dass ich alles richtig verstehe.
Fangen wir mal mit a) an.
Um zu zeigen, dass [mm] \mathcal{T} [/mm] eine Topologie ist, müsste ich also zeigen, dass X in X und die leere Menge in X enthalten sind. Dafür suche ich mir wohl für den ersten Teil ein a [mm] \in [/mm] A raus und da dies Teilmenge von X ist, muss es auch in X sein. So grob richtig? Da die leere Menge auch in [mm] \mathcal{T} [/mm] enthalten ist, würde das so auch gelten.
Dann müsste ich noch zeigen, dass für den Schnitt und die Verknüpfung gilt, dass diese wiederum auch in der Topologie liegen. Sehe ich das richtig?
Gruß
Ardbeg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:53 So 22.05.2016 | | Autor: | hippias |
> Sei X eine Menge und [mm]\mathcal{T}[/mm] := [mm]\{ A \subseteq X | X \setminus A (endlich) \} \cup \{ \emptyset \}.[/mm]
>
> a) Zeigen Sie, dass [mm]\mathcal{T}[/mm] eine Topologie auf X ist.
>
> b) Zeigen Sie, dass [mm]\mathcal{T}[/mm] die diskrete Topologie ist
> (dh. [mm]\mathcal{T}[/mm] = [mm]\mathcal{P}(X)[/mm] ), wenn X endlich ist.
>
> c) Zeigen Sie, dass X kompakt ist.
>
> d) Charakterisieren Sie alle abgeschlossenen Mengen in X.
>
> e) Charakterisieren Sie alle alle kompakten Mengen in X.
>
> f) Sei U [mm]\subseteq[/mm] X offen. Berechnen Sie den Abschluss von
> X.
>
> g) Charakterisieren Sie alle stetigen Funktionen f: X [mm]\to[/mm] X
> .
> So, ich will Schritt für Schritt die Aufgabe durchgehen,
> damit ich auch sicher sein kann, dass ich alles richtig
> verstehe.
>
> Fangen wir mal mit a) an.
>
> Um zu zeigen, dass [mm]\mathcal{T}[/mm] eine Topologie ist, müsste
> ich also zeigen, dass X in X und die leere Menge in X
> enthalten sind. Dafür suche ich mir wohl für den ersten
> Teil ein a [mm]\in[/mm] A raus und da dies Teilmenge von X ist, muss
> es auch in X sein. So grob richtig?
Nein, das ist zu unklar. Du musst $X$ in der Form [mm] $X\backlslash [/mm] A$ darstellen, wobei $A$ eine endliche Teilmenge von $X$ ist: $X= [mm] X\backslash [/mm] A$ für welches endliche $A$?
> Da die leere Menge auch
> in [mm]\mathcal{T}[/mm] enthalten ist, würde das so auch gelten.
Was soll "würde das so auch gelten" bedeuten? Die leere Menge ist nach Definition in [mm] $\mathcal{T}$ [/mm] enthalten - fertig.
> Dann müsste ich noch zeigen, dass für den Schnitt und
> die Verknüpfung gilt, dass diese wiederum auch in der
> Topologie liegen. Sehe ich das richtig?
Vermutlich.
>
> Gruß
> Ardbeg
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:58 Mo 23.05.2016 | | Autor: | Ardbeg |
Also erst einmal habe ich selbst einen Tippfehler gesehen. Natürlich muss ich zeigen, dass X [mm] \in \mathcal{T} [/mm] und [mm] \emptyset \in \mathcal{T} [/mm] sind.
Das die leere Menge enthalten ist, kann man Aufgrund der Definition sehen. Nun also zeigen, dass X [mm] \in \mathcal{T} [/mm] ist. Hier würde ich mal einen Trick versuchen.
X [mm] \backslash [/mm] X = [mm] \emptyset [/mm] ist endlich ( da keine Elemente enthalten sind). Sprich, X muss also dann in [mm] \mathcal{T} [/mm] enthalten sein.
Nun will ich es für die Vereinigungsmenge mal probieren:
Sei I eine Indexmenge und die Mengen aus X beschrieben durch [mm] U_{i} \in [/mm] C [mm] \subseteq \mathcal{T} [/mm] , für i [mm] \in [/mm] I.
Dann gilt:
X [mm] \backslash \bigcup [/mm] C = X [mm] \backslash \bigcup_{i \in I} U_{i} [/mm] = [mm] \bigcap_{i \in I} [/mm] X [mm] \backslash U_{i} [/mm] (nach De Morgan)
Also ist X [mm] \backslash U_{i} [/mm] eine endliche Menge, da [mm] U_{i} \in \mathcal{T} [/mm] . Da Schnitte von zwei Mengen die Elementzahl der Menge gleich oder weniger ist, ist
[mm] \bigcap_{i \in I} [/mm] X [mm] \backslash U_{i} [/mm] = X [mm] \backslash [/mm] C [mm] \Rightarrow \bigcup [/mm] C [mm] \in \mathcal{T}
[/mm]
Das dürfte doch soweit okay sein, oder?
Wenn ich die Kompaktheit zeigen will, dann wollte ich so vorgehen.
Sei X = [mm] \bigcup_{i \in I} \mathcal{O}_{i} [/mm] mit offenen Mengen [mm] \mathcal{O}_{i}.
[/mm]
Sei j [mm] \in [/mm] I beliebt aber fest, mit [mm] \mathcal{O}_{j} \not= \emptyset [/mm] und für jedes x [mm] \in [/mm] X [mm] \backslash \mathcal{O}_{j} [/mm] ein [mm] j_{x} \in [/mm] I mit x [mm] \in \mathcal{O}_{j}_{x}.
[/mm]
X [mm] \backslash \mathcal{O}_{j} [/mm] ist endlich, also ist X = [mm] \mathcal{O}_{j} \cup \bigcup_{x \in X \backslash \mathcal{O}_{j} } \mathcal{O}_{j}_{x} [/mm] eine endliche Teilüberdeckung. [mm] \Rightarrow [/mm] Kompaktheit.
Gruß Ardbeg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:09 Mo 23.05.2016 | | Autor: | fred97 |
> Also erst einmal habe ich selbst einen Tippfehler gesehen.
> Natürlich muss ich zeigen, dass X [mm]\in \mathcal{T}[/mm] und
> [mm]\emptyset \in \mathcal{T}[/mm] sind.
>
> Das die leere Menge enthalten ist, kann man Aufgrund der
> Definition sehen. Nun also zeigen, dass X [mm]\in \mathcal{T}[/mm]
> ist. Hier würde ich mal einen Trick versuchen.
> X [mm]\backslash[/mm] X = [mm]\emptyset[/mm] ist endlich ( da keine Elemente
> enthalten sind). Sprich, X muss also dann in [mm]\mathcal{T}[/mm]
> enthalten sein.
Ja
>
> Nun will ich es für die Vereinigungsmenge mal probieren:
> Sei I eine Indexmenge und die Mengen aus X beschrieben
> durch [mm]U_{i} \in[/mm] C [mm]\subseteq \mathcal{T}[/mm] , für i [mm]\in[/mm] I.
Du meinst wohl [mm] U_i \in \mathcal{T} [/mm] und C= [mm] \bigcup_{i \in I}^{}U_i
[/mm]
> Dann gilt:
> X [mm]\backslash \bigcup[/mm] C = X [mm]\backslash \bigcup_{i \in I} U_{i}[/mm]
> = [mm]\bigcap_{i \in I}[/mm] X [mm]\backslash U_{i}[/mm] (nach De Morgan)
Ganz links sollte X [mm] \setminus [/mm] C stehen !
>
> Also ist X [mm]\backslash U_{i}[/mm] eine endliche Menge, da [mm]U_{i} \in \mathcal{T}[/mm]
> . Da Schnitte von zwei Mengen die Elementzahl der Menge
> gleich oder weniger ist, ist
> [mm]\bigcap_{i \in I}[/mm] X [mm]\backslash U_{i}[/mm] = X [mm]\backslash[/mm] C
... wieder X [mm] \setminus [/mm] C ...
> [mm]\Rightarrow \bigcup[/mm] C [mm]\in \mathcal{T}[/mm]
Neihn. Sondern C [mm]\in \mathcal{T}[/mm]
>
> Das dürfte doch soweit okay sein, oder?
Siehe meine Kommentare
>
> Wenn ich die Kompaktheit zeigen will, dann wollte ich so
> vorgehen.
>
> Sei X = [mm]\bigcup_{i \in I} \mathcal{O}_{i}[/mm] mit offenen
> Mengen [mm]\mathcal{O}_{i}.[/mm]
> Sei j [mm]\in[/mm] I beliebt aber fest, mit [mm]\mathcal{O}_{j} \not= \emptyset[/mm]
> und für jedes x [mm]\in[/mm] X [mm]\backslash \mathcal{O}_{j}[/mm] ein [mm]j_{x} \in[/mm]
> I mit x [mm]\in \mathcal{O}_{j}_{x}.[/mm]
> X [mm]\backslash \mathcal{O}_{j}[/mm]
> ist endlich, also ist X = [mm]\mathcal{O}_{j} \cup \bigcup_{x \in X \backslash \mathcal{O}_{j} } \mathcal{O}_{j}_{x}[/mm]
> eine endliche Teilüberdeckung. [mm]\Rightarrow[/mm] Kompaktheit.
Das ist O.K.
FRED
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> Gruß Ardbeg
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