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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:06 Sa 20.05.2006 | | Autor: | Kalita |
| Aufgabe | Ok,
Sei (X,dx) ein metrischer Raum und sei A enthalten in X. DAnn wird A mit der induzierten Matrix dA zu einem metrischen RAum( A, dA).
Zeigen Sie, dass eine Teilmenge B enthalten in A bzgl. dA genau dann offen ist, wenn es eine dx- offene Menge U enthalten in X mit B= A geschnitten U gibt.
dX, dA heißt Index x, bzw A von d
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Ich bekomm das nicht hin
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:42 Sa 20.05.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Sei (X,dx) ein metrischer Raum und sei A enthalten in X.
> DAnn wird A mit der induzierten Matrix dA zu einem
> metrischen RAum( A, dA).
> Zeigen Sie, dass eine Teilmenge B enthalten in A bzgl. dA
> genau dann offen ist, wenn es eine dx- offene Menge U
> enthalten in X mit B= A geschnitten U gibt.
>
> dX, dA heißt Index x, bzw A von d
>
> Ich bekomm das nicht hin
Die eine Richtung ist einfach: Wenn $B = A [mm] \cap [/mm] U$ ist mit $U [mm] \subseteq [/mm] X$ offen bzgl. [mm] $d_X$, [/mm] so ist $B$ sicher offen bzgl. [mm] $d_A$ [/mm] (nimm ne offene Kugel, ...).
Hier mal ein Tipp fuer die andere Richtung: Sei $B [mm] \subseteq [/mm] A$ offen bzgl. [mm] $d_A$. [/mm] Dann gibt es zu jedem $x [mm] \in [/mm] B$ ein [mm] $\varepsilon(x) [/mm] > 0$ mit [mm] $B_{\varepsilon(x)}^{d_A}(x) \subseteq [/mm] B$. Setze nun $U := [mm] \bigcup_{x\in B} B_{\varepsilon(x)}^{d_X}(x) \subseteq [/mm] X$. Dann ist $U$ offen in $X$ (warum?) und $B = A [mm] \cap [/mm] U$ (warum?).
LG Felix
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