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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:18 Sa 10.11.2007 | | Autor: | SEiCON |
| Aufgabe | | allgemeine Frage, Topologie, Mengen |
Hallo erstmal!Von mir bekommt ihr zwar keine konkrete Aufgabe, jedoch habe ich einige allgemeine Fragen die das Thema topologische Räume betreffen.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
1) Eine Topologie ist ein Mengensystem T (d.h. eine Menge deren Elemente alle Teilmengen einer Obermenge X sind) für das folgende Axiome erfüllt sind:
a) Die leere Menge und die Grundmenge X sind Elemente von T
b) Der Durchschnitt endlich vieler offener Mengen ist ein Element von T
c) Die Vereinigung beliebig vieler offener Mengen ist ein Element von T
Alle Elemente von T _müssen_ offene Mengen sein. "Anschaulich ist eine Menge offen, wenn ihre Elemente nur von Elementen dieser Menge umgeben sind, mit anderen Worten, wenn kein Element der Menge auf ihrem Rand liegt."
* Das ist eine notwendige Bedingung in [mm] \IR [/mm] n. Gibt es Topologien deren Elemente keine offenen Mengen sind?
Die Menge X zusammen mit der Topologie T bezeichnet man auch als Topologischen Raum (X, T).
Habe ich das alles richtig verstanden?
2) Diese Aussagen sind äquivalent:
a) Eine Menge K [mm] \in \IR [/mm] n ist kompakt, falls K beschränkt und abgeschlossen. Beispiel: [a,b] [mm] \in \IR
[/mm]
b) Jede Folge xk in K besitzt einen Häufungspunkt in K. Man sagt:"K ist folgenkompakt"
*Warum? Was bedeutet das genau? Was hat es mit den Häufungspunkten von Mengen (auch "Ableitunge der Menge" genannt) auf sich?
3) Kann mir jemand "anschaulich" erklären was überdeckungskompakte Mengen sind?
So das ist vorerst alles ;)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:02 So 11.11.2007 | | Autor: | andreas |
hi
> 1) Eine Topologie ist ein Mengensystem T (d.h. eine Menge
> deren Elemente alle Teilmengen einer Obermenge X sind) für
> das folgende Axiome erfüllt sind:
>
> a) Die leere Menge und die Grundmenge X sind Elemente von
> T
> b) Der Durchschnitt endlich vieler offener Mengen ist ein
> Element von T
> c) Die Vereinigung beliebig vieler offener Mengen ist ein
> Element von T
korrekt.
> Alle Elemente von T _müssen_ offene Mengen sein.
> "Anschaulich ist eine Menge offen, wenn ihre Elemente nur
> von Elementen dieser Menge umgeben sind, mit anderen
> Worten, wenn kein Element der Menge auf ihrem Rand liegt."
> * Das ist eine notwendige Bedingung in [mm]\IR^n[/mm]. Gibt es
> Topologien deren Elemente keine offenen Mengen sind?
also die mengen die in der topologie liegen, sind per definition offen (man nennt eben genau die mengen offen, die in der topologie liegen). das ist dadurch motiviert, dass die mengen, die bezüglich der euklidischen metrik in [mm] $\mathbb{R}^n$ [/mm] offen sind, eben eine topologie bilden. der allgemeine topologie begriff verallgemeinert diese idee. aber es gibt natürlich auch topologien auf [mm] $\mathbb{R}$, [/mm] die mengen enthalten, welche nicht offen bezüglich der standard-topologie sind. so bildet etwa [mm] $\mathcal{T} [/mm] = [mm] \mathcal{P}(\mathbb{R})$, [/mm] die potenzmenge von [mm] $\mathbb{R}$, [/mm] eine topologie auf [mm] $\mathbb{R}$.
[/mm]
> Die Menge X zusammen mit der Topologie T bezeichnet man
> auch als Topologischen Raum (X, T).
ja.
> 2) Diese Aussagen sind äquivalent:
>
> a) Eine Menge K [mm]\in \IR[/mm]
hier sollte wohl [mm] $\subset$ [/mm] stehen.
> n ist kompakt, falls K beschränkt
> und abgeschlossen. Beispiel: [a,b] [mm]\in \IR[/mm]
auch hier [mm] $\subset$.
[/mm]
> b) Jede Folge
> xk in K besitzt einen Häufungspunkt in K. Man sagt:"K ist
> folgenkompakt"
> *Warum? Was bedeutet das genau? Was hat es mit den
> Häufungspunkten von Mengen (auch "Ableitunge der Menge"
> genannt) auf sich?
hier sind keine häufungspunkte von mengen, sondern häufungspunkte von folgen aus dieser menge gemeint. wie kommst du auf den begriff "ableitung der menge"? selbiger kam mir noch nie unter.
> 3) Kann mir jemand "anschaulich" erklären was
> überdeckungskompakte Mengen sind?
ich zumindest nicht. ich könnte nur die definition wiedergeben, aber die hast du wohl selber. aber nach obigen äquivalenz in 2) hast du doch eine sehr schöne - auch anschauliche - charakterisierung von kompakten mengen in [mm] $\mathbb{R}^n$.
[/mm]
grüße
andreas
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