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Topologie in R: Verstänndnis
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:29 Mo 21.11.2011
Autor: sissile

Aufgabe
Intervall A (0,1) [mm] \cup [/mm] (1,2)


So sind doch 0,1,2 Randpunkte?
Ich versteh nicht ganz warum 1 ein Randpunkt ist.!?

Weiters verstehe ich nicht die Aussage warum jede isolierte Punkt eine Randpunkt ist!?
1 ist ein isolierter Punkt, sind 0,2 auch isolierte Punkte, wenn warum?


Noch eine Frage nicht zu dem Beispiel:
Beweise: Das Komplement einer abgeschlossenen Menge ist offen (andersrum hab ich es schon geschafft).

A abgeschlossen = die Menge A + Randpunkte.
was ist das Komplement davon?


Liebe Grüße

        
Bezug
Topologie in R: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:16 Di 22.11.2011
Autor: Helbig


> Intervall A (0,1) [mm]\cup[/mm] (1,2)
>  
> So sind doch 0,1,2 Randpunkte?
>  Ich versteh nicht ganz warum 1 ein Randpunkt ist.!?

Allgemein ist $a$ ein Randpunkt der Menge $A$, wenn in jeder [mm] $\epsilon$-Umgebung [/mm] von $a$ sowohl ein Punkt aus $A$ als auch ein Punkt aus dem Komplement von $A$ liegt.

Nun liegt in jeder noch so kleinen [mm] $\epsilon$-Umgebung [/mm] von 1 auch ein Punkt aus dem Komplement von $A$, nämlich 1 selbst.

>  
> Weiters verstehe ich nicht die Aussage warum jede isolierte
> Punkt eine Randpunkt ist!?

Ist $a$ ein isolierter Punkt von $A$, so gibt es eine [mm] $\epsilon$-Umgebung [/mm] von $a$, in der außer $a$ keine Punkte aus $A$ liegen. Damit liegt $a$ selbst in $A$ und [mm] $a+\epsilon/2$ [/mm] im Komplement von $A$.

>  1 ist ein isolierter Punkt, sind 0,2 auch isolierte
> Punkte, wenn warum?

Keine der drei Punkte sind isolierte Punkte von $A$. Aber 1 ist ein isolierter Punkt vom Komplement von $A$.

>  
>
> Noch eine Frage nicht zu dem Beispiel:
>  Beweise: Das Komplement einer abgeschlossenen Menge ist
> offen (andersrum hab ich es schon geschafft).

Wie habt Ihr "offen" und "abgeschlossen" definiert?

Grüße,

Wolfgang


Bezug
                
Bezug
Topologie in R: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 00:51 Di 22.11.2011
Autor: sissile


> Aber 1 ist ein isolierter Punkt vom Komplement von $ A $.

Das verstehe ich noch nicht ganz, bitte um Erlärung

> Wie habt Ihr "offen" und "abgeschlossen" definiert?

Menge A heißt offen wenn sie nur aus inneren Punkten besteht.
Menge A ist abgeschlossen wenn Menge der Randpunkte von A [mm] \subseteq [/mm]  A ist

Siehe beweis umgekehrt.
A = [mm] A^0 [/mm]
[mm] A^0 [/mm] heißt innere Punkte

[mm] A^c [/mm] = [mm] (A^c)^0 \cup [/mm] Menge Randpunkte von A [mm] \supseteq [/mm] Menge der Randpunkte von [mm] (A^c) [/mm]
[mm] A^c [/mm] heißt Komplement von A

Der Beweis in die andere richtung fehlt mir!

Bezug
                        
Bezug
Topologie in R: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 01:54 Di 22.11.2011
Autor: kamaleonti

Hallo sissile,
> > Aber 1 ist ein isolierter Punkt vom Komplement von [mm]A [/mm].
> Das verstehe ich noch nicht ganz, bitte um Erlärung

Ein Punkt P einer Menge A heißt isolierter Punkt, wenn es eine (offene) Kugel [mm] K_\varepsilon(P) [/mm] um P gibt, sodass [mm] A\cap K_\varepsilon(P)=\{P\} [/mm] gilt.

> Der Beweis in die andere richtung fehlt mir!

Bezeichne [mm] $\partial [/mm] A$ die Menge der Randpunkte von A.

Für eine abgeschlossene Menge A gilt [mm] $\partial A\subseteq [/mm] A$. Also

       [mm] $(\partial A\cup A)^c=\partial A^c\cap A^c=A^c\backslash\partial [/mm] A$.

LG


Bezug
                                
Bezug
Topologie in R: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:42 Di 22.11.2011
Autor: sissile

danke gut verständlich!!
Liebe grüße

Bezug
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