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| Aufgabe | Gegeben ist ein metrischer Raum $(M,d)$ und fuer [mm] $x\in [/mm] M$ und [mm] $\epsilon [/mm] > 0$ folgende Mengen
1. $U(x, [mm] \epsilon) [/mm] := [mm] \{ y \in M : d(x,y) < \epsilon \}$
[/mm]
2. [mm] $B(x,\epsilon) [/mm] := [mm] \{ y \in M : d(x,y) \leq \epsilon \}$
[/mm]
3. [mm] $S(x,\epsilon) [/mm] := [mm] \{ y \in M : d(x,y) = \epsilon \}$
[/mm]
Man soll zeigen, dass die erste Menge offen und die beiden anderen abgeschlossen sind. |
Das die erste Menge offen ist, kriege ich noch problemlos mit der Definition fuer metrische Raeume (siehe http://mo.mathematik.uni-stuttgart.de/kurse/kurs26/seite1.html) hin.
Mein erster Ansatz bei der zweiten Menge waere zu zeigen, dass $M [mm] \backslash B(x,\epsilon)$ [/mm] offen ist, aber irgendwie komm ich da nicht so recht weiter.
Bin ich auf dem richtigen Weg oder sollte ich es anders probieren? Bei der Gelegenheit ein Tipp fuer die dritte Menge waer auch nicht schlecht.
Viele Gruesse
Nick
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:41 Mi 17.09.2008 | | Autor: | pelzig |
> Mein erster Ansatz bei der zweiten Menge waere zu zeigen,
> dass [mm]M \backslash B(x,\epsilon)[/mm] offen ist, aber irgendwie
> komm ich da nicht so recht weiter.
> Bin ich auf dem richtigen Weg oder sollte ich es anders
> probieren? Bei der Gelegenheit ein Tipp fuer die dritte
> Menge waer auch nicht schlecht.
Ich fürchte du hast keine andere Wahl, denn so ist Abgeschlossenheit in topologischen Räumen nunmal definiert. Vielleicht zeigst du mal genauer, an welcher Stelle du nicht weiter kommst.
Gruß, Robert
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:20 Mi 17.09.2008 | | Autor: | fred97 |
> Gegeben ist ein metrischer Raum [mm](M,d)[/mm] und fuer [mm]x\in M[/mm] und
> [mm]\epsilon > 0[/mm] folgende Mengen
>
> 1. [mm]U(x, \epsilon) := \{ y \in M : d(x,y) < \epsilon \}[/mm]
> 2.
> [mm]B(x,\epsilon) := \{ y \in M : d(x,y) \leq \epsilon \}[/mm]
> 3.
> [mm]S(x,\epsilon) := \{ y \in M : d(x,y) = \epsilon \}[/mm]
>
> Man soll zeigen, dass die erste Menge offen und die beiden
> anderen abgeschlossen sind.
> Das die erste Menge offen ist, kriege ich noch problemlos
> mit der Definition fuer metrische Raeume (siehe
> http://mo.mathematik.uni-stuttgart.de/kurse/kurs26/seite1.html)
> hin.
>
> Mein erster Ansatz bei der zweiten Menge waere zu zeigen,
> dass [mm]M \backslash B(x,\epsilon)[/mm] offen ist, aber irgendwie
> komm ich da nicht so recht weiter.
> Bin ich auf dem richtigen Weg oder sollte ich es anders
> probieren? Bei der Gelegenheit ein Tipp fuer die dritte
> Menge waer auch nicht schlecht.
>
> Viele Gruesse
> Nick
Sei (M,d) ein metrischer Raum und A eine Teilmenge von M. Dann gilt:
A ist abgeschlossen [mm] \gdw [/mm] für jede konvergente Folge [mm] (x_n) [/mm] in A gehört auch der Limes dieser Folge zu A.
Z.Z.: [mm] B(x,\epsilon) [/mm] ist abgeschlossen.
Sei also [mm] (x_n) [/mm] ein konvergente Folge in [mm] B(x,\epsilon) [/mm] und [mm] x_0 [/mm] deren Limes.
Dann [mm] d(x_n,x) \le \epsilon [/mm] für jedes n. Da die Metrik stetig ist folgt mit n --> [mm] \infty: d(x_0,x) \le \epsilon. [/mm] Also [mm] x_0 \in B(x,\epsilon)
[/mm]
FRED
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