www.vorhilfe.de
Vorhilfe

Kostenlose Kommunikationsplattform für gegenseitige Hilfestellungen.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Englisch
  Status Grammatik
  Status Lektüre
  Status Korrekturlesen
  Status Übersetzung
  Status Sonstiges (Englisch)

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Forum "Topologie und Geometrie" - Topologien Gleichheit, Basis
Topologien Gleichheit, Basis < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Topologie und Geometrie"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Topologien Gleichheit, Basis: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 06:18 Mo 27.05.2013
Autor: sissile

Aufgabe
Ich will zeigen dass zwei Topologien übereinstimmen mithilfe der Basis.
Wähle hier irgendwelche Bezeichnungen:
[mm] \tau_{prod} [/mm] mit Basis S
[mm] \tau [/mm] mit Basis O



Kann man das so machen:
A [mm] \in \tau_{prod} [/mm] -> A darstellen als vereinigung von Elementen aus Basis S. Wenn nun gilt [mm] \forall [/mm] U [mm] \in [/mm] S [mm] \exists [/mm] V [mm] \in [/mm] O : V [mm] \subseteq [/mm] U
Ist A dann nicht auch darstellbar mit Basiselementen aus  O ? woraus folgen würde [mm] \tau \subseteq \tau_{prod} [/mm]

Oder genau umgekehrt mit [mm] \forall [/mm] V [mm] \in [/mm] O [mm] \exists [/mm] U [mm] \in [/mm] S : U [mm] \subseteq [/mm] V


Da bin ich etwas verwirrt ;) Vlt. könnt ihr Licht in die Sache bringen! Im Sinne von einer Erklärung was warum stimmt!

        
Bezug
Topologien Gleichheit, Basis: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:29 Mo 27.05.2013
Autor: tobit09

Hallo sissile,


> Ich will zeigen dass zwei Topologien übereinstimmen
> mithilfe der Basis.

Mithilfe VON Basen, nicht DER Basen. Basen topologischer Räume sind keineswegs eindeutig.

>  Wähle hier irgendwelche Bezeichnungen:
>  [mm]\tau_{prod}[/mm] mit Basis S
>  [mm]\tau[/mm] mit Basis O
>  
>
> Kann man das so machen:
>  A [mm]\in \tau_{prod}[/mm]

Das sieht doch schon einmal nach einem Anfang eines Beweises von [mm] $\tau_{prod}\subseteq\tau$ [/mm] aus.

> -> A darstellen als vereinigung von
> Elementen aus Basis S.

Ja.

> Wenn nun gilt [mm]\forall[/mm] U [mm]\in[/mm] S
> [mm]\exists[/mm] V [mm]\in[/mm] O : V [mm]\subseteq[/mm] U

Diese Bedingung ist nicht sonderlich nützlich: Es bräuchte nur [mm] $\emptyset\in [/mm] O$ zu gelten, schon wäre sie erfüllt.

Du könntest stattdessen die Bedingung nehmen, dass jedes [mm] $U\in [/mm] S$ auch [mm] $U\in\tau$ [/mm] erfüllt (also als Vereinigung von Elementen aus $O$ darstellbar ist).

Äquivalent, aber wohl einfacher nachzuweisen, ist folgende Bedingung:

Für alle [mm] $U\in [/mm] S$ und alle [mm] $x\in [/mm] U$ existiert ein [mm] $V\in [/mm] O$ mit [mm] $x\in V\subseteq [/mm] U$.

>  Ist A dann nicht auch darstellbar mit Basiselementen aus  
> O ?

Bei deiner Bedingung i.A. nicht, bei meiner Bedingung schon.

> woraus folgen würde [mm]\tau \subseteq \tau_{prod}[/mm]

Umgekehrt: [mm] $\tau_{prod}\subseteq\tau$. [/mm]


Viele Grüße
Tobias

Bezug
                
Bezug
Topologien Gleichheit, Basis: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:04 Mo 27.05.2013
Autor: sissile

Hallo

> Für alle $ [mm] U\in [/mm] S $ und alle $ [mm] x\in [/mm] U $ existiert ein $ [mm] V\in [/mm] O $ mit $ [mm] x\in V\subseteq [/mm] O $.

Gehört da am schluss nicht statt dem O ein U?
Wieso macht das x [mm] \in [/mm] .. die Bedingung richtig?

Konkretes Bsp:
Produkttopologie auf [mm] \IR^n (\tau_{prod}) [/mm] = n dimensionale eukldisiche Topologie [mm] (\tau) [/mm]
Basis
O:= [mm] \{ B_{\epsilon} | \epsilon >0, x \in \IR^n\} [/mm]
S:= [mm] \{ U_1 \times .. \times U_n | U_i offen in \IR \} [/mm] = [mm] \{ U_1 \times .. \times U_n | U_1 ,.., U_n \subseteq \IR, \forall y_i \in U_i: \exists \epsilon_i: x_i \in U_i mit |x_i - y_i | < \epsilon_i , \forall i=1,..,n\} [/mm]

-) [mm] \forall U\in [/mm] S  und [mm] \forall x\in [/mm] U existiert ein  [mm] V\in [/mm] O  mit  [mm] x\in V\subseteq [/mm] U
Bew.: U [mm] \in [/mm] S beliebig mit x [mm] \in [/mm] U beliebig, d.h. [mm] \exists \epsilon =(\epsilon_1,.., \epsilon_n) [/mm] sodass bedingung erfüllt ist für die Mengen vin S
Setze [mm] \delta [/mm] = min [mm] \{ \epsilon_1 ,.., \epsilon_n \} [/mm]
[mm] \forall y=(y_1 [/mm] ,.., [mm] y_n [/mm] ) [mm] \in B_\sigma [/mm] (x) ZZ.: [mm] y_i \in U_i \forall [/mm] i=1,..,n (->y [mm] \in [/mm] U)
[mm] |x_i [/mm] - [mm] y_i| [/mm] = [mm] \sqrt{|x_i -y_i|^2} \le \sqrt{\sum_{i=1}^n |x_i - y_i|^2}< \delta \le \epsilon_i [/mm]

-) [mm] \forall [/mm] V [mm] \in [/mm] O  und [mm] \forall x\in [/mm] V existiert ein  U [mm] \in [/mm] S  mit  [mm] x\in [/mm] U [mm] \subseteq [/mm] V
Bew: Sei V [mm] \in [/mm] O beliebig mit x [mm] \in [/mm] O beliebig., d.h. [mm] \exists \epsilon [/mm] sd
V= [mm] B_\epsilon [/mm] (x) = [mm] \{ y \in \IR^n | \sqrt{\sum_{i=1}^n |x_i -y_i|^2} < \epsilon} [/mm]
WÄhle [mm] \epsilon_i [/mm] = [mm] \frac{\epsilon}{\sqrt{n}} [/mm] für U [mm] \in [/mm] S
bleibt ZZ : [mm] \forall y=(y_1,.., y_n) \in [/mm] U -> y [mm] \in [/mm] V
<=> d.h. ZuZeigen [mm] \sqrt{\sum_{i=1}^n |x_i - y_i |^2 }< \delta [/mm]
y [mm] \in [/mm] U d.h. [mm] |x_i [/mm] - [mm] y_i [/mm] | [mm] <\frac{\delta}{\sqrt{n}} [/mm]
=>  [mm] |x_i [/mm] - [mm] y_i |^2 <\frac{\delta^2}{n} [/mm] (n positiv)
=> [mm] \sum_i |x_i [/mm] - [mm] y_i |^2 [/mm] <n * [mm] \frac{\delta^2}{n} [/mm]
=> [mm] \sqrt{ \sum_i |x_i - y_i |^2} [/mm] < [mm] \delta [/mm]



Bezug
                        
Bezug
Topologien Gleichheit, Basis: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:18 Mo 27.05.2013
Autor: tobit09


> > Für alle [mm]U\in S[/mm] und alle [mm]x\in U[/mm] existiert ein [mm]V\in O[/mm] mit
> [mm]x\in V\subseteq O [/mm].
> Gehört da am schluss nicht statt dem O ein U?

Genau. Danke für den Hinweis. Ich habe es korrigiert.


>  Wieso macht das x [mm]\in[/mm] .. die Bedingung richtig?

Wir benötigen, dass $U$ als Vereinigung von Mengen aus $O$ darstellbar ist.

Gibt es nun zu jedem [mm] $x\in [/mm] U$ ein [mm] $V_x\in [/mm] O$ mit [mm] $x\in V_x\subseteq [/mm] U$, so gilt

     [mm] $U=\bigcup_{x\in U}V_x$. [/mm]

$U$ ist also tatsächlich als Vereinigung von Mengen aus $O$ darstellbar.


> Konkretes Bsp:
>  Produkttopologie auf [mm]\IR^n (\tau_{prod})[/mm] = n dimensionale
> eukldisiche Topologie [mm](\tau)[/mm]
>  Basis
>  O:= [mm]\{ B_{\epsilon} | \epsilon >0, x \in \IR^n\}[/mm]
>  S:= [mm]\{ U_1 \times .. \times U_n | U_i offen in \IR \}[/mm]
> = [mm]\{ U_1 \times .. \times U_n | U_1 ,.., U_n \subseteq \IR, \forall y_i \in U_i: \exists \epsilon_i: x_i \in U_i mit |x_i - y_i | < \epsilon_i , \forall i=1,..,n\}[/mm]

Die letzte Menge ist etwas merkwürdig aufgeschrieben: Gemeint ist wohl

     [mm] $\{ U_1 \times .. \times U_n | U_1 ,.., U_n \subseteq \IR, \forall y_i \in U_i: \exists \epsilon_i: x_i \in U_i \text{ für alle }x_i\in\IR\text{ mit } |x_i - y_i | < \epsilon_i , \forall i=1,..,n\}$ [/mm]


> -) [mm]\forall U\in[/mm] S  und [mm]\forall x\in[/mm] U existiert ein  [mm]V\in[/mm]
> O  mit  [mm]x\in V\subseteq[/mm] U
>  Bew.: U [mm]\in[/mm] S beliebig mit x [mm]\in[/mm] U beliebig, d.h. [mm]\exists \epsilon =(\epsilon_1,.., \epsilon_n)[/mm]
> sodass bedingung erfüllt ist für die Mengen vin S

Was meinst du mit "Bedingung erfüllt für die Mengen von S"? Für jedes [mm] $U\in [/mm] S$ und jedes [mm] $x\in [/mm] U$ (und jedes [mm] $i\in\{1,\ldots,n\}$) [/mm] gibt es ein [mm] $\epsilon_i$. [/mm] Aber es gibt i.A. kein [mm] $\epsilon_i$, [/mm] dass für alle [mm] $U\in [/mm] S$ und alle [mm] $x\in [/mm] U$ gleichzeitig der Bedingung genügt.

Sinnvollerweise wählen wir die [mm] $\epsilon_i$ [/mm] passend zum vorgegebenen [mm] $U\in [/mm] S$ und zum vorgegebenen [mm] $x\in [/mm] U$.


>  Setze [mm]\delta[/mm] = min [mm]\{ \epsilon_1 ,.., \epsilon_n \}[/mm]
>  
> [mm]\forall y=(y_1[/mm] ,.., [mm]y_n[/mm] ) [mm]\in B_\sigma[/mm] (x) ZZ.: [mm]y_i \in U_i \forall[/mm]
> i=1,..,n (->y [mm]\in[/mm] U)

Mit [mm] $\sigma$ [/mm] meinst du offenbar [mm] $\delta$... [/mm] ;-)

>  [mm]|x_i[/mm] - [mm]y_i|[/mm] = [mm]\sqrt{|x_i -y_i|^2} \le \sqrt{\sum_{i=1}^n |x_i - y_i|^2}< \delta \le \epsilon_i[/mm]

[ok]


> -) [mm]\forall[/mm] V [mm]\in[/mm] O  und [mm]\forall x\in[/mm] V existiert ein  U
> [mm]\in[/mm] S  mit  [mm]x\in[/mm] U [mm]\subseteq[/mm] V
>  Bew: Sei V [mm]\in[/mm] O beliebig mit x [mm]\in[/mm] O beliebig., d.h.
> [mm]\exists \epsilon[/mm] sd
>  V= [mm]B_\epsilon[/mm] (x) = [mm]\{ y \in \IR^n | \sqrt{\sum_{i=1}^n |x_i -y_i|^2} < \epsilon}[/mm]

Hast du ein Argument, warum du [mm] $V=B_\epsilon(x)$ [/mm] anstelle von [mm] $V=B_\epsilon(x')$ [/mm] für ein [mm] $x'\in\IR^n$ [/mm] annehmen darfst?

> WÄhle [mm]\epsilon_i[/mm] = [mm]\frac{\epsilon}{\sqrt{n}}[/mm] für U [mm]\in[/mm] S

Welches [mm] $U\in [/mm] S$ betrachtest du denn?

Vermutlich

     [mm] $U=(x_1-\frac{\epsilon}{\sqrt{n}},x_1+\frac{\epsilon}{\sqrt{n}})\times\ldots\times(x_n-\frac{\epsilon}{\sqrt{n}},x_n+\frac{\epsilon}{\sqrt{n}})$. [/mm]

>  bleibt ZZ : [mm]\forall y=(y_1,.., y_n) \in[/mm] U -> y [mm]\in[/mm] V

>  <=> d.h. ZuZeigen [mm]\sqrt{\sum_{i=1}^n |x_i - y_i |^2 }< \delta[/mm]

Mit [mm] $\delta$ [/mm] ist hier offenbar [mm] $\epsilon$ [/mm] gemeint... ;-)

> y [mm]\in[/mm] U d.h. [mm]|x_i[/mm] - [mm]y_i[/mm] | [mm]<\frac{\delta}{\sqrt{n}}[/mm]
>  =>  [mm]|x_i[/mm] - [mm]y_i |^2 <\frac{\delta^2}{n}[/mm] (n positiv)
>  => [mm]\sum_i |x_i[/mm] - [mm]y_i |^2[/mm] <n * [mm]\frac{\delta^2}{n}[/mm]

>  => [mm]\sqrt{ \sum_i |x_i - y_i |^2}[/mm] < [mm]\delta[/mm]

Das passt soweit!


Zu der noch bestehenden Lücke der unbegründeten Annahme von [mm] $V=B_\epsilon(x)$: [/mm]

Bekannt ist ja sicherlich, dass zu jeder offenen Menge $V$ in einem metrischen Raum und jedem Punkt [mm] $x\in [/mm] V$ ein [mm] $\epsilon'>0$ [/mm] existiert mit [mm] $B_{\epsilon'}(x)\subseteq [/mm] V$.

Dann kannst du mit [mm] $B_{\epsilon'}(x)$ [/mm] und [mm] $\epsilon'$ [/mm] anstelle von $V$ und [mm] $\epsilon$ [/mm] argumentieren (oder auch ohne Einschränkung [mm] $V=B_\epsilon(x)$ [/mm] annehmen): Denn wenn du ein [mm] $U\in [/mm] S$ mit [mm] $x\in U\subseteq B_{\epsilon'}(x)$ [/mm] findest, erfüllt dieses $U$ insbesondere [mm] $U\subseteq [/mm] V$.

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Topologie und Geometrie"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.englischraum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]