Topologische Abbildung < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:46 So 12.04.2009 | | Autor: | didi1985 |
| Aufgabe | | Der Begriff des einfachen Zusammenhangs ist topologisch invariant: Ist [mm] \psi [/mm] : [mm] D\to [/mm] D' eine topologische Abbildung zwischen zwei Gebieten D, D' aus [mm] \IC, [/mm] so ist D genau dann einfach zusammenhängend, wenn D' einfach zusammenhängend ist. |
Hi!
Dies gehört zum Teil des Beweises, weshalb Elementargebiete stets einfach zusammenhängend sind.
Hierzu wollte ich mich nochmal vergewissern, was topologische Abbildung bedeutet: Laut WIKI sind das gerade bijektive und stetige (auch Umkehrung) Abbildungen. Ist das korrekt?
Warum ist aber der Begriff des eifnachen Zusammenhangs topologisch invariant bzw. warum ist D genau dann zusammenhängend, wenn D' einfach zusammenhängend ist?
Wäre nett, wenn mir jemand helfen könnte
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:20 So 12.04.2009 | | Autor: | Merle23 |
> Hierzu wollte ich mich nochmal vergewissern, was
> topologische Abbildung bedeutet: Laut WIKI sind das gerade
> bijektive und stetige (auch Umkehrung) Abbildungen. Ist das
> korrekt?
Den Begriff "topologische Abbildung" höre ich jetzt zum ersten Mal.
Eine bijektive und stetige Abbildung, deren Umkehrfunktion ebenfalls stetig ist, nennt man eigentlich Homöomorphismus.
> Warum ist aber der Begriff des eifnachen Zusammenhangs
> topologisch invariant bzw. warum ist D genau dann
> zusammenhängend, wenn D' einfach zusammenhängend ist?
Ich gehe mal davon aus dass du weisst wie "einfach zusammenhängend" definiert ist.
Der Beweis ist eigentlich nicht schwer. Da D einfach zusammenhängend ist, hast du zu jeder Schleife in D eine Homotopie H, welche diese Schleife zusammenzieht.
Wenn du jetzt eine Schleife in D' hast, dann kannst du die ja mit [mm] f^{-1} [/mm] zurückziehen nach D. Somit erhälst du mit [mm]f \circ H \circ f^{-1}[/mm] eine passende Homotopie in D'.
Das war jetzt sehr ungenau, aber die Idee sollte klar sein.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:01 Mi 15.04.2009 | | Autor: | didi1985 |
danke- also homöomorphismus ist das selbe. gut, dann weiß ich bescheid. zu dem anderen: das muss ich mir noch mal genauer anschauen, da steig ich noch nicht durch... aber die grundidee hab ich denk ich verstanden. gruß
|
|
|
|
