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| Aufgabe | Beweisen oder wiederlegen sie folgende Aussagen über alle Teilmengen A, B von metrischen Räumen (X,d)
a) [mm] \partial [/mm] A = [mm] \partial(X\setminus [/mm] A)
b) [mm] \partial(\partial A)=\partial [/mm] A
c) [mm] \partial(\partial A)\subseteq \partial [/mm] A (Was folgt über Abgeschlossenheit von [mm] \partial [/mm] A ? ) |
a) Sei x [mm] \in \partial [/mm] A
[mm] \gdw \forall \varepsilon>0: A\cap U_{\varepsilon}(x) \not= [/mm] 0 [mm] \wedge [/mm] (
X/M) [mm] \cap U_{\varepsilon}(x) \not= [/mm] 0
<=> [mm] U_{\varepsilon}(x) \subseteq [/mm] (X/M) [mm] \wedge U_{\varepsilon}(x) \subseteq [/mm] A
<=> [mm] x\in \partial [/mm] (X\ A)
Stimmt das so ?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:32 So 19.05.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Beweisen oder wiederlegen sie folgende Aussagen über alle
> Teilmengen A, B von metrischen Räumen (X,d)
>
> a) [mm]\partial[/mm] A = [mm]\partial(X\setminus[/mm] A)
> b) [mm]\partial(\partial A)=\partial[/mm] A
> c) [mm]\partial(\partial A)\subseteq \partial[/mm] A (Was folgt
> über Abgeschlossenheit von [mm]\partial[/mm] A ? )
>
> a) Sei
schreibe dort einfach: 'Es gilt' (wegen der [mm] $\Leftarrow$'s). [/mm] Wie habt ihr denn den
Rand einer Menge definiert? Bzw. habt ihr die Charakterisierung:
$$x [mm] \in \partial [/mm] A [mm] \iff \forall \epsilon [/mm] > [mm] 0:\;\;\;\;\;\; U_\epsilon(x) \cap [/mm] A [mm] \not=\emptyset \;\;\;\wedge\;\;\; U_\epsilon(x) \cap [/mm] (X [mm] \setminus [/mm] A) [mm] \not=\emptyset$$
[/mm]
zur Verfügung?
> x [mm]\in \partial[/mm] A
>
> [mm]\gdw \forall \varepsilon>0: A\cap U_{\varepsilon}(x) \not=[/mm]
> 0 [mm]\wedge[/mm] (
> [mm] \red{X/M})[/mm] [mm]\cap U_{\varepsilon}(x) \not=[/mm] 0
Du meinst hier sicher nicht $X [mm] /M\,,$ [/mm] sondern $X [mm] \setminus A\,.$ [/mm] Zudem ist die
0 bei den Mengen dort sicher die leere Menge: [mm] $\emptyset$!
[/mm]
> <=> [mm]U_{\varepsilon}(x) \subseteq[/mm] (X/M) [mm]\wedge U_{\varepsilon}(x) \subseteq[/mm]
> A
Neben dem Verschreiber von oben: Hier musst Du auch [mm] $\forall \epsilon [/mm] > 0$ mitnehmen!
[mm] $$\iff \forall \epsilon [/mm] > [mm] 0:\;\;\;\;\;\;\ldots$$
[/mm]
Jetzt frage ich mich aber: was schreibst Du denn da überhaupt? Was soll
das? Was haben diese Teilmengenbeziehungen dort mit dem Rand zu tun?
Kann es sein, dass Du - in Gedanken - vom Rand zu "offene Menge" gehüpft
bist? Aber auch das würde nicht passen. (Denn dann müsste anstatt [mm] $\forall \epsilon [/mm] > 0$
ein [mm] $\exists \epsilon=\epsilon(x) [/mm] > [mm] 0\,$ [/mm] dort stehen...)
> <=> [mm]x\in \partial[/mm] (X\ A)
>
> Stimmt das so ?
Nein. Wenn Du
$$x [mm] \in \partial [/mm] A [mm] \iff \forall \epsilon [/mm] > [mm] 0:\;\;\;\;\;\; U_\epsilon(x) \cap [/mm] A [mm] \not=\emptyset\;\;\; \wedge\;\;\; U_\epsilon(x) \cap [/mm] (X [mm] \setminus [/mm] A) [mm] \not=\emptyset$$
[/mm]
zur Verfügung hast, dann ist es doch einfach:
Du musst zeigen, dass das gleichbedeutend ist mit der rechten Seite von
der Folgenden Äquivalenz (diese Äquivalenz gilt dann ja per Defnitionem!)
$$x [mm] \in \partial (\red{X \setminus A}) \iff \forall \epsilon [/mm] > [mm] 0:\;\;\;\;\;\; U_\epsilon(x) \cap (\red{X \setminus A}) \not=\emptyset \;\;\;\wedge \;\;\;U_\epsilon(x) \cap [/mm] (X [mm] \setminus (\red{X \setminus A})) \not=\emptyset\,.$$
[/mm]
Benutze dafür die Regeln von de Morgan bzgl. der Mengenlehre (um [mm] $A=X\setminus (\red{X \setminus A})$ [/mm]
zu begründen) und bedenke, dass "das logische Und" kommutativ ist ($A [mm] \wedge [/mm] B [mm] \equiv [/mm] B [mm] \wedge A\,.$).
[/mm]
Die Aussage ist dann ziemlich trivial.
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:37 So 19.05.2013 | | Autor: | Marcel |
P.S. Eigentlich finde ich es sogar schöner, wenn man anstelle des Symbols
[mm] $\emptyset$ [/mm] für die leere Menge [mm] $\{\}$ [/mm] in Latex das Symbol [mm] $\varnothing$ [/mm] benutzt!
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> Hallo,
>
> > Beweisen oder wiederlegen sie folgende Aussagen über alle
> > Teilmengen A, B von metrischen Räumen (X,d)
> >
> > a) [mm]\partial[/mm] A = [mm]\partial(X\setminus[/mm] A)
> > b) [mm]\partial(\partial A)=\partial[/mm] A
> > c) [mm]\partial(\partial A)\subseteq \partial[/mm] A (Was folgt
> > über Abgeschlossenheit von [mm]\partial[/mm] A ? )
> >
> > a) Sei
>
> schreibe dort einfach: 'Es gilt' (wegen der [mm]\Leftarrow[/mm]'s).
> Wie habt ihr denn den
> Rand einer Menge definiert? Bzw. habt ihr die
> Charakterisierung:
> [mm]x \in \partial A \iff \forall \epsilon > 0:\;\;\;\;\;\; U_\epsilon(x) \cap A \not=\emptyset \;\;\;\wedge\;\;\; U_\epsilon(x) \cap (X \setminus A) \not=\emptyset[/mm]
>
> zur Verfügung?
Also ganz offiziell steht bei uns:
Sei (M,d) metrischer Raum, [mm] A\subseteq [/mm] M. Ein Punkt [mm] x\in [/mm] M heißt Randpunkt von A, wenn x weder innerer noch äußerer Punkt ist, wenn also jedes [mm] U_\varepsilon [/mm] (x) (für [mm] \varepsilon>0) [/mm] sowohl Punkte aus A als auch Punkte aus [mm] M\A [/mm] enthält.
Was ja das gleiche ist wie:
$ x [mm] \in \partial [/mm] A [mm] \iff \forall \epsilon [/mm] > [mm] 0:\;\;\;\;\;\; U_\epsilon(x) \cap [/mm] A [mm] \not=\emptyset\;\;\; \wedge\;\;\; U_\epsilon(x) \cap [/mm] (X [mm] \setminus [/mm] A) [mm] \not=\emptyset [/mm] $
oder sehe ich das falsch ?
> > x [mm]\in \partial[/mm] A
> >
> > [mm]\gdw \forall \varepsilon>0: A\cap U_{\varepsilon}(x) \not=[/mm]
> > 0 [mm]\wedge[/mm] (
> > [mm]\red{X/M})[/mm] [mm]\cap U_{\varepsilon}(x) \not=[/mm] 0
>
> Du meinst hier sicher nicht [mm]X /M\,,[/mm] sondern [mm]X \setminus A\,.[/mm]
> Zudem ist die
> 0 bei den Mengen dort sicher die leere Menge: [mm]\emptyset[/mm]!
>
> > <=> [mm]U_{\varepsilon}(x) \subseteq[/mm] (X/M) [mm]\wedge U_{\varepsilon}(x) \subseteq[/mm]
> > A
>
> Neben dem Verschreiber von oben: Hier musst Du auch [mm]\forall \epsilon > 0[/mm]
> mitnehmen!
>
> [mm]\iff \forall \epsilon > 0:\;\;\;\;\;\;\ldots[/mm]
>
> Jetzt frage ich mich aber: was schreibst Du denn da
> überhaupt? Was soll
> das? Was haben diese Teilmengenbeziehungen dort mit dem
> Rand zu tun?
> Kann es sein, dass Du - in Gedanken - vom Rand zu "offene
> Menge" gehüpft
> bist? Aber auch das würde nicht passen. (Denn dann müsste
> anstatt [mm]\forall \epsilon > 0[/mm]
> ein [mm]\exists \epsilon=\epsilon(x) > 0\,[/mm]
> dort stehen...)
>
> > <=> [mm]x\in \partial[/mm] (X\ A)
> >
> > Stimmt das so ?
>
> Nein. Wenn Du
> [mm]x \in \partial A \iff \forall \epsilon > 0:\;\;\;\;\;\; U_\epsilon(x) \cap A \not=\emptyset\;\;\; \wedge\;\;\; U_\epsilon(x) \cap (X \setminus A) \not=\emptyset[/mm]
>
> zur Verfügung hast, dann ist es doch einfach:
> Du musst zeigen, dass das gleichbedeutend ist mit der
> rechten Seite von
> der Folgenden Äquivalenz (diese Äquivalenz gilt dann ja
> per Defnitionem!)
> [mm]x \in \partial (\red{X \setminus A}) \iff \forall \epsilon > 0:\;\;\;\;\;\; U_\epsilon(x) \cap (\red{X \setminus A}) \not=\emptyset \;\;\;\wedge \;\;\;U_\epsilon(x) \cap (X \setminus (\red{X \setminus A})) \not=\emptyset\,.[/mm]
>
> Benutze dafür die Regeln von de Morgan bzgl. der
> Mengenlehre (um [mm]A=X\setminus (\red{X \setminus A})[/mm]
> zu begründen) und bedenke, dass "das logische Und"
> kommutativ ist ([mm]A \wedge B \equiv B \wedge A\,.[/mm]).
>
> Die Aussage ist dann ziemlich trivial.
Mh also um [mm] A=X\setminus [/mm] ({X [mm] \setminus [/mm] A}) zu zeigen hätte ich jetzt wieder gesagt:
Sei x [mm] \in X\setminus [/mm] ({X [mm] \setminus [/mm] A})
[mm] \gdw [/mm] x [mm] \in [/mm] X [mm] \wedge [/mm] x [mm] \not\in [/mm] ({X [mm] \setminus [/mm] A})
[mm] \gdw [/mm] x [mm] \in [/mm] X [mm] \wedge [/mm] (x [mm] \in [/mm] X [mm] \wedge [/mm] x [mm] \not\in [/mm] A)
[mm] \gdw [/mm] ( x [mm] \in [/mm] X [mm] \wedge [/mm] x [mm] \in [/mm] X) [mm] \wedge [/mm] x [mm] \not\in [/mm] A
[mm] \gdw [/mm] x [mm] \in [/mm] X [mm] \wedge [/mm] x [mm] \not\in [/mm] A
was irgendwie falsch ist.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:27 Mo 20.05.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> > Hallo,
> >
> > > Beweisen oder wiederlegen sie folgende Aussagen über alle
> > > Teilmengen A, B von metrischen Räumen (X,d)
> > >
> > > a) [mm]\partial[/mm] A = [mm]\partial(X\setminus[/mm] A)
> > > b) [mm]\partial(\partial A)=\partial[/mm] A
> > > c) [mm]\partial(\partial A)\subseteq \partial[/mm] A (Was
> folgt
> > > über Abgeschlossenheit von [mm]\partial[/mm] A ? )
> > >
> > > a) Sei
> >
> > schreibe dort einfach: 'Es gilt' (wegen der [mm]\Leftarrow[/mm]'s).
> > Wie habt ihr denn den
> > Rand einer Menge definiert? Bzw. habt ihr die
> > Charakterisierung:
> > [mm]x \in \partial A \iff \forall \epsilon > 0:\;\;\;\;\;\; U_\epsilon(x) \cap A \not=\emptyset \;\;\;\wedge\;\;\; U_\epsilon(x) \cap (X \setminus A) \not=\emptyset[/mm]
>
> >
> > zur Verfügung?
>
> Also ganz offiziell steht bei uns:
>
> Sei (M,d) metrischer Raum, [mm]A\subseteq[/mm] M. Ein Punkt [mm]x\in[/mm] M
> heißt Randpunkt von A, wenn x weder innerer noch äußerer
> Punkt ist, wenn also jedes [mm]U_\varepsilon[/mm] (x) (für
> [mm]\varepsilon>0)[/mm] sowohl Punkte aus A als auch Punkte aus [mm]M\setminusA[/mm]
> enthält.
schreibe mal bitte $M \setminus A$, ich hab' das beim Zitieren jetzt
korrigiert! Bei $M\A$ erkennt man nur noch das [mm] $M\,$...
[/mm]
> Was ja das gleiche ist wie:
>
> [mm]x \in \partial A \iff \forall \epsilon > 0:\;\;\;\;\;\; U_\epsilon(x) \cap A \not=\emptyset\;\;\; \wedge\;\;\; U_\epsilon(x) \cap (X \setminus A) \not=\emptyset[/mm]
>
> oder sehe ich das falsch ?
Was ist Eure Definition von "äußerer Punkt"? Ansonsten sehe ich das genauso,
wie Du. Das letztstehende ist jedenfalls eine Charakterisierung von
Randpunkt in metrischen Räumen!
(Edit Marcel: Leider stimmt das so nicht ganz - genaueres entnimmt man einfach
meiner darauffolgenden Antwort (klick!) )
(Edit des Edits: Das hatte doch gestimmt, und der erste Edit war Quatsch! Sorry!)
> > > x [mm]\in \partial[/mm] A
> > >
> > > [mm]\gdw \forall \varepsilon>0: A\cap U_{\varepsilon}(x) \not=[/mm]
> > > 0 [mm]\wedge[/mm] (
> > > [mm]\red{X/M})[/mm] [mm]\cap U_{\varepsilon}(x) \not=[/mm] 0
> >
> > Du meinst hier sicher nicht [mm]X /M\,,[/mm] sondern [mm]X \setminus A\,.[/mm]
> > Zudem ist die
> > 0 bei den Mengen dort sicher die leere Menge:
> [mm]\emptyset[/mm]!
> >
> > > <=> [mm]U_{\varepsilon}(x) \subseteq[/mm] (X/M) [mm]\wedge U_{\varepsilon}(x) \subseteq[/mm]
> > > A
> >
> > Neben dem Verschreiber von oben: Hier musst Du auch [mm]\forall \epsilon > 0[/mm]
> > mitnehmen!
> >
> > [mm]\iff \forall \epsilon > 0:\;\;\;\;\;\;\ldots[/mm]
> >
> > Jetzt frage ich mich aber: was schreibst Du denn da
> > überhaupt? Was soll
> > das? Was haben diese Teilmengenbeziehungen dort mit dem
> > Rand zu tun?
> > Kann es sein, dass Du - in Gedanken - vom Rand zu
> "offene
> > Menge" gehüpft
> > bist? Aber auch das würde nicht passen. (Denn dann müsste
> > anstatt [mm]\forall \epsilon > 0[/mm]
> > ein [mm]\exists \epsilon=\epsilon(x) > 0\,[/mm]
> > dort stehen...)
> >
> > > <=> [mm]x\in \partial[/mm] (X\ A)
> > >
> > > Stimmt das so ?
> >
> > Nein. Wenn Du
> > [mm]x \in \partial A \iff \forall \epsilon > 0:\;\;\;\;\;\; U_\epsilon(x) \cap A \not=\emptyset\;\;\; \wedge\;\;\; U_\epsilon(x) \cap (X \setminus A) \not=\emptyset[/mm]
>
> >
> > zur Verfügung hast, dann ist es doch einfach:
> > Du musst zeigen, dass das gleichbedeutend ist mit der
> > rechten Seite von
> > der Folgenden Äquivalenz (diese Äquivalenz gilt dann
> ja
> > per Defnitionem!)
> > [mm]x \in \partial (\red{X \setminus A}) \iff \forall \epsilon > 0:\;\;\;\;\;\; U_\epsilon(x) \cap (\red{X \setminus A}) \not=\emptyset \;\;\;\wedge \;\;\;U_\epsilon(x) \cap (X \setminus (\red{X \setminus A})) \not=\emptyset\,.[/mm]
>
> >
> > Benutze dafür die Regeln von de Morgan bzgl. der
> > Mengenlehre (um [mm]A=X\setminus (\red{X \setminus A})[/mm]
> > zu begründen) und bedenke, dass "das logische Und"
> > kommutativ ist ([mm]A \wedge B \equiv B \wedge A\,.[/mm]).
> >
> > Die Aussage ist dann ziemlich trivial.
>
> Mh also um [mm]A=X\setminus({X \setminus A})[/mm] zu zeigen hätte
> ich jetzt wieder gesagt:
>
> Sei
es gilt
> x [mm]\in X\setminus ({X \setminus A})[/mm]
>
> [mm]\gdw x \in X \wedge x \not\in ({X \setminus A})[/mm]
>
> [mm]\gdw x\in X \wedge \red{(x \in X \wedge x \not\in A)}[/mm]
Na, hier ist der Fehler: Das rote Zeugs muss negiert werden, die letzte Zeile
gehört also so umgeschrieben:
[mm]\gdw x\in X \wedge \neg{(x \in X \wedge x \not\in A)}\,.[/mm]
Das ist auch gut und passt dann insgesamt so!
Gruß,
Marcel
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> was ist Eure Definition von "äußerer Punkt"? Ansonsten
> sehe ich das genauso,
> wie Du. Das letztstehende ist jedenfalls eine
> Charakterisierung von
> Randpunkt in metrischen Räumen!
Sei (M,d) metrischer Raum, $ [mm] A\subseteq [/mm] $ M. Ein Punkt $ [mm] x\in [/mm] $ M heißt äußerer Punkt von A, wenn eine [mm] \varepsilon [/mm] - Umgebung [mm] U_\varepsilon(x) [/mm] für irgendein [mm] \varepsilon>0 [/mm] ganz außerhalb von A liegt, also wenn x innerer punkt des Komplements [mm] M\backslash [/mm] A ist.
> > > > x [mm]\in \partial[/mm] A
> > > >
> > > > [mm]\gdw \forall \varepsilon>0: A\cap U_{\varepsilon}(x) \not=[/mm]
> > > > 0 [mm]\wedge[/mm] (
> > > > [mm]\red{X/M})[/mm] [mm]\cap U_{\varepsilon}(x) \not=[/mm] 0
> > >
> > > Du meinst hier sicher nicht [mm]X /M\,,[/mm] sondern [mm]X \setminus A\,.[/mm]
> > > Zudem ist die
> > > 0 bei den Mengen dort sicher die leere Menge:
> > [mm]\emptyset[/mm]!
> > >
> > > > <=> [mm]U_{\varepsilon}(x) \subseteq[/mm] (X/M) [mm]\wedge U_{\varepsilon}(x) \subseteq[/mm]
> > > > A
> > >
> > > Neben dem Verschreiber von oben: Hier musst Du auch [mm]\forall \epsilon > 0[/mm]
> > > mitnehmen!
> > >
> > > [mm]\iff \forall \epsilon > 0:\;\;\;\;\;\;\ldots[/mm]
> > >
> > > Jetzt frage ich mich aber: was schreibst Du denn da
> > > überhaupt? Was soll
> > > das? Was haben diese Teilmengenbeziehungen dort mit
> dem
> > > Rand zu tun?
> > > Kann es sein, dass Du - in Gedanken - vom Rand zu
> > "offene
> > > Menge" gehüpft
> > > bist? Aber auch das würde nicht passen. (Denn dann müsste
> > > anstatt [mm]\forall \epsilon > 0[/mm]
> > > ein [mm]\exists \epsilon=\epsilon(x) > 0\,[/mm]
> > > dort stehen...)
> > >
> > > > <=> [mm]x\in \partial[/mm] (X\ A)
> > > >
> > > > Stimmt das so ?
> > >
> > > Nein. Wenn Du
> > > [mm]x \in \partial A \iff \forall \epsilon > 0:\;\;\;\;\;\; U_\epsilon(x) \cap A \not=\emptyset\;\;\; \wedge\;\;\; U_\epsilon(x) \cap (X \setminus A) \not=\emptyset[/mm]
>
> >
> > >
> > > zur Verfügung hast, dann ist es doch einfach:
> > > Du musst zeigen, dass das gleichbedeutend ist mit
> der
> > > rechten Seite von
> > > der Folgenden Äquivalenz (diese Äquivalenz gilt
> dann
> > ja
> > > per Defnitionem!)
> > > [mm]x \in \partial (\red{X \setminus A}) \iff \forall \epsilon > 0:\;\;\;\;\;\; U_\epsilon(x) \cap (\red{X \setminus A}) \not=\emptyset \;\;\;\wedge \;\;\;U_\epsilon(x) \cap (X \setminus (\red{X \setminus A})) \not=\emptyset\,.[/mm]
>
> >
> > >
> > > Benutze dafür die Regeln von de Morgan bzgl. der
> > > Mengenlehre (um [mm]A=X\setminus (\red{X \setminus A})[/mm]
> > > zu begründen) und bedenke, dass "das logische Und"
> > > kommutativ ist ([mm]A \wedge B \equiv B \wedge A\,.[/mm]).
> > >
>
> > > Die Aussage ist dann ziemlich trivial.
> >
> > Mh also um [mm]A=X\setminus({X \setminus A})[/mm] zu zeigen hätte
> > ich jetzt wieder gesagt:
> >
> > Sei
>
> es gilt
>
> > x [mm]\in X\setminus ({X \setminus A})[/mm]
> >
> > [mm]\gdw x \in X \wedge x \not\in ({X \setminus A})[/mm]
> >
> > [mm]\gdw x\in X \wedge \red{(x \in X \wedge x \not\in A)}[/mm]
>
> Na, hier ist der Fehler: Das rote Zeugs muss negiert
> werden, die letzte Zeile
Mh, wieso darf ich die einfach negieren ?
Das verstehe ich noch nicht so ganz :/
> gehört also so umgeschrieben:
>
> [mm]\gdw x\in X \wedge \neg{(x \in X \wedge x \not\in A)}\,.[/mm]
Also hab ich dann
[mm] \gdw x\in [/mm] X [mm] \wedge {(\neg x \in X \vee x \neg \not\in A)}
[/mm]
[mm] \gdw x\in [/mm] X [mm] \wedge [/mm] {( x [mm] \not\in [/mm] X [mm] \vee [/mm] x [mm] \neg \in [/mm] A)}
[mm] \gdw (x\in [/mm] X [mm] \wedge [/mm] x [mm] \not\in [/mm] X) [mm] \vee [/mm] x [mm] \in [/mm] A)
[mm] \gdw x\in X\backslash [/mm] X [mm] \vee [/mm] x [mm] \in [/mm] A
[mm] \gdw x\in \emptyset \vee [/mm] x [mm] \in [/mm] A
[mm] \gdw [/mm] x [mm] \in [/mm] A ?
Zu b) $ [mm] \partial(\partial A)=\partial [/mm] $ A
Ich würde sagen, dass stimmt nicht.
Sei A:= [0,1]
Dann ist [mm] \partial [/mm] A:={0,1}
und [mm] \partial (\partial [/mm] A):= [mm] \emptyset
[/mm]
Also [mm] \partial [/mm] A [mm] \not= \partial (\partial [/mm] A)
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:57 Mo 20.05.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> > was ist Eure Definition von "äußerer Punkt"? Ansonsten
> > sehe ich das genauso,
> > wie Du. Das letztstehende ist jedenfalls eine
> > Charakterisierung von
> > Randpunkt in metrischen Räumen!
>
> Sei (M,d) metrischer Raum, [mm]A\subseteq[/mm] M. Ein Punkt [mm]x\in[/mm] M
> heißt äußerer Punkt von A, wenn eine [mm]\varepsilon[/mm] -
> Umgebung [mm]U_\varepsilon(x)[/mm] für irgendein [mm]\varepsilon>0[/mm] ganz
> außerhalb von A liegt, also wenn x innerer punkt des
> Komplements [mm]M\backslash[/mm] A ist.
jo, dachte ich mir schon fast. Das passt dann alles zusammen.
> > > > ...
> > > > Benutze dafür die Regeln von de Morgan bzgl. der
> > > > Mengenlehre (um [mm]A=X\setminus (\red{X \setminus A})[/mm]
> > > > zu begründen) und bedenke, dass "das logische Und"
> > > > kommutativ ist ([mm]A \wedge B \equiv B \wedge A\,.[/mm]).
> >
> > >
> >
> > > > Die Aussage ist dann ziemlich trivial.
> > >
> > > Mh also um [mm]A=X\setminus({X \setminus A})[/mm] zu zeigen hätte
> > > ich jetzt wieder gesagt:
> > >
> > > Sei
> >
> > es gilt
> >
> > > x [mm]\in X\setminus ({X \setminus A})[/mm]
> > >
> > > [mm]\gdw x \in X \wedge x \not\in ({X \setminus A})[/mm]
> > >
> > > [mm]\gdw x\in X \wedge \red{(x \in X \wedge x \not\in A)}[/mm]
>
> >
> > Na, hier ist der Fehler: Das rote Zeugs muss negiert
> > werden, die letzte Zeile
>
> Mh, wieso darf ich die einfach negieren ?
> Das verstehe ich noch nicht so ganz :/
Du darfst sie nicht einfach mal negieren, sondern Du musst das tun, weil Du es
schlichtweg vergessen hast: $x [mm] \red{\;\not\in\;}({X \setminus A})$ [/mm] bedeutet eben, dass NICHT $x [mm] \blue{\;\in\;}({X \setminus A})$ [/mm] gilt:
$$x [mm] \red{\;\not\in\;}({X \setminus A}) \iff \neg [/mm] (x [mm] \blue{\;\in\;}({X \setminus A}))\,.$$
[/mm]
> > gehört also so umgeschrieben:
> >
> > [mm]\gdw x\in X \wedge \neg{(x \in X \wedge x \not\in A)}\,.[/mm]
>
> Also hab ich dann
>
> [mm]\gdw x\in X \wedge {(\neg x \in X \vee x \neg \not\in A)}[/mm]
Naja, wenn Du anstatt $x [mm] \neg \not\in [/mm] A$ mal [mm] $\neg [/mm] (x [mm] \not\in [/mm] A)$ schreibst etc.,
dann ja. Du kannst doch keine Symbole negieren, negieren musst Du "Aussagen"!
> [mm]\gdw x\in X \wedge {( x \not\in X \vee x \neg \in A)}[/mm]
>
> [mm]\gdw \red{(x\in X \wedge x \not\in X) \vee x \in A}[/mm]
Aua - das, was Du hier machst, ist "zufällig" richtig. Wie geht die Regel nochmal
korrekt:
$$R [mm] \wedge [/mm] (S [mm] \vee [/mm] T)=(R [mm] \wedge [/mm] S) [mm] \vee [/mm] (R [mm] \wedge T)\,.$$
[/mm]
Das ist sowas wie "Distributivität", und keinesfalls "Assoziativität", beachte, dass
Du da einen "Mischmasch" aus [mm] $\vee$ [/mm] und [mm] $\wedge$ [/mm] hast. Käme "nur" eines
der beiden Symbole alleine vor, dann "dürftest Du die Klammern schieben"!
Genauer müßte anstatt des roten Teils also stehen:
[mm] $$\gdw [/mm] (x [mm] \in [/mm] X [mm] \wedge [/mm] x [mm] \notin [/mm] X) [mm] \vee [/mm] (x [mm] \in [/mm] X [mm] \wedge [/mm] x [mm] \in A)\,.$$
[/mm]
Wegen $A [mm] \subseteq [/mm] X$ ist aber $A [mm] \cap X=A\,,$ [/mm] deswegen hast Du da oben
"nur" einen formalen (Denk-)Fehler gemacht! Im nächsten Schritt kommt man
also zu Deinem von mir rotmarkierten Teil!
> [mm]\gdw x\in X\backslash[/mm] X [mm]\vee[/mm] x [mm]\in[/mm] A
>
> [mm]\gdw x\in \emptyset \vee[/mm] x [mm]\in[/mm] A
>
> [mm]\gdw[/mm] x [mm]\in[/mm] A ?
Bis auf den kleinen "Patzer": Ja!
> Zu b) [mm]\partial(\partial A)=\partial[/mm] A
>
> Ich würde sagen, dass stimmt nicht.
>
> Sei A:= [0,1]
>
> Dann ist [mm]\partial[/mm] A:={0,1}
>
> und [mm]\partial (\partial[/mm] A):= [mm]\emptyset[/mm]
Nein: [mm] $\partial (\partial [/mm] A)$ ist auch [mm] $=\{0,1\}\,.$
[/mm]
> Also [mm]\partial[/mm] A [mm]\not= \partial (\partial[/mm] A)
Leider nicht. Ich weiß, woher Deine Idee kommt:
Für jedes Element $x [mm] \in \partial(\partial [/mm] A)$ muss ja, so dachtest Du, [mm] $U_{\epsilon}(x) \cap \mathring{(\partial A)}$ [/mm] stets nicht leer sein. Jetzt sehen
wir das, was ich vorhin auch übersehen hatte: Bei der Aussage "weder innerer
noch äußerer Punkt" für die Charakterisierung eines Randpunktes braucht
man sich keine Gedanken darüber zu machen, was ist, wenn das innere
leer ist.
Daher stimmt Deine Aussage:
---------------------------------------------------------------
---------------------------------------------------------------
Zitat:
> Sei (M,d) metrischer Raum, $ [mm] A\subseteq [/mm] $ M. Ein Punkt $ [mm] x\in [/mm] $ M
> heißt Randpunkt von A, wenn x weder innerer noch äußerer
> Punkt ist, wenn also jedes $ [mm] U_\varepsilon [/mm] $ (x) (für
> $ [mm] \varepsilon>0) [/mm] $ sowohl Punkte aus A als auch Punkte aus $ [mm] M\setminusA [/mm] $
> enthält.
> Was ja das gleiche ist wie:
>
> $ x [mm] \in \partial [/mm] A [mm] \iff \forall \epsilon [/mm] > [mm] 0:\;\;\;\;\;\; U_\epsilon(x) \cap [/mm] A [mm] \not=\emptyset\;\;\; \wedge\;\;\; U_\epsilon(x) \cap [/mm] (X [mm] \setminus [/mm] A) [mm] \not=\emptyset [/mm] $
Zitat Ende
---------------------------------------------------------------
---------------------------------------------------------------
hier nicht: Kannst Du sie selbst korrigieren? Sie stimmt, so, wie sie da steht,
sicherlich, wenn sowohl das Innere als auch das Äußere von [mm] $A\,$ [/mm] nicht leer
sind.
P.S. Darfst Du
[mm] $$\red{\;(\*_1)\;}\;\;\;\;\;\;\partial A=\overline{A}\setminus \mathring{A}$$ [/mm]
benutzen? (Auf dem [mm] $A\,$ [/mm] nach dem [mm] $\setminus$ [/mm] ist ein kleiner Kringel, da ist
also der innere Kern von [mm] $A\,$ [/mm] gemeint!)
Sicherlich gilt [mm] $\partial A=\partial(\partial A)\,.$ [/mm] Die Beweisidee dazu wäre für
mich folgende:
1. Zeige/begründe, dass [mm] $\partial [/mm] A$ abgeschlossen ist. Damit ist [mm] $\partial A=\overline{\partial A}\,.$
[/mm]
2. Zeige, dass [mm] $\partial [/mm] A$ keine inneren Punkte hat: Es gilt also [mm] $\mathring{(\partial A)}=\varnothing\,.$
[/mm]
3. Wegen [mm] $\red{\;(\*_1)\;}$ [/mm] bekommst Du dann mit 1. und 2. schnell raus, dass [mm] $\partial(\partial A)=\partial A\,.$
[/mm]
P.S. Sorry, dass mir das nicht vorher aufgefallen war, dass die "Zitat"-Aussage
noch nicht ganz korrekt war. Aber das ist auch wirklich leicht zu übersehen,
gut, dass wir es nun an der Stelle hier bemerkt haben.
P.P.S. Dass mit [mm] $A=[0,1]\,$ [/mm] auch wirklich [mm] $\partial(\partial A)=\{0,1\}$ [/mm] gilt, davon kannst Du Dich auch
mit "Folgen" überzeugen...
Gruß,
Marcel
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> > > Na, hier ist der Fehler: Das rote Zeugs muss negiert
> > > werden, die letzte Zeile
> >
> > Mh, wieso darf ich die einfach negieren ?
> > Das verstehe ich noch nicht so ganz :/
>
> Du darfst sie nicht einfach mal negieren, sondern Du musst
> das tun, weil Du es
> schlichtweg vergessen hast: [mm]x \red{\;\not\in\;}({X \setminus A})[/mm]
> bedeutet eben, dass NICHT [mm]x \blue{\;\in\;}({X \setminus A})[/mm]
> gilt:
> [mm]x \red{\;\not\in\;}({X \setminus A}) \iff \neg (x \blue{\;\in\;}({X \setminus A}))\,.[/mm]
>
> > > gehört also so umgeschrieben:
Ah ich hatte nen denkfehler, dankeschön jetzt hab ich´s verstanden.
> > Zu b) [mm]\partial(\partial A)=\partial[/mm] A
> >
> > Ich würde sagen, dass stimmt nicht.
> >
> > Sei A:= [0,1]
> >
> > Dann ist [mm]\partial[/mm] A:={0,1}
> >
> > und [mm]\partial (\partial[/mm] A):= [mm]\emptyset[/mm]
>
> Nein: [mm]\partial (\partial A)[/mm] ist auch [mm]=\{0,1\}\,.[/mm]
Mh, ich dachte aber M:={0,1} wären isolierte punkte da es eine umgebung um die 0 gibt, die keine elemente aus M enthält (von 0 abgesehen), sondern nur welche aus dem Komplement. Das stände ja im wiederspruch zur definition, da ein punkt entweder Rand, isolierter oder innerer punkt sein kann.
>
> > Also [mm]\partial[/mm] A [mm]\not= \partial (\partial[/mm] A)
>
> Leider nicht. Ich weiß, woher Deine Idee kommt:
> Für jedes Element [mm]x \in \partial(\partial A)[/mm] muss ja, so
> dachtest Du, [mm]U_{\epsilon}(x) \cap \mathring{(\partial A)}[/mm]
> stets nicht leer sein. Jetzt sehen
> wir das, was ich vorhin auch übersehen hatte: Bei der
> Aussage "weder innerer
> noch äußerer Punkt" für die Charakterisierung eines
> Randpunktes braucht
> man sich keine Gedanken darüber zu machen, was ist, wenn
> das innere
> leer ist.
>
> Daher stimmt Deine Aussage:
>
> ---------------------------------------------------------------
>
> ---------------------------------------------------------------
> Zitat:
> > Sei (M,d) metrischer Raum, [mm]A\subseteq[/mm] M. Ein Punkt [mm]x\in[/mm]
> M
> > heißt Randpunkt von A, wenn x weder innerer noch
> äußerer
> > Punkt ist, wenn also jedes [mm]U_\varepsilon[/mm] (x) (für
> > [mm]\varepsilon>0)[/mm] sowohl Punkte aus A als auch Punkte aus
> [mm]M\setminusA[/mm]
> > enthält.
>
> > Was ja das gleiche ist wie:
> >
> > [mm]x \in \partial A \iff \forall \epsilon > 0:\;\;\;\;\;\; U_\epsilon(x) \cap A \not=\emptyset\;\;\; \wedge\;\;\; U_\epsilon(x) \cap (X \setminus A) \not=\emptyset[/mm]
>
> Zitat Ende
>
> ---------------------------------------------------------------
>
> ---------------------------------------------------------------
>
> hier nicht: Kannst Du sie selbst korrigieren? Sie stimmt,
> so, wie sie da steht,
> sicherlich, wenn sowohl das Innere als auch das Äußere
> von [mm]A\,[/mm] nicht leer
> sind.
Also darf es auch die leere menge sein ? Also ich dachte es müsste mindestens ein element von der menge, und eines vom komplement enthalten sein. Deswegen weiss ich nicht so recht, wie ich das ganze nun umschreiben soll. Ich scheine wohl noch eine falsche vorstellung von randpunkten zu haben.
> P.S. Darfst Du
> [mm]\red{\;(\*_1)\;}\;\;\;\;\;\;\partial A=\overline{A}\setminus \mathring{A}[/mm]
> benutzen? (Auf dem [mm]A\,[/mm] nach dem [mm]\setminus[/mm] ist ein kleiner
> Kringel, da ist
> also der innere Kern von [mm]A\,[/mm] gemeint!)
Ja, dass darf ich benutzen.
> Sicherlich gilt [mm]\partial A=\partial(\partial A)\,.[/mm] Die
> Beweisidee dazu wäre für
> mich folgende:
> 1. Zeige/begründe, dass [mm]\partial A[/mm] abgeschlossen ist.
> Damit ist [mm]\partial A=\overline{\partial A}\,.[/mm]
>
> 2. Zeige, dass [mm]\partial A[/mm] keine inneren Punkte hat: Es gilt
> also [mm]\mathring{(\partial A)}=\varnothing\,.[/mm]
>
> 3. Wegen [mm]\red{\;(\*_1)\;}[/mm] bekommst Du dann mit 1. und 2.
> schnell raus, dass [mm]\partial(\partial A)=\partial A\,.[/mm]
>
> P.S. Sorry, dass mir das nicht vorher aufgefallen war, dass
> die "Zitat"-Aussage
> noch nicht ganz korrekt war. Aber das ist auch wirklich
> leicht zu übersehen,
> gut, dass wir es nun an der Stelle hier bemerkt haben.
Ist ja nicht schlimm, kann mal passieren :)
> P.P.S. Dass mit [mm]A=[0,1]\,[/mm] auch wirklich [mm]\partial(\partial A)=\{0,1\}[/mm]
> gilt, davon kannst Du Dich auch
> mit "Folgen" überzeugen...
Mh, da muss ich nochmal drüber nachdenken
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 02:24 Di 21.05.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> > > > Na, hier ist der Fehler: Das rote Zeugs muss negiert
> > > > werden, die letzte Zeile
> > >
> > > Mh, wieso darf ich die einfach negieren ?
> > > Das verstehe ich noch nicht so ganz :/
> >
> > Du darfst sie nicht einfach mal negieren, sondern Du musst
> > das tun, weil Du es
> > schlichtweg vergessen hast: [mm]x \red{\;\not\in\;}({X \setminus A})[/mm]
> > bedeutet eben, dass NICHT [mm]x \blue{\;\in\;}({X \setminus A})[/mm]
> > gilt:
> > [mm]x \red{\;\not\in\;}({X \setminus A}) \iff \neg (x \blue{\;\in\;}({X \setminus A}))\,.[/mm]
>
> >
> > > > gehört also so umgeschrieben:
>
> Ah ich hatte nen denkfehler, dankeschön jetzt hab ich´s
> verstanden.
>
>
> > > Zu b) [mm]\partial(\partial A)=\partial[/mm] A
> > >
> > > Ich würde sagen, dass stimmt nicht.
> > >
> > > Sei A:= [0,1]
> > >
> > > Dann ist [mm]\partial[/mm] A:={0,1}
> > >
> > > und [mm]\partial (\partial[/mm] A):= [mm]\emptyset[/mm]
> >
> > Nein: [mm]\partial (\partial A)[/mm] ist auch [mm]=\{0,1\}\,.[/mm]
>
> Mh, ich dachte aber
die Punkte aus
> M:={0,1} wären isolierte punkte da es
> eine umgebung um die 0 gibt, die keine elemente aus M
> enthält (von 0 abgesehen), sondern nur welche aus dem
> Komplement.
Das sind ja auch isolierte Punkte.
> Das stände ja im wiederspruch zur definition,
> da ein punkt entweder Rand, isolierter oder innerer punkt
> sein kann.
Wo steht denn sowas?
![[]](/images/popup.gif) http://de.wikipedia.org/wiki/Rand_%28Topologie%29
http://de.wikipedia.org/wiki/Isolierter_Punkt
(Kann es sein, dass Du meintest, dass ein Punkt entweder innerer Punkt,
Randpunkt oder aber äußerer Punkt IST? Das würde stimmen!)
In einem metrischen Raum ist jede ENDLICHE Menge von isolierten
Punkten stets abgeschlossen. Hat man aber unendlich viele isolierte Punkte,
dann sieht die Sache eventuell wieder anders aus:
Beispielsweise ist
[mm] $$\left\{\frac{1}{n}:\;\; n \in \IN\right\}$$
[/mm]
eine Menge isolierter Punkte, die nicht abgeschlossen sein kann (in [mm] $\IR$).
[/mm]
Zur Isoliertheit:
Für [mm] $\frac{1}{n} \in [/mm] M$ betrachte [mm] $\epsilon [/mm] > 0$ mit [mm] $\epsilon \le \frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}=\frac{1}{n*(n+1)}\,.$
[/mm]
> >
> > > Also [mm]\partial[/mm] A [mm]\not= \partial (\partial[/mm] A)
> >
> > Leider nicht. Ich weiß, woher Deine Idee kommt:
> > Für jedes Element [mm]x \in \partial(\partial A)[/mm] muss ja,
> so
> > dachtest Du, [mm]U_{\epsilon}(x) \cap \mathring{(\partial A)}[/mm]
> > stets nicht leer sein. Jetzt sehen
> > wir das, was ich vorhin auch übersehen hatte: Bei der
> > Aussage "weder innerer
> > noch äußerer Punkt" für die Charakterisierung eines
> > Randpunktes braucht
> > man sich keine Gedanken darüber zu machen, was ist,
> wenn
> > das innere
> > leer ist.
> >
> > Daher stimmt Deine Aussage:
> >
> >
> ---------------------------------------------------------------
> >
> >
> ---------------------------------------------------------------
> > Zitat:
> > > Sei (M,d) metrischer Raum, [mm]A\subseteq[/mm] M. Ein Punkt
> [mm]x\in[/mm]
> > M
> > > heißt Randpunkt von A, wenn x weder innerer noch
> > äußerer
> > > Punkt ist, wenn also jedes [mm]U_\varepsilon[/mm] (x) (für
> > > [mm]\varepsilon>0)[/mm] sowohl Punkte aus A als auch Punkte
> aus
> > [mm]M\setminusA[/mm]
> > > enthält.
> >
> > > Was ja das gleiche ist wie:
> > >
> > > [mm]x \in \partial A \iff \forall \epsilon > 0:\;\;\;\;\;\; U_\epsilon(x) \cap A \not=\emptyset\;\;\; \wedge\;\;\; U_\epsilon(x) \cap (X \setminus A) \not=\emptyset[/mm]
> >
> > Zitat Ende
> >
> >
> ---------------------------------------------------------------
> >
> >
> ---------------------------------------------------------------
> >
> > hier nicht: Kannst Du sie selbst korrigieren? Sie stimmt,
> > so, wie sie da steht,
> > sicherlich, wenn sowohl das Innere als auch das
> Äußere
> > von [mm]A\,[/mm] nicht leer
> > sind.
>
>
> Also darf es auch die leere menge sein ? Also ich dachte es
> müsste mindestens ein element von der menge, und eines vom
> komplement enthalten sein. Deswegen weiss ich nicht so
> recht, wie ich das ganze nun umschreiben soll. Ich scheine
> wohl noch eine falsche vorstellung von randpunkten zu
> haben.
Na, mittlerweile habe ich mich selbst verwirrt: Ich glaube, Deine Fassung
oben stimmt doch. (Ich dachte wohl, dass Du $ [mm] U_\epsilon(x) \cap \mathring{A} \not=\varnothing [/mm] $ gemeint hattest - das würde auch zu der
Folgerung dann passen. Jetzt muss ich wohl die falsche Korrektur meinerseits
wieder korrigieren... oh man! ^^)
Und zwar folgendes:
$ [mm] \partial\{0,1\}=\{0,1\}\,. [/mm] $
Denn: Natürlich gilt $ [mm] U_\epsilon(1) \cap \{0,1\}=\{1\} [/mm] $ für jedes $ 0 < [mm] \epsilon \le 1\,. [/mm] $ Analog $ [mm] U_\epsilon(0) \cap \{0\}=\{0\} [/mm] $ für jedes $ 0 < [mm] \epsilon \le 1\,. [/mm] $
Und dass [mm] $U_{\epsilon}(1) \cap \IR \setminus \{0,1\}=U_\epsilon(1) \cap (\;\;(-\infty,0) \cup [/mm] (0,1) [mm] \cup (1,\infty)\;\;)$ [/mm] stets nicht leer
ist, weil schon [mm] $U_{\epsilon}(1) \cap [/mm] (0,1)$ stets nicht leer ist, ist klar.
Analoges für [mm] $U_\epsilon(0)\,.$
[/mm]
Also folgt $ [mm] \{0,1\} \subseteq \partial\{0,1\}\,. [/mm] $ Und wäre nun $ [mm] \{0,1\} \subsetneqq \partial\{0,1\}\,, [/mm] $ so gäbe es ein $ a [mm] \in \partial\{0,1\}\,, [/mm] $ $ a [mm] \not=0 [/mm] $ und $ a [mm] \not=1\, [/mm] $ so,
dass ... (den Rest kannst Du selbst mal überlegen)!
> > P.S. Darfst Du
> > [mm]\red{\;(\*_1)\;}\;\;\;\;\;\;\partial A=\overline{A}\setminus \mathring{A}[/mm]
> > benutzen? (Auf dem [mm]A\,[/mm] nach dem [mm]\setminus[/mm] ist ein kleiner
> > Kringel, da ist
> > also der innere Kern von [mm]A\,[/mm] gemeint!)
>
> Ja, dass darf ich benutzen.
>
>
> > Sicherlich gilt [mm]\partial A=\partial(\partial A)\,.[/mm] Die
> > Beweisidee dazu wäre für
> > mich folgende:
> > 1. Zeige/begründe, dass [mm]\partial A[/mm] abgeschlossen ist.
> > Damit ist [mm]\partial A=\overline{\partial A}\,.[/mm]
> >
> > 2. Zeige, dass [mm]\partial A[/mm] keine inneren Punkte hat: Es gilt
> > also [mm]\mathring{(\partial A)}=\varnothing\,.[/mm]
> >
> > 3. Wegen [mm]\red{\;(\*_1)\;}[/mm] bekommst Du dann mit 1. und 2.
> > schnell raus, dass [mm]\partial(\partial A)=\partial A\,.[/mm]
> >
> > P.S. Sorry, dass mir das nicht vorher aufgefallen war, dass
> > die "Zitat"-Aussage
> > noch nicht ganz korrekt war. Aber das ist auch wirklich
> > leicht zu übersehen,
> > gut, dass wir es nun an der Stelle hier bemerkt haben.
>
> Ist ja nicht schlimm, kann mal passieren :)
Na, noch blöder ist, dass ich das zuerst für richtig befunden hatte, jetzt dachte,
es sei falsch (weil ich nicht mehr nachgeguckt hatte, sondern zu schnell
C&P gemacht habe und dachte, dass da $ [mm] U_\epsilon(x) \cap \mathring{A}\,, [/mm] $ also mit
dem inneren Kern von $ [mm] A\,, [/mm] $ steht. Das steht aber gar nicht da...)
> > P.P.S. Dass mit [mm]A=[0,1]\,[/mm] auch wirklich [mm]\partial(\partial A)=\{0,1\}[/mm]
> > gilt, davon kannst Du Dich auch
> > mit "Folgen" überzeugen...
>
> Mh, da muss ich nochmal drüber nachdenken
So, sorry. Du brauchst bei dem Zitierten keine Fallunterscheidungen zu treffen,
wie ich dachte, das war schon korrekt. Mit ist dann allerdings nicht so ganz
klar, wie Du auf $ [mm] \partial(\partial\{0,1\})=\varnothing [/mm] $ gekommen
bist. Ich glaube auch, Deine Vorstellung von Randpunkten ist ganz gut. Mit dem
Begriff von isolierten Punkten tust Du Dich vielleicht noch eher schwer, kann
das sein?
Grob: Isolierter Punkt zu sein heißt eigentlich, ich kann mir eine Umgebung
schaffen, in die kein anderes Element des metrischen Raumes eindringen
kann - solche stellen wir uns ja eigentlich immer wie anschauliche Kreise
oder Kugeln vor.
So nach dem Motto von Archimedes, der als isolierter Punkt froh gewesen
wäre, er sagte ja "Störe meine Kreise nicht!", und als isolierter Punkt wäre
er der einzige, der in seiner Kreisumgebung eh hätte existieren dürfen...
P.S. Sorry, ich hoffe, Du bist nun nicht gänzlich verwirrt, aber wie gesagt:
Deine erste Fassung von "Randpunkt" war doch absolut korrekt!
Und außerdem: Ich habe erst dann die Verwirrung gänzlich vollendet, wenn
ich selbst meinen Ausführungen nicht mehr folgen kann! 
Gruß,
Marcel
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> > > > Zu b) [mm]\partial(\partial A)=\partial[/mm] A
> > > >
> > > > Ich würde sagen, dass stimmt nicht.
> > > >
> > > > Sei A:= [0,1]
> > > >
> > > > Dann ist [mm]\partial[/mm] A:={0,1}
> > > >
> > > > und [mm]\partial (\partial[/mm] A):= [mm]\emptyset[/mm]
> > >
> > > Nein: [mm]\partial (\partial A)[/mm] ist auch [mm]=\{0,1\}\,.[/mm]
> >
> > Mh, ich dachte aber
>
> die Punkte aus
>
> > M:={0,1} wären isolierte punkte da es
> > eine umgebung um die 0 gibt, die keine elemente aus M
> > enthält (von 0 abgesehen), sondern nur welche aus dem
> > Komplement.
>
> Das sind ja auch isolierte Punkte.
>
> > Das stände ja im wiederspruch zur definition,
> > da ein punkt entweder Rand, isolierter oder innerer punkt
> > sein kann.
>
> Wo steht denn sowas?
>
> http://de.wikipedia.org/wiki/Rand_%28Topologie%29
>
> http://de.wikipedia.org/wiki/Isolierter_Punkt
>
> (Kann es sein, dass Du meintest, dass ein Punkt entweder
> innerer Punkt,
> Randpunkt oder aber äußerer Punkt IST? Das würde
> stimmen!)
Ja genau das meinte ich, auch wenn es in dem zusammenhang so keinen sinn mehr macht. Ich bin wohl auch etwas durcheinander :D
> So, sorry. Du brauchst bei dem Zitierten keine
> Fallunterscheidungen zu treffen,
> wie ich dachte, das war schon korrekt. Mit ist dann
> allerdings nicht so ganz
> klar, wie Du auf [mm]\partial(\partial\{0,1\})=\varnothing[/mm]
> gekommen
> bist.
Ich hab mir das ganze so gedacht: Sei A:=[0,1]
Dann gilt [mm] \partial [/mm] A={0,1}
Da nur 0 und 1 randpunkte von A sind.
Dann wäre ja [mm] \partial A(\partial [/mm] A)= [mm] \partial [/mm] A {0,1}.
Aber 1, kann kein Randpunkt sein, denn wie sie sagten:
$ [mm] U_\epsilon(1) \cap \{0,1\}=\{1\} [/mm] $ für jedes $ 0 < [mm] \epsilon \le 1\,. [/mm] $
Für 0 folgt das ganze analog, also ist
[mm] \partial A(\partial [/mm] A)= [mm] \partial [/mm] A [mm] \{0,1\}= \emptyset
[/mm]
Zumindest hatte ich mir das gestern so gedacht. Ich muss mich aber wohl auch erstmal neu sortieren und die gedanken ordnen.
Die gleichheit sehe ich bis dato noch nicht.
> P.S. Sorry, ich hoffe, Du bist nun nicht gänzlich
> verwirrt, aber wie gesagt:
> Deine erste Fassung von "Randpunkt" war doch absolut
> korrekt!
Ach wird schon werden :)
> Und außerdem: Ich habe erst dann die Verwirrung gänzlich
> vollendet, wenn
> ich selbst meinen Ausführungen nicht mehr folgen kann!
>
>
> Gruß,
> Marcel
haha, dass kenne ich nur zu gut
mfg. Hellsing
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:36 Di 21.05.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> > > > > Zu b) [mm]\partial(\partial A)=\partial[/mm] A
> > > > >
> > > > > Ich würde sagen, dass stimmt nicht.
> > > > >
> > > > > Sei A:= [0,1]
> > > > >
> > > > > Dann ist [mm]\partial[/mm] A:={0,1}
> > > > >
> > > > > und [mm]\partial (\partial[/mm] A):= [mm]\emptyset[/mm]
> > > >
> > > > Nein: [mm]\partial (\partial A)[/mm] ist auch [mm]=\{0,1\}\,.[/mm]
> > >
> > > Mh, ich dachte aber
> >
> > die Punkte aus
> >
> > > M:={0,1} wären isolierte punkte da es
> > > eine umgebung um die 0 gibt, die keine elemente aus M
> > > enthält (von 0 abgesehen), sondern nur welche aus dem
> > > Komplement.
> >
> > Das sind ja auch isolierte Punkte.
> >
> > > Das stände ja im wiederspruch zur definition,
> > > da ein punkt entweder Rand, isolierter oder innerer punkt
> > > sein kann.
> >
> > Wo steht denn sowas?
> >
> >
> http://de.wikipedia.org/wiki/Rand_%28Topologie%29
> >
> >
> http://de.wikipedia.org/wiki/Isolierter_Punkt
> >
> > (Kann es sein, dass Du meintest, dass ein Punkt entweder
> > innerer Punkt,
> > Randpunkt oder aber äußerer Punkt IST? Das würde
> > stimmen!)
>
> Ja genau das meinte ich, auch wenn es in dem zusammenhang
> so keinen sinn mehr macht. Ich bin wohl auch etwas
> durcheinander :D
>
>
>
>
>
> > So, sorry. Du brauchst bei dem Zitierten keine
> > Fallunterscheidungen zu treffen,
> > wie ich dachte, das war schon korrekt. Mit ist dann
> > allerdings nicht so ganz
> > klar, wie Du auf [mm]\partial(\partial\{0,1\})=\varnothing[/mm]
> > gekommen
> > bist.
>
>
> Ich hab mir das ganze so gedacht: Sei A:=[0,1]
>
> Dann gilt [mm]\partial[/mm] A={0,1}
> Da nur 0 und 1 randpunkte von A sind.
>
> Dann wäre ja [mm]\partial A(\partial[/mm] A)= [mm]\partial[/mm] A {0,1}.
Was soll hier [mm] $\partial A(\partial [/mm] A)$ bedeuten? Meinst Du [mm] $\partial(\partial [/mm] A)$? Und was bedeutet [mm] $\partial A\{0,1\}$?
[/mm]
> Aber 1, kann kein Randpunkt sein, denn wie sie sagten:
Duze mich bitte, wenn ich mal in's Rentenalter komme, dann sieze mich vielleicht
- ich bin ja nicht so viel älter als Du! Außerdem ist das hier üblich! ^^
> [mm]U_\epsilon(1) \cap \{0,1\}=\{1\}[/mm] für jedes [mm]0 < \epsilon \le 1\,.[/mm]
Aber wieso sollte daraus denn folgen, dass 1 kein Randpunkt ist? Das würde
Sinn machen, wenn da [mm] $U_\epsilon(1) \cap \{0,1\}=\varnothing$ [/mm] rauskäme.
Aber mit [mm] $\{1\} \subseteq U_\epsilon(1) \cap \{0,1\}$ [/mm] (für ALLE [mm] $\epsilon [/mm] > 0$) ist doch sicher stets [mm] $U_\epsilon(1) \cap \{0,1\} \red{\;\not=\;}\varnothing$!
[/mm]
Und zudem ist ja auch [mm] $U_{\epsilon}(1) \cap \IR \setminus \{0,1\}$ [/mm] stets nicht leer (etwa weil [mm] $1-\epsilon/2$ [/mm] in dieser
Umgebung liegt, und im Falle [mm] $\epsilon=2$ [/mm] sehen wir, dass [mm] $0,5\,$ [/mm] in dieser Umgebung liegt)!
Also ist 1 ein Randpunkt von [mm] $\partial\{0,1\}$! [/mm]
> Für 0 folgt das ganze analog, also ist
>
> [mm]\partial A(\partial[/mm] A)= [mm]\partial[/mm] A [mm]\{0,1\}= \emptyset[/mm]
>
> Zumindest hatte ich mir das gestern so gedacht. Ich muss
> mich aber wohl auch erstmal neu sortieren und die gedanken
> ordnen.
> Die gleichheit sehe ich bis dato noch nicht.
Wie gesagt: Nimm' halt an, es gäbe ein $a [mm] \in \IR \setminus \{0,1\}\,,$ [/mm] so dass $a [mm] \in \partial \{0,1\}\;\;\;\;(=\partial(\partial[0,1]))$ [/mm] wäre. Dann suche
ein genügend kleines [mm] $\epsilon [/mm] > 0$ so, dass [mm] $U_{\epsilon}(a) \cap \{0,1\}$ [/mm] doch die leere Menge ist. Eine kleine Skizze hilft hier ungemein, falls Du in solchen Aufgaben ungeübt bist!
> > P.S. Sorry, ich hoffe, Du bist nun nicht gänzlich
> > verwirrt, aber wie gesagt:
> > Deine erste Fassung von "Randpunkt" war doch absolut
> > korrekt!
>
> Ach wird schon werden :)
>
> > Und außerdem: Ich habe erst dann die Verwirrung gänzlich
> > vollendet, wenn
> > ich selbst meinen Ausführungen nicht mehr folgen kann!
> >
> >
> > Gruß,
> > Marcel
>
> haha, dass kenne ich nur zu gut
Irgendwann stehe ich dann wie einer meiner Dozenten mal da; der guckte
auf seinen Zettel, wo er die Übungen vorbereitet hatte:
"So, schauen Sie mal, das ist jetzt trivial... Ähm, hmmm, ist das wirklich trivial?
Hier steht das mal so... aber wenn man drüber nachdenkt, warum das
trivial sein sollte, dann ist das gar nicht trivial...
(Pause)
Was hab' ich mir denn dabei gedacht? Mhm, anscheinend habe ich mir gar
nichts dabei gedacht. Naja, nehmen Sie's mal so hin..."
Gruß,
Marcel
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> Wie gesagt: Nimm' halt an, es gäbe ein [mm]a \in \IR \setminus \{0,1\}\,,[/mm]
> so dass [mm]a \in \partial \{0,1\}\;\;\;\;(=\partial(\partial[0,1]))[/mm]
> wäre. Dann suche
> ein genügend kleines [mm]\epsilon > 0[/mm] so, dass
> [mm]U_{\epsilon}(a) \cap \{0,1\}[/mm] doch die leere Menge ist. Eine
> kleine Skizze hilft hier ungemein, falls Du in solchen
> Aufgaben ungeübt bist!
Ich hab grade einen riesen denkfehler gehabt. Ich habe die randpunktdefinition mit der von häufungspunkten durchmixt und zu einem brei verarbeitet der so nicht stimmen kann. Jetzt ist aber wieder alles da wo es hingehört und ich sehe ein, 0 und 1 sind Randpunhkte. Puh was ne arbeit :D
Mh mit [mm] y\in\{0,1\} [/mm] kann ich [mm] \varepsilon:=min|y-a| [/mm] setzen, sodass [mm] U_\varepsilon(a)\cap=\emptyset [/mm] gilt ?
Das wäre dann ein wiederspruch zur annahme, dass a ein Randpunkt von [mm] (=\partial(\partial[0,1])) [/mm] wäre, also sind 0 und 1 die einzigen randpunkte von [mm] (=\partial(\partial[0,1])) [/mm] womit [mm] (=\partial(\partial[0,1])) [/mm] = [mm] (\partial[0,1]) [/mm] gilt.
> Irgendwann stehe ich dann wie einer meiner Dozenten mal da;
> der guckte
> auf seinen Zettel, wo er die Übungen vorbereitet hatte:
> "So, schauen Sie mal, das ist jetzt trivial... Ähm, hmmm,
> ist das wirklich trivial?
> Hier steht das mal so... aber wenn man drüber nachdenkt,
> warum das
> trivial sein sollte, dann ist das gar nicht trivial...
>
> (Pause)
>
> Was hab' ich mir denn dabei gedacht? Mhm, anscheinend habe
> ich mir gar
> nichts dabei gedacht. Naja, nehmen Sie's mal so hin..."
>
> Gruß,
> Marcel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:20 Di 21.05.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo!
> > Wie gesagt: Nimm' halt an, es gäbe ein [mm]a \in \IR \setminus \{0,1\}\,,[/mm]
> > so dass [mm]a \in \partial \{0,1\}\;\;\;\;(=\partial(\partial[0,1]))[/mm]
> > wäre. Dann suche
> > ein genügend kleines [mm]\epsilon > 0[/mm] so, dass
> > [mm]U_{\epsilon}(a) \cap \{0,1\}[/mm] doch die leere Menge ist. Eine
> > kleine Skizze hilft hier ungemein, falls Du in solchen
> > Aufgaben ungeübt bist!
>
>
> Ich hab grade einen riesen denkfehler gehabt. Ich habe die
> randpunktdefinition mit der von häufungspunkten durchmixt
> und zu einem brei verarbeitet der so nicht stimmen kann.
Sowas kann passieren - besser jetzt, als in 'ner Klausur - vor allem wirst
Du in der Klausur dann auch zweimal hingucken, ob Dir so'n Verwechsler
nicht passiert ist. Ich find' manchmal, dass man manche Fehler auch einfach
mal gemacht haben muss - denn danach macht man sie mit einer etwas
höheren Wahrscheinlichkeit nicht mehr, oder man findet sie schneller!
> Jetzt ist aber wieder alles da wo es hingehört und ich
> sehe ein, 0 und 1 sind Randpunhkte. Puh was ne arbeit :D
>
> Mh mit [mm]y\in\{0,1\}[/mm] kann ich [mm]\varepsilon:=min|y-a|[/mm] setzen,
> sodass [mm]U_\varepsilon(a)\cap=\emptyset[/mm] gilt ?
Ja, das kannst Du auch vernünftiger hinschreiben:
[mm] $$\varepsilon:=\min\{|y-a|: \;\;y \in \{0;\;1\}\}$$
[/mm]
oder
[mm] $$\varepsilon:=\min\{|y-a|: \;\;y=0;\;1\}$$
[/mm]
oder
[mm] $$\varepsilon:=\min_{y \in \{0;\;1\}}|y-a|$$
[/mm]
oder
[mm] $$\varepsilon:=\min_{y=0;\;1}|y-a|$$
[/mm]
oder oder oder...
Kannst Du das auch beweisen, dass die Wahl des [mm] $\epsilon$ [/mm] geeignet ist für das, was
Du behauptest? (Mini-Beweis...)
Und erwähnen möchte ich dabei nochmal:
[mm] $$\{|y-a|: \;\;y \in \{0;\;1\}\}$$
[/mm]
ist eine ENDLICHE Menge (echt) positiver Zahlen, so dass das Minimum existiert
und auch (echt) positiv sein muss!
> Das wäre dann ein wiederspruch zur annahme, dass a ein
> Randpunkt von [mm](=\partial(\partial[0,1]))[/mm] wäre, also sind 0
> und 1 die einzigen randpunkte von
> [mm](=\partial(\partial[0,1]))[/mm] womit [mm](=\partial(\partial[0,1]))[/mm]
> = [mm](\partial[0,1])[/mm] gilt.
Genau!
Gruß,
Marcel
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> > Mh mit [mm]y\in\{0,1\}[/mm] kann ich [mm]\varepsilon:=min|y-a|[/mm] setzen,
> > sodass [mm]U_\varepsilon(a)\cap=\emptyset[/mm] gilt ?
>
> Ja, das kannst Du auch vernünftiger hinschreiben:
> [mm]\varepsilon:=\min\{|y-a|: \;\;y \in \{0;\;1\}\}[/mm]
> oder
> [mm]\varepsilon:=\min\{|y-a|: \;\;y=0;\;1\}[/mm]
> oder
> [mm]\varepsilon:=\min_{y \in \{0;\;1\}}|y-a|[/mm]
> oder
> [mm]\varepsilon:=\min_{y=0;\;1}|y-a|[/mm]
> oder oder oder...
>
> Kannst Du das auch beweisen, dass die Wahl des [mm]\epsilon[/mm]
> geeignet ist für das, was
> Du behauptest? (Mini-Beweis...)
Mh sei x [mm] \in \partial [/mm] A. Wäre a [mm] \in \partial [/mm] A dann existiert a [mm] \in U_\varepsilon [/mm] (x). Somit gilt für alle [mm] y\in \{0,1\}:
[/mm]
[mm] |x-y|\le [/mm] |x-a|+|y-a|<2 [mm] \varepsilon
[/mm]
mh ne so kann das nicht stimmen. Ich dachte irgendwie was mit dreiecksungleichung und zeigen die umgebung liegt dann nicht in der Menge, obwohl sie dort liegen müsste.
> Und erwähnen möchte ich dabei nochmal:
> [mm]\{|y-a|: \;\;y \in \{0;\;1\}\}[/mm]
> ist eine ENDLICHE Menge
> (echt) positiver Zahlen, so dass das Minimum existiert
> und auch (echt) positiv sein muss!
>
> > Das wäre dann ein wiederspruch zur annahme, dass a ein
> > Randpunkt von [mm](=\partial(\partial[0,1]))[/mm] wäre, also sind 0
> > und 1 die einzigen randpunkte von
> > [mm](=\partial(\partial[0,1]))[/mm] womit [mm](=\partial(\partial[0,1]))[/mm]
> > = [mm](\partial[0,1])[/mm] gilt.
>
> Genau!
>
> Gruß,
> Marcel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:18 Di 21.05.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo!
> > > Mh mit [mm]y\in\{0,1\}[/mm] kann ich [mm]\varepsilon:=min|y-a|[/mm] setzen,
> > > sodass [mm]U_\varepsilon(a)\cap=\emptyset[/mm] gilt ?
> >
> > Ja, das kannst Du auch vernünftiger hinschreiben:
> > [mm]\varepsilon:=\min\{|y-a|: \;\;y \in \{0;\;1\}\}[/mm]
> >
> oder
> > [mm]\varepsilon:=\min\{|y-a|: \;\;y=0;\;1\}[/mm]
> > oder
> > [mm]\varepsilon:=\min_{y \in \{0;\;1\}}|y-a|[/mm]
> > oder
> > [mm]\varepsilon:=\min_{y=0;\;1}|y-a|[/mm]
> > oder oder oder...
> >
> > Kannst Du das auch beweisen, dass die Wahl des [mm]\epsilon[/mm]
> > geeignet ist für das, was
> > Du behauptest? (Mini-Beweis...)
>
> Mh sei x [mm]\in \partial[/mm] A. Wäre a [mm]\in \partial[/mm] A dann
> existiert a [mm]\in U_\varepsilon[/mm] (x). Somit gilt für alle
> [mm]y\in \{0,1\}:[/mm]
>
> [mm]|x-y|\le[/mm] |x-a|+|y-a|<2 [mm]\varepsilon[/mm]
>
> mh ne so kann das nicht stimmen. Ich dachte irgendwie was
> mit dreiecksungleichung und zeigen die umgebung liegt dann
> nicht in der Menge, obwohl sie dort liegen müsste.
Na, die Logik ist doch so: Sei [mm] $\epsilon:=\min\{|1-a|,\;|0-a|\}\,.$ [/mm] Dann gilt für alle $t [mm] \in U_\epsilon(a)$
[/mm]
$$|t-a| < [mm] \epsilon\,.$$ [/mm]
Wegen
$$|1-t| [mm] \le [/mm] |1-a|+|a-t|$$
folgt
$$|1-a| [mm] \ge [/mm] |1-t|-|a-t| [mm] \ge \epsilon-|t-a| >0\,.$$
[/mm]
Daher kann [mm] $a=1\,$ [/mm] nicht gelten. Analog siehst Du ein, dass [mm] $a=0\,$ [/mm] nicht gelten kann!
>
> > Und erwähnen möchte ich dabei nochmal:
> > [mm]\{|y-a|: \;\;y \in \{0;\;1\}\}[/mm]
> > ist eine ENDLICHE
> Menge
> > (echt) positiver Zahlen, so dass das Minimum existiert
> > und auch (echt) positiv sein muss!
> >
> > > Das wäre dann ein wiederspruch
Achja: Das Wort schreibt sich WIDERspruch!
> zur annahme, dass a ein
> > > Randpunkt von [mm](=\partial(\partial[0,1]))[/mm] wäre, also sind 0
> > > und 1 die einzigen randpunkte von
> > > [mm](=\partial(\partial[0,1]))[/mm] womit [mm](=\partial(\partial[0,1]))[/mm]
> > > = [mm](\partial[0,1])[/mm] gilt.
> >
> > Genau!
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 02:59 Di 21.05.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo nochmal kurz:
erstmal dazu, dass Deine Aussage (wie nun bei der Korrektur der falschen
Korrektur schon bemerkt) doch stimmt:
http://www-irm.mathematik.hu-berlin.de/~baum/Skript/kapitel2.pdf
Satz 2.7
> > P.P.S. Dass mit [mm]A=[0,1]\,[/mm] auch wirklich [mm]\partial(\partial A)=\{0,1\}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> > gilt, davon kannst Du Dich auch
> > mit "Folgen" überzeugen...
>
> Mh, da muss ich nochmal drüber nachdenken
Naja, das geht so: $\partial\{0,1\}=\overline{\{0,1\}}\setminus \mathring{\{0,1\}}$ (Gibt's eigentlich jemanden, der weiß,
wie man beim Inneren Kern das Zeichen größer machen kann? Außerdem
würde ich am Liebsten auch dann noch einen Bogen über $\{0,1\}$ machen...)
Der Innere Kern $\mathring{\{0,1\}$ ist hier eh $=\varnothing\,.$ (Klar?) Also ist $\partial\{0,1\}=\overline{0,1}\,.$ Du musst also
nur folgendes machen:
Für jede Folge mit Werten in $\{0,1\}$ musst Du, wenn sie (in $\IR$) konvergiert,
ihren Grenzwert zu der Menge $\{0,1\}$ hinzunehmen. Nun sind aber Folgen
mit Werten in $\{0,1\}\,,$ wenn sie konvergieren, in gewisser Art und Weise
langweilig: Ab einem gewissen Index müssen sie konstant bleiben...
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 03:09 Di 21.05.2013 | | Autor: | Marcel |
Also sowas:
[mm] $$\mathring{\overset{\frown}{\{0,1\}}}$$
[/mm]
würde ich gerne für den inneren Kern von [mm] $\{0,1\}$ [/mm] benutzen, allerdings:
Bogen sollte alles umfassen und der kleine ° sollte wesentlich besser erkennbar
sein! Und am Besten sollte der Befehl kürzer sein!
Vielleicht kennt ja jemand was in Latex dafür ...
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