Total diff'bar, Kurve < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:57 Do 29.05.2014 | | Autor: | YuSul |
| Aufgabe | Betrachten Sie folgende Funktion:
[mm] $f(x,y):=\begin{cases} \frac{x^2y}{x^2+y^2}, \text{falls} (x,y)\neq (0,0)\\ 0,\text{sonst.}\end{cases}$
[/mm]
Sei [mm] $\gamma:(-1,1)\to\mathbb{R}^2$ [/mm] eine injektive, differenzierbare Kurve mit [mm] $\gamma(0)=(0,0)^t$ [/mm] und [mm] $\gamma'(t)\neq(0,0)$ [/mm] für alle [mm] $t\in(0,1)$. [/mm] Beweisen Sie, dass [mm] $f\circ\gamma:(-1,1)\to\mathbb{R}$ [/mm] differenzierbar, aber f nicht total differenzierbar ist. |
Hi,
ich hänge gerade an dieser Aufgabe und komme eigentlich überhaupt nicht weiter.
Eine Funktion [mm] $f:U\to\mathbb{R}^m$ [/mm] heißt total differenzierbar in [mm] $x\in [/mm] U$ (U offen) wenn es eine Abbildung [mm] $\phi: U\to\mathbb{R}^m$ [/mm] gibt mit [mm] $B\in M(m\times n,\mathbb{R})$ [/mm] so, dass gilt
[mm] $f(x+\xi)=f(x)+B\xi+\phi(\xi)$ [/mm] und [mm] $\lim_{\xi\to 0} \frac{\phi(\xi)}{||\xi||}=0$
[/mm]
Hier weiß ich aber gar nicht so recht wie ich überhaupt anfangen soll.
Und für die Differenzierbarkeit von [mm] $f\circ\gamma$ [/mm] habe ich auch nicht so wirklich einen Ansatz. Also eine Umparameterisierung ist es ja nicht, weil [mm] $\gamma$ [/mm] nicht bijektiv ist. Ansonsten ist [mm] \gamma [/mm] für [mm] $t\in(0,1)$ [/mm] regulär und aufgrund der Injektivität monoton.
Ich hatte gedacht, dass ich f vielleicht in Polarkoordinaten betrachte. Dann reduziert es sich auf die Funktion
[mm] $f(cos(\theta),sin(\theta)=cos(\theta)^2sin(\theta)$ [/mm] und
$f(0,0)=0$
Über Hilfe würde ich mich sehr freuen.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:39 Do 29.05.2014 | | Autor: | fred97 |
> Betrachten Sie folgende Funktion:
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> [mm]f(x,y):=\begin{cases} \frac{x^2y}{x^2+y^2}, \text{falls} (x,y)\neq (0,0)\\ 0,\text{sonst.}\end{cases}[/mm]
>
> Sei [mm]\gamma:(-1,1)\to\mathbb{R}^2[/mm] eine injektive,
> differenzierbare Kurve mit [mm]\gamma(0)=(0,0)^t[/mm] und
> [mm]\gamma'(t)\neq(0,0)[/mm] für alle [mm]t\in(0,1)[/mm]. Beweisen Sie, dass
> [mm]f\circ\gamma:(-1,1)\to\mathbb{R}[/mm] differenzierbar, aber f
> nicht total differenzierbar ist.
> Hi,
>
> ich hänge gerade an dieser Aufgabe und komme eigentlich
> überhaupt nicht weiter.
>
> Eine Funktion [mm]f:U\to\mathbb{R}^m[/mm] heißt total
> differenzierbar in [mm]x\in U[/mm] (U offen) wenn es eine Abbildung
> [mm]\phi: U\to\mathbb{R}^m[/mm] gibt mit [mm]B\in M(m\times n,\mathbb{R})[/mm]
> so, dass gilt
>
> [mm]f(x+\xi)=f(x)+B\xi+\phi(\xi)[/mm] und [mm]\lim_{\xi\to 0} \frac{\phi(\xi)}{||\xi||}=0[/mm]
>
> Hier weiß ich aber gar nicht so recht wie ich überhaupt
> anfangen soll.
Was habt Ihr denn gelernt, wie die Matrix B aussieht, wenn f in x differenzierbar ist ? Genau: B ist die Jacobimatrix von f in x.
>
> Und für die Differenzierbarkeit von [mm]f\circ\gamma[/mm] habe ich
> auch nicht so wirklich einen Ansatz. Also eine
> Umparameterisierung ist es ja nicht, weil [mm]\gamma[/mm] nicht
> bijektiv ist. Ansonsten ist [mm]\gamma[/mm] für [mm]t\in(0,1)[/mm] regulär
> und aufgrund der Injektivität monoton.
Monoton ? Das ist blanker Unsinn . [mm] \gamma [/mm] nimmt Werte im [mm] \IR^2 [/mm] an.
>
> Ich hatte gedacht, dass ich f vielleicht in
> Polarkoordinaten betrachte. Dann reduziert es sich auf die
> Funktion
>
> [mm]f(cos(\theta),sin(\theta)=cos(\theta)^2sin(\theta)[/mm] und
>
> [mm]f(0,0)=0[/mm]
>
> Über Hilfe würde ich mich sehr freuen.
Klar dürfte sein, dass f auf [mm] \IR^2 \setminus \{(0,0)\} [/mm] total differenzierbar ist.
Zu (0,0): berechne die partiellen Ableitungen von f in (0,0). WEgen obiger Def. der totalen Differenzierbarkeit, musst Du überprüfen, was
[mm] \bruch{f(\xi)}{|| \xi||} [/mm] für [mm] \xi \to [/mm] 0
treibt. Gilt
[mm] \bruch{f(\xi)}{|| \xi||} \to [/mm] 0 für [mm] \xi \to [/mm] 0 , so ist f in (0,0) total differenzierbar. Anderenfalls nicht.
Zu $ [mm] g:=f\circ\gamma:(-1,1)\to\mathbb{R} [/mm] $ .
Klar dürfte sein, dass g auf (-1,1) [mm] \setminus \{0\} [/mm] differenzierbar ist.
Zeige also noch, dass
[mm] \limes_{t\rightarrow 0} \bruch{g(t)-g(0)}{t-0} [/mm] existiert.
FRED
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 18:50 Do 29.05.2014 | | Autor: | YuSul |
Erstmal nur zur Differenzierbarkeit:
Also das g auf (-1,1) differenzierbar ist liegt daran, dass f und [mm] $\gamma$ [/mm] auf (-1,1) differenzierbar sind und wir also auf diesem Intervall eine Verkettung von diff'baren Funktionen vorliegen haben.
Die Untersuchung des Grenzwertes reduziert sich auf
[mm] $\lim_{t\to 0} \frac{f(\gamma(t))}{t}$
[/mm]
Wie gehe ich denn nun mit [mm] $\gamma$ [/mm] um? Ich würde nun ja gerne das t aus dem Nenner entfernen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:52 Do 29.05.2014 | | Autor: | YuSul |
Kann mir hier noch jemand weiter helfen?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:20 Sa 31.05.2014 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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