Totalbeschränktheit < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:58 Mi 25.08.2010 | | Autor: | phychem |
Hallo
In einem metrischen Raum (X,d) ist eine totalbeschränkte Menge M bekanntlich immer auch d-beschränkt. Das sollte eigentlich offensichtlich sein, mir will aber gerade kein richtiger Beweis einfallen. Kann mir jemand helfen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:03 Mi 25.08.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Hallo
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> In einem metrischen Raum (X,d) ist eine totalbeschränkte
> Menge M bekanntlich immer auch d-beschränkt. Das sollte
> eigentlich offensichtlich sein, mir will aber gerade kein
> richtiger Beweis einfallen. Kann mir jemand helfen?
Wenn M totalbeschränkt ist, so gibt es per Definition zu jedem [mm] $\varepsilon>0$ [/mm] eine endliche Menge [mm] $\{x_1,\dots,x_n\}$ [/mm] von Punkten, sodass
[mm] M \subset \bigcup_{k_1}^{n} \{x \in X \mid d(x,x_k)<\varepsilon \}[/mm]
ist. Sei $C$ der größtmögliche Abstand dieser Punkte von z.B. [mm] $x_1$:
[/mm]
[mm] C= \max_{k=2,\dots,n} d(x_1,x_k) [/mm] .
Wegen der Dreiecksungleichung ist für [mm] $k=1,\dots,n$ [/mm] und [mm] $x\in [/mm] X$
[mm] d(x,x_1) \le d(x,x_k) + d(x_1,x_k) \le d(x,x_k) + C [/mm] .
Daher folgt für beliebige [mm] $x\in [/mm] X$ aus [mm] $d(x,x_k)<\varepsilon$ [/mm] die Ungleichung [mm] $d(x,x_1) [/mm] < [mm] \varepsilon [/mm] +C $ und somit
[mm] \{x \in X \mid d(x,x_k)<\varepsilon \} \subset \{x \in X \mid d(x,x_1)<\varepsilon + C \} [/mm]
und daher
[mm] M \subset \{x \in X \mid d(x,x_1)<\varepsilon + C \} [/mm]
Also ist M beschränkt.
Viele Grüße
Rainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:09 Mi 25.08.2010 | | Autor: | phychem |
Super. Genau danach hab ich gesucht. Danke.
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