Totale Diffbarkeit < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:33 Fr 24.04.2015 | | Autor: | Hellfrog |
| Aufgabe | Zeigen Sie, dass die folgenden Funktionen als Abbildungen [mm] \IR^{2} \to \IR^{2} [/mm] total differenzierbar sind, und bestimmen Sie alle Punkte z [mm] \in \IC, [/mm] in denen ihr totales Differential [mm] \IC-linear [/mm] ist.
a) g: [mm] \IC \to \IC, [/mm] g(z) = [mm] z^{2}
[/mm]
b) h: [mm] \IC \to \IC, [/mm] h(z) = [mm] \overline{z}
[/mm]
c) k: [mm] \IC \to \IC, [/mm] k(z) = [mm] z|\overline{z}|^{2} [/mm] |
hallo
versuche mich gerade an dem ersten teil der aufgabe mit der totalen diffbarkeit.
zur a) habe ich folgendes:
zuerst habe ich die jacobi matrix bestimmt, die mir aber nicht viel weiterhilft, da wir den satz von cauchy-riemann noch nicht gemacht haben.
dann habe ich mal die partielle ableitungen bestimmt:
g(z) = [mm] z^{2} [/mm] = [mm] x^{2} [/mm] - [mm] y^{2} [/mm] + i2xy =: u(x,y) + i*v(x,y)
[mm] g_{x} [/mm] = 2x + i2y
[mm] g_{y} [/mm] = -2y + i2x
das sind ja beides polynome und stetig, langt das aus um die totale diffbarkeit folgern zu können? ich erinner mich an einen satz, dass funktionen, deren partielle Ableitungen stetig sind, total stetig diffbar sind
danke im voraus
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:23 Sa 25.04.2015 | | Autor: | fred97 |
> Zeigen Sie, dass die folgenden Funktionen als Abbildungen
> [mm]\IR^{2} \to \IR^{2}[/mm] total differenzierbar sind, und
> bestimmen Sie alle Punkte z [mm]\in \IC,[/mm] in denen ihr totales
> Differential [mm]\IC-linear[/mm] ist.
>
> a) g: [mm]\IC \to \IC,[/mm] g(z) = [mm]z^{2}[/mm]
> b) h: [mm]\IC \to \IC,[/mm] h(z) = [mm]\overline{z}[/mm]
> c) k: [mm]\IC \to \IC,[/mm] k(z) = [mm]z|\overline{z}|^{2}[/mm]
> hallo
>
> versuche mich gerade an dem ersten teil der aufgabe mit der
> totalen diffbarkeit.
>
>
> zur a) habe ich folgendes:
>
> zuerst habe ich die jacobi matrix bestimmt, die mir aber
> nicht viel weiterhilft, da wir den satz von cauchy-riemann
> noch nicht gemacht haben.
>
> dann habe ich mal die partielle ableitungen bestimmt:
>
> g(z) = [mm]z^{2}[/mm] = [mm]x^{2}[/mm] - [mm]y^{2}[/mm] + i2xy =: u(x,y) + i*v(x,y)
>
> [mm]g_{x}[/mm] = 2x + i2y
> [mm]g_{y}[/mm] = -2y + i2x
>
> das sind ja beides polynome und stetig, langt das aus um
> die totale diffbarkeit folgern zu können? ich erinner mich
> an einen satz, dass funktionen, deren partielle Ableitungen
> stetig sind, total stetig diffbar sind
Ja, den kannst Du gut gebrauchen. Ist g=u+iv mit reellwertigen Funktionen u und v, so gilt
g ist total db [mm] \gdw [/mm] u und v sind total db.
FRED
>
>
> danke im voraus
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danke für die antwort.
was muss ich tun um die [mm] \IC [/mm] - linearität des totalen differentials zu untersuchen?
meine erste vermutung ist die funktion g(z) = [mm] z^{2} [/mm] auf [mm] \IC [/mm] - linearität zu prüfen, aber bin mir da nicht sicher.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:20 So 03.05.2015 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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