Totale Differenzierbarkeit < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:16 So 20.07.2014 | | Autor: | Ymaoh |
| Aufgabe | Sei f: [mm] \IR^n [/mm] -> [mm] \IR: [/mm] f(x) = |x|
Berechnen Sie grad(f) für x [mm] \not= [/mm] 0 und beweisen Sie, dass f am Ursprung nicht total differenzierbar ist. |
Der Gradient ist:
grad(f) = [mm] \vektor{\bruch{(x_1)}{|x|} \\...\\\bruch{(x_n)}{|x|} }
[/mm]
Das, ist ja erstmal kein Problem. Jetzt soll gezeigt werden, dass f im Ursprung nicht total differenzierbar ist. Ich weiß nicht genau, wie man das macht. Ich wollte es versuchen über den Ansatz:
[mm] f(x_0 [/mm] + h) = [mm] f(x_0) [/mm] + [mm] gradf(x_0)h [/mm] + r(h)
Aber da [mm] x_0 [/mm] = 0 ist (deru Ursprung), und sowohl f(0) als auch gradf(0) jeweils Null sind, kommt da raus:
f(h) = r(h),
und das geht beides gegen Null für h gegen Null.
Und das sagt mir doch nichts, oder?
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:00 So 20.07.2014 | | Autor: | fred97 |
f ist ja noch nicht mal partiell differenzierbar im Nullpunkt !
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:09 So 20.07.2014 | | Autor: | Ymaoh |
Weil die [mm] \bruch{x_i}{|x|}
[/mm]
für x = 0 nicht definiert sind?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:17 So 20.07.2014 | | Autor: | fred97 |
> Weil die [mm]\bruch{x_i}{|x|}[/mm]
> für x = 0 nicht definiert sind?
Nein. Wäre f z.B. im Nullpunkt partiell nach [mm] x_1 [/mm] differenzierbar, so müsste
[mm] \limes_{h\rightarrow 0}\bruch{f(h,0,...,0)-f(0,...,0)}{h}
[/mm]
existieren . Ist das der Fall ?
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:59 Mo 21.07.2014 | | Autor: | Ymaoh |
Nein, denn das wär nicht mehr von h abhängig.
Ich sollte mir wohl angewöhnen, direkt mit den Definitionen zu arbeiten...
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:04 Mo 21.07.2014 | | Autor: | fred97 |
> Nein, denn das wär nicht mehr von h abhängig.
Was ist los ???
Berechne mal
[mm] \bruch{f(h,0,...,0)-f(0,...,0)}{h}
[/mm]
FRED
> Ich sollte mir wohl angewöhnen, direkt mit den
> Definitionen zu arbeiten...
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:07 Mo 21.07.2014 | | Autor: | Ymaoh |
Naja, mit f(x) = |x| ist doch:
f(h,0,.....,0) = h
und f(0) = 0,
Also:
[mm] \bruch{h - 0}{h} [/mm] = 1
?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:15 Mo 21.07.2014 | | Autor: | fred97 |
> Naja, mit f(x) = |x| ist doch:
> f(h,0,.....,0) = h
Nein !!! mit [mm] x=(x_1,...,x_n) [/mm] ist doch [mm] f(x)=\wurzel{x_1^2+...+x_n^2}
[/mm]
Was ist dann f(h,0,.....,0) ?
FRED
> und f(0) = 0,
> Also:
>
> [mm]\bruch{h - 0}{h}[/mm] = 1
> ?
>
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:28 Mo 21.07.2014 | | Autor: | Ymaoh |
Hö?
Na:
f(h,0,.....,0) = [mm] \wurzel{h^2 + 0 + .... + 0}= [/mm] h
Oder nicht?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:33 Mo 21.07.2014 | | Autor: | fred97 |
> Hö?
> Na:
>
> f(h,0,.....,0) = [mm]\wurzel{h^2 + 0 + .... + 0}=[/mm] h
>
> Oder nicht?
Es ist [mm] \wurzel{h^2}=|h|
[/mm]
FRED
|
|
|
|
