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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:11 Mo 22.06.2009 | | Autor: | Lati |
| Aufgabe | Sei [mm] f:\IR^2 \to \IR^3: \vektor{x \\ y} \mapsto \vektor{x^2 +y^2 \\ x \\ y }
[/mm]
Zeigen Sie ausschließlich mit Hilfe der Definition von totaler Differenzierbarkeit, dass f überall total differenzierbar ist. |
Hallo zusammen,
ich habe bei obiger Aufgabe schon mal angefangen und wollte jetzt mal nachfragen ob ich soweit auf der richtigen Spur bin:
und zwar erst mal die genaue Definition von totaler Diffbarkeit:
f heißt in [mm] x_{0} [/mm] total diffbar,falls es [mm] T:\IR^n \to \IR^m [/mm] linear gibt mit
[mm] \limes_{h\rightarrow 0} \bruch{1}{\parallel h \parallel} \parallel f(x_{0}+h)-f(x_{0})-Th \parallel [/mm] = 0
(T nennt man Ableitung von f in [mm] x_{0})
[/mm]
So jetzt hab ich als erstes mal die Ableitung also T berechnet:
Aber hier stellt sich schon meine erste Frage: Mit Ableitung ist doch hier die partielle Ableitung gemeint oder?
Aber nach was muss ich jetzt ableiten?nach x oder y? oder brauche ich beide?
Also ich hab mal beides gemacht und erhalte:
[mm] \bruch{\partial f}{\partial x} [/mm] = [mm] \vektor{2x \\ 1 \\ 0}
[/mm]
[mm] \bruch{\partial f}{\partial y} [/mm] = [mm] \vektor{2y \\ 0 \\ 1}
[/mm]
So jetzt müsste ich das ja in die obige Gleichung einfügen.
Muss ich das jetzt nur für x machen oder auch für y und erhalte dann so zusagen 2 Limiten?
Also als Bsp für x:
[mm] \limes_{h\rightarrow 0} \bruch{1}{\parallel h \parallel} \parallel f(x_{0}+h)-f(x_{0})-Th \parallel [/mm]
= [mm] \limes_{h\rightarrow 0} \bruch{1}{\parallel h \parallel} \parallel \vektor{(x_{0}+h)^2 +y^2 \\ x_{0} \\ y }-\vektor{(x_{0})^2 +y^2 \\ x_{0} \\ y })-Th \parallel
[/mm]
= [mm] \limes_{h\rightarrow 0} \bruch{1}{\parallel h \parallel} \parallel \vektor{(2x_{0}h+h^2 \\ 0 \\ 0 }-Th \parallel [/mm]
= [mm] \limes_{h\rightarrow 0} \bruch{1}{\parallel h \parallel} \parallel \vektor{(2x_{0}h+h^2 \\ 0 \\ 0 }-(\vektor{(2x_{0}h \\ h \\ 0 }) \parallel [/mm]
= [mm] \limes_{h\rightarrow 0} \bruch{1}{\parallel h \parallel} \parallel \vektor{h^2 \\ -h \\ 0 } \parallel [/mm]
Ist das soweit ok?
Weil irgendwie komm ich an der Stelle nicht mehr so wirklich weiter.
Wie bekomm ich denn jetzt die Norm von h da im Nenner weg?
Und muss ich das gleiche jetzt noch für y machen?
Oder bin ich völlig auf dem Holzweg?
Vielen Dank für eure Anregungen und Tipps...
Viele Grüße
Lati
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:21 Mo 22.06.2009 | | Autor: | pelzig |
Nein, T an der Stelle [mm] x_0=(x,y)\in\IR^2 [/mm] ist eine 3x2-Matrix, nämlich die Jacobimatrix [mm] $$T=\pmat{\frac{\partial f_1}{\partial x}(x,y)&\frac{\partial f_1}{\partial y}(x,y)\\\frac{\partial f_2}{\partial x}(x,y)&\frac{\partial f_2}{\partial y}(x,y)\\\frac{\partial f_3}{\partial x}(x,y)&\frac{\partial f_3}{\partial y}(x,y)}=\pmat{2x&2y\\1&0\\0&1}$$ [/mm] Gruß, Robert
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Dein h ist auch ein Vektor, etwa [mm]h=\vektor{h_x \\ h_y}[/mm]. [mm] f(x_0+h) [/mm] ist dann eine unschöne Schreibweise - auf alle Fälle muss dann [mm] f(x_0+h_x, y_0+h_y) [/mm] dort stehen.
Ich kann es jetzt (zeitlich) nicht durchrechnen, aber vielleicht kommst du damit ja schon zum Ziel (den anderen Tipp nicht vergessen), es fällt dann bei der Rechnung ziemlich viel weg, und in dem, was übrig bleibt, findest du bestimmt die Norm von h wieder, kürzt sie weg, es bleibt ein bisschen was mit h da stehen und damit hast du den Nachweis geführt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:18 Mo 22.06.2009 | | Autor: | pelzig |
> Dein h ist auch ein Vektor, etwa [mm]h=\vektor{h_x \\ h_y}[/mm].
> [mm]f(x_0+h)[/mm] ist dann eine unschöne Schreibweise - auf alle
> Fälle muss dann [mm]f(x_0+h_x, y_0+h_y)[/mm] dort stehen.
Ja, inhaltlich natürlich absolut richtig, aber wenn man weiß was man tut kann man schon auch f(x+h) schreiben, nur sind x und h halt Vektoren im [mm] $\IR^2$. [/mm] In der Literatur und den unseren Vorlesungen wird das auch durchgehend so gemacht. Die Komponenten heißen dann entsprechend [mm] $x_i$ [/mm] oder [mm] $x^i$ [/mm] usw.
Gruß, Robert
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Das ist richtig, aber verwirrend für jemanden, der offenbar noch nicht so richtig fit ist mit diesen verschiedenen Objekten. So nach dem Motto:
Auf einmal ist x ein Vektor - okay, hab ich akzeptiert, der hat als Komponenten dann [mm] x_1, [/mm] .... , [mm] x_n, [/mm] das sind dann Zahlen. Jetzt muss ich ja die "Ableitung" an einer "Stelle" [mm] x_0 [/mm] anschauen. Äh, Moment, was heißt denn hier "Stelle", und was ist eigentlich [mm] x_0, [/mm] ist das jetzt ein Eintrag in einem Vektor, aber warum dann eine 0?
Natürlich kannst du das trotzdem so schreiben und wenn du keine "konkrete" Rechnung machen musst, ist das auch nicht störend. Hier muss man halt "echt" rechnen, insofern finde ich diese Schreibweise unglücklich, daher mein Kommentar.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:52 Mo 22.06.2009 | | Autor: | Lati |
Hallo ihr beiden,
vielen Dank erstmal für eure Hilfe!
Ich hab jetzt mal versucht eure Hilfestellung umzusetzen und komme zu folgendem Rechenweg und Ergebnis:
[mm] \limes_{h\rightarrow 0} \bruch{1}{\parallel h \parallel} \parallel f(x_{0}+h_{x},y_{0}+h_{y})-f(x_{0},y_{0})-Th \parallel
[/mm]
[mm] =\limes_{h\rightarrow 0} \bruch{1}{\parallel h \parallel} \parallel \vektor{(x_{0}+h_{x})^2 +(y_{0}+h_{y})^2 \\ x_{0}+h_{x} \\ y_{0}+h_{y}}-\vektor{(x_{0})^2 +y_{0}^2 \\ x_{0} \\ y_{0} })-(\pmat{ 2x_{0} & 2y_{0} \\ 1 & 0 \\ 0 & 1 } [/mm] * [mm] \vektor{ h_{x} \\ h_{y}} \parallel [/mm]
= [mm] \limes_{h\rightarrow 0} \bruch{1}{\parallel h \parallel} \parallel \vektor{(x_{0}^2+h_{x}^2+2x_{0}h_{x}+y_{0}^2+2y_{0}h_{y}+h_{y}^2 ) \\ x_{0}+h_{x} \\ y_{0}+h_{y}}-\vektor{(x_{0})^2 +y_{0}^2 \\ x_{0} \\ y_{0} })-(\vektor{ 2x_{0}h_{x}+2y_{0}h_{y} \\ h_{x} \\ h_{y} } \parallel
[/mm]
= [mm] \limes_{h\rightarrow 0} \bruch{1}{\parallel h \parallel} \parallel \vektor{(x_{0}^2+h_{x}^2+2x_{0}h_{x}+y_{0}^2+2y_{0}h_{y}+h_{y}^2 )-(x_{0})^2 -y_{0}^2-2x_{0}h_{x}-2y_{0}h_{y} \\ x_{0}+h_{x}-x_{0}-h_{x} \\ y_{0}+h_{y}-y_{0}-h_{y}}\parallel
[/mm]
= [mm] \limes_{h\rightarrow 0} \bruch{1}{\parallel h \parallel} \parallel \vektor{(h_{x}^2+h_{y}^2 \\ 0 \\ 0 }\parallel
[/mm]
= [mm] \limes_{h\rightarrow 0} \bruch{1}{\parallel h \parallel} \parallel {\parallel h \parallel}^2 \parallel
[/mm]
= [mm] \limes_{h\rightarrow 0} \parallel h\parallel
[/mm]
= 0
Ist das so richtig?
Vielen Dank für die Hilfe und viele Grüße
Lati
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:16 Mo 22.06.2009 | | Autor: | pelzig |
Alles richtig, bis auf eine Kleinigkeit:
> = [mm]\limes_{h\rightarrow 0} \bruch{1}{\parallel h \parallel} \parallel \vektor{(h_{x}^2+h_{y}^2 \\ 0 \\ 0 }\parallel[/mm]
> = [mm]\limes_{h\rightarrow 0} \bruch{1}{\parallel h \parallel} \red{\parallel} {\parallel h \parallel}^2 \red{\parallel}[/mm]
Das ist eine Norm zuviel des Guten. Es ist [mm] $$\left\|\vektor{h_x^2+h_y^2\\0\\0}\right\|=\left\|\vektor{\|h\|^2\\0\\0}\right\|=\sqrt{\|h\|^4+0^2+0^2}=\|h\|^2$$ [/mm] Ansonsten... gut gemacht.
Gruß Robert
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:56 Mo 22.06.2009 | | Autor: | Lati |
Hi Robert,
vielen Dank für deine schnelle Antwort und insgesamt für die sehr verständliche Hilfe!
Wie du vllt gesehen hast hab ich noch eine andere sehr ähnliche Frage gepostet auch zum Thema "totale Differenzierbarkeit".
https://matheraum.de/read?i=565599
Vielleicht hättest du mir hier auch noch einen Tipp...
Viele Grüße
Lati
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Schön, dass du mit den Hinweisen alles richtig machen konntest. Zu zwei Sachen würde ich gerne noch etwas anmerken:
1. Die Schreibweise [mm] \limes_{h\rightarrow 0} [/mm] findet man zwar überall in den Definitionen, aber so richtig schön finde ich sie nicht, denn h ist ja ein Vektor. Schöner fände ich [mm] \limes_{\parallel h \parallel \rightarrow 0}.
[/mm]
2. Bei der Vereinfachung des Vektors [mm] \vektor{h_x^2+ h_y^2 \\0\\0} [/mm] benutzt du die "Standard-Betragsnorm" (Fachbegriff habe ich gerade nicht parat), schreibst das also als: [mm] \vektor{\parallel h \parallel^2 \\0\\0}. [/mm] Wenn du das dann wegkürzt, müsstest du eigentlich sicherstellen, dass die andere Norm in deinem Term ebenfalls diese hier ist. Noch sauberer kannst du das meiner Meinung nach machen, wenn du dich da nicht drum kümmerst, sondern den Satz über die Äquivalenz der Normen verwendest - deine Rechnung ändert sich dadurch fast überhaupt nicht und dir kann dann egal sein, welche Norm ansonsten verwendet wird.
Das sind in meinen Augen nur kleine Spitzfindigkeiten, die auch nicht notwendig sind (sonst hätte dich pelzig auch sicher darauf hingewiesen), aber vielleicht öffnen sie deinen Blick für so etwas und helfen dir an anderer Stelle doch mal weiter  .
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