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| Aufgabe | Aufgabe: Bilden Sie die totale Ableitung [mm] $\frac{d(\cdot)}{dx}$ [/mm] der folgenden Funktionen nach der Variable $x$. Gehen Sie dort, wo keine konkreten Funktionen vorgegeben sind, davon aus, dass die Funktionen einmal stetig differenzierbar sind.
i) $g(x,y(x))= [mm] 3x^2 \cdot [/mm] 4y$ , mit [mm] $y(x)=(x+1)^2$
[/mm]
iv) [mm] $g(x,v(x))=4x^2+\frac{x}{v(x)}$
[/mm]
v) $f(x,z(y(x)))$ |
Ich muss o.g. Aufgaben lösen, selbstverständlich habe ich das auch selber probiert. Mir wäre nur wichtig zu wissen, ob die Lösung richtig ist, bzw. ggf. ein Hinweis zur richtigen Lösung.
Lösungsversuch i):
[mm] $\frac{dg}{dx}=\frac{\partial g}{\partial x}+\frac{\partial g}{\partial y}\cdot\frac{dy}{dx}\Leftrightarrow \frac{dg}{dx}=24xy+12x^2\cdot [/mm] 2 [mm] (x+1)\cdot [/mm] 1 = [mm] 24xy+24x^3+24x^2$
[/mm]
Lösungsversuch iv):
[mm] $\frac{dg}{dx}=\frac{\partial g}{\partial x}+\frac{\partial g}{\partial v}\cdot\frac{dv}{dx}=8x+\frac{1}{v(x)}-\frac{x}{v^2(x)}\cdot [/mm] v'(x)$
Lösungsversuch v)
[mm] $\frac{df}{dx}=\frac{\partial f}{\partial x}+\frac{\partial f}{\partial z}\cdot\frac{dz}{dx}=\frac{\partial f}{\partial x}+\frac{\partial f}{\partial z}\cdot (\frac{\partial z}{\partial x}+\frac{\partial z}{\partial y}\cdot\frac{dy}{dx})
[/mm]
Zum letzten Lösungsversuch: Gibt es hier eine einfachere Schreibweise?
Vielen Dank für die eure Hilfe!!!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:12 Di 11.10.2011 | | Autor: | fred97 |
> Aufgabe: Bilden Sie die totale Ableitung
> [mm]\frac{d(\cdot)}{dx}[/mm] der folgenden Funktionen nach der
> Variable [mm]x[/mm]. Gehen Sie dort, wo keine konkreten Funktionen
> vorgegeben sind, davon aus, dass die Funktionen einmal
> stetig differenzierbar sind.
> i) [mm]g(x,y(x))= 3x^2 \cdot 4y[/mm] , mit [mm]y(x)=(x+1)^2[/mm]
> iv) [mm]g(x,v(x))=4x^2+\frac{x}{v(x)}[/mm]
> v) [mm]f(x,z(y(x)))[/mm]
> Ich muss o.g. Aufgaben lösen, selbstverständlich habe
> ich das auch selber probiert. Mir wäre nur wichtig zu
> wissen, ob die Lösung richtig ist, bzw. ggf. ein Hinweis
> zur richtigen Lösung.
>
> Lösungsversuch i):
> [mm]\frac{dg}{dx}=\frac{\partial g}{\partial x}+\frac{\partial g}{\partial y}\cdot\frac{dy}{dx}\Leftrightarrow \frac{dg}{dx}=24xy+12x^2\cdot 2 (x+1)\cdot 1 = 24xy+24x^3+24x^2[/mm]
Was hat das y da noch zu suchen ???
$ g(x,y(x))= [mm] 3x^2 \cdot [/mm] 4y $ , mit $ [mm] y(x)=(x+1)^2 [/mm] $ liefert doch:
[mm] $g(x,y(x))=3x^2(x+1)^2$, [/mm] also eine Funktion, die nur von x abhängt.
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> Lösungsversuch iv):
> [mm]\frac{dg}{dx}=\frac{\partial g}{\partial x}+\frac{\partial g}{\partial v}\cdot\frac{dv}{dx}=8x+\frac{1}{v(x)}-\frac{x}{v^2(x)}\cdot v'(x)[/mm]
Stimmt.
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> Lösungsversuch v)
> [mm]$\frac{df}{dx}=\frac{\partial f}{\partial x}+\frac{\partial f}{\partial z}\cdot\frac{dz}{dx}=\frac{\partial f}{\partial x}+\frac{\partial f}{\partial z}\cdot (\frac{\partial z}{\partial x}+\frac{\partial z}{\partial y}\cdot\frac{dy}{dx})[/mm]
??????
Wenn f=f(x,z), so ist die Ableitung von $ f(x,z(y(x))) $ nach x gegeben durch
[mm] $f_x(x,z(y(x)))*1+f_z(x,z(y(x)))*z'(y(x))*y'(x)$
[/mm]
FRED
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> Zum letzten Lösungsversuch: Gibt es hier eine einfachere
> Schreibweise?
> Vielen Dank für die eure Hilfe!!!
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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zu iv) Wenn f=f(x,z), so ist die Ableitung von $ f(x,z(y(x))) $ nach x gegeben durch
$ [mm] f_x(x,z(y(x)))\cdot{}1+f_z(x,z(y(x)))\cdot{}z'(y(x))\cdot{}y'(x) [/mm] $
Wie man hierauf kommt ist mir nicht ganz klar, wie kommt diese Ableitung zustande? Mein Gedanke war, die Formel ($ [mm] \frac{df}{dx}=\frac{\partial f}{\partial x}+\frac{\partial f}{\partial z}\cdot\frac{dz}{dx}$) [/mm] doppelt anzuwenden, also nochmal für [mm] $\frac{dz}{dx}$ [/mm] und das dann einzusetzen. Ist der Gedanke denn so grundlegend falsch?
Vielen Dank schonmal für die ersten Hinweise, die haben mich schon sehr viel weitergebracht!!!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:55 Di 11.10.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
nein für f(z(y(x)) hast du nur die normale Kettenregel, da ja z nicht explizit von x abhängt stände da f(z(x,y(x)) dann wäre dein Vorgehen richtig.
aleerdings ist es so auch nicht komplett falsch weil ja einfach [mm] f_x [/mm] und [mm] z_x [/mm] hier 0 wären!
Gruss leduart
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:59 Di 11.10.2011 | | Autor: | fermat1978 |
Vielen Dank für den Hinweis, natürlich, jetzt macht das Sinn. Ich glaub ich guck da schon zu lange drauf, das hätte mir auch auffallen können. Nochmal: Vielen Dank!!!
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