Tr. der Var., Definitionsber. < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:43 So 14.04.2013 | | Autor: | Lustique |
| Aufgabe | Es sei [mm] $\alpha\in\mathbb{R}$. [/mm] Berechnen Sie die Lösung $x$ des folgenden Anfangswertproblems:
[mm] $\dot{x}=\alpha \frac{x}{t}, \quad [/mm] x(1)=1$. |
Hallo zusammen,
ich wollte die Aufgabe oben mit Trennung der Variablen lösen. Das Rechnen an sich ist ja auch kein Problem, ich habe nur ein paar Probleme, den richtigen Definitionsbereich zu finden. Soweit bin ich bis jetzt:
Da $x(1)=1$ ist [mm] $x\equiv [/mm] 0$ schon mal keine Lösung und [mm] $\alpha\neq [/mm] 0$. Außerdem muss [mm] $t\neq [/mm] 0$ gelten.
Wie geht man jetzt weiter richtig vor? Ich habe jetzt erstmal einfach vier Fälle betrachtet ($x>0, t>0$, $x>0, t<0$, ..., denn es muss ja gelten [mm] $t\neq [/mm] 0$ und [mm] $x\neq [/mm] 0$) und habe dann vier Variationen von [mm] $x(t)=t^\alpha$ [/mm] herausbekommen, wobei man sich bei den anderen drei Lösungen noch die entsprechenden Vorzeichen vor der ganzen Gleichung oder direkt vor $t$ denken muss. Wie aber geht es richtig? Es sind doch min. zwei Lösungen falsch und eventuell lassen sich dann noch die zwei anderen zu einer Lösung zusammensetzen, aber ich bin hier irgendwie gerade überfragt. Könnt ihr mir hier auf die Sprünge helfen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:59 So 14.04.2013 | | Autor: | notinX |
Hallo,
> Es sei [mm]\alpha\in\mathbb{R}[/mm]. Berechnen Sie die Lösung [mm]x[/mm] des
> folgenden Anfangswertproblems:
>
> [mm]\dot{x}=\alpha \frac{x}{t}, \quad x(1)=1[/mm].
>
> Hallo zusammen,
> ich wollte die Aufgabe oben mit Trennung der Variablen
> lösen. Das Rechnen an sich ist ja auch kein Problem, ich
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> habe nur ein paar Probleme, den richtigen
> Definitionsbereich zu finden. Soweit bin ich bis jetzt:
>
> Da [mm]x(1)=1[/mm] ist [mm]x\equiv 0[/mm] schon mal keine Lösung und
> [mm]\alpha\neq 0[/mm]. Außerdem muss [mm]t\neq 0[/mm] gelten.
>
> Wie geht man jetzt weiter richtig vor? Ich habe jetzt
> erstmal einfach vier Fälle betrachtet ([mm]x>0, t>0[/mm], [mm]x>0, t<0[/mm],
> ..., denn es muss ja gelten [mm]t\neq 0[/mm] und [mm]x\neq 0[/mm]) und habe
> dann vier Variationen von [mm]x(t)=t^\alpha[/mm] herausbekommen,
> wobei man sich bei den anderen drei Lösungen noch die
> entsprechenden Vorzeichen vor der ganzen Gleichung oder
> direkt vor [mm]t[/mm] denken muss. Wie aber geht es richtig? Es sind
> doch min. zwei Lösungen falsch und eventuell lassen sich
> dann noch die zwei anderen zu einer Lösung zusammensetzen,
> aber ich bin hier irgendwie gerade überfragt. Könnt ihr
> mir hier auf die Sprünge helfen?
Ich verstehe nicht ganz, was Dein Problem ist. Mit [mm] $x(t)=t^{\alpha}$ [/mm] hast Du die Lösung. Ob $x(t)$ größer oder kleiner 0 ist, hängt von t ab und t ist beliebig mit [mm] $t\neq [/mm] 0$.
Gruß,
notinX
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:29 So 14.04.2013 | | Autor: | Lustique |
Hallo,
> Ich verstehe nicht ganz, was Dein Problem ist. Mit
> [mm]x(t)=t^{\alpha}[/mm] hast Du die Lösung. Ob [mm]x(t)[/mm] größer oder
> kleiner 0 ist, hängt von t ab und t ist beliebig mit [mm]t\neq 0[/mm].
>
> Gruß,
>
> notinX
danke schon mal für deine Antwort! Mein Problem ist Folgendes:
In der Vorlesung wurde bei mir für Anfangswertprobleme wie oben die Lösung folgendermaßen über einen Satz formuliert:
Es seien [mm] $g\in C(I,\mathbb{R})$, $h\in C(J,\mathbb{R})$, [/mm] $I, J$ offene Intervalle, und [mm] $h(x)\neq [/mm] 0$ für alle [mm] $x\in [/mm] J$. Zu [mm] $t_0\in [/mm] I$ und [mm] $x_0\in [/mm] J$ gibt es ein offenes Intervall [mm] $I_0\subseteq [/mm] I$ mit [mm] $t_0\in I_0$, [/mm] so dass das AWP [mm] $\dot{x}=g(t)\cdot [/mm] h(x), [mm] \quad x(t_0)=x_0$ [/mm] genau eine Lösung in [mm] $I_0$ [/mm] besitzt. Mit [mm] $G(t)=\int_{t_0}^t g(s)\, \mathrm{d}s$ [/mm] und [mm] $H(x)=\int_{x_0}^x \frac{\mathrm{d}y}{h(x)}$ [/mm] ist diese Lösung gegeben durch [mm] $x(t)=H^{-1}(G(t))$, $t\in I_0$. [/mm]
Und hier bekomme ich nun Probleme (auch wenn es wahrscheinlich eigentlich keine sind), denn bspw. [mm] $G(t)=\int_1^t \frac{\alpha}{s}\,\mathrm{d}s=\begin{cases}\alpha\cdot \ln(t) & , t>0 \\ \alpha\cdot\ln(-t) & , t<0\end{cases}$ ($t\neq [/mm] 0$), und dasselbe Problem gibt es ja bei [mm] $H(x)=\int_1^x \frac{\mathrm{d}y}{y}$. [/mm]
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Hallo,
> Mein Problem ist
> Folgendes:
>
> In der Vorlesung wurde bei mir für Anfangswertprobleme wie
> oben die Lösung folgendermaßen über einen Satz
> formuliert:
>
> Es seien [mm]g\in C(I,\mathbb{R})[/mm], [mm]h\in C(J,\mathbb{R})[/mm], [mm]I, J[/mm]
> offene Intervalle, und [mm]h(x)\neq 0[/mm] für alle [mm]x\in J[/mm]. Zu
> [mm]t_0\in I[/mm] und [mm]x_0\in J[/mm] gibt es ein offenes Intervall
> [mm]I_0\subseteq I[/mm] mit [mm]t_0\in I_0[/mm], so dass das AWP
> [mm]\dot{x}=g(t)\cdot h(x), \quad x(t_0)=x_0[/mm] genau eine Lösung
> in [mm]I_0[/mm] besitzt. Mit [mm]G(t)=\int_{t_0}^t g(s)\, \mathrm{d}s[/mm]
> und [mm]H(x)=\int_{x_0}^x \frac{\mathrm{d}y}{h(x)}[/mm] ist diese
> Lösung gegeben durch [mm]x(t)=H^{-1}(G(t))[/mm], [mm]t\in I_0[/mm].
> Und hier bekomme ich nun Probleme (auch wenn es
> wahrscheinlich eigentlich keine sind), denn bspw.
> [mm]G(t)=\int_1^t \frac{\alpha}{s}\,\mathrm{d}s=\begin{cases}\alpha\cdot \ln(t) & , t>0 \\ \alpha\cdot\ln(-t) & , t<0\end{cases}[/mm]
> ([mm]t\neq 0[/mm]), und dasselbe Problem gibt es ja bei
> [mm]H(x)=\int_1^x \frac{\mathrm{d}y}{y}[/mm].
Der Satz garantiert die Eindeutigkeit der Lösung nur auf (evtl. kleinen) Umgebungen [mm] I_0 [/mm] von [mm] $t_0 [/mm] = 1$.
Du darfst dich also nicht wundern, wenn es nicht global eine eindeutige Lösung gibt. Die "Lösungsformel", die im Satz angegeben wird, gilt natürlich auch nur auf diesen kleinen Umgebungen [mm] $I_0$.
[/mm]
Die allgemeine Lösung $x(t)$ der Gleichung
[mm] $\int_{1}^{x}\frac{1}{y} [/mm] d y = [mm] \int_{1}^{t} \frac{\alpha}{s} [/mm] ds$ (*)
ist dieselbe wie die der Gleichung
$|x(t)| = [mm] |t|^{\alpha}$.
[/mm]
(Diese Gleichung erhält man, wenn man obige Integralgleichung umformt).
Denk dran: Die Lösung, die wir hier gerade bestimmen, ist nur auf dem (uns unbekannten) [mm] $I_0$ [/mm] eindeutig.
Du hast nun also zwei Möglichkeiten: Für beliebiges [mm] $t\in I_0$ [/mm] gilt entweder
$x(t) = [mm] -t^{\alpha}$ [/mm] oder $x(t) = [mm] t^{\alpha}$.
[/mm]
Aufgrund der Anfangsbedingung weißt du, dass zumindest bei $t = 1$: $x(t) = [mm] t^{\alpha}$ [/mm] gelten muss. Weil $x(t)$ stetig sein muss, folgt, dass auf ganz [mm] $\IR_{> 0}$ [/mm] nur die Funktion $x(t) = [mm] t^{\alpha}$ [/mm] als Lösung des AWP in Frage kommen kann.
Für $t [mm] \le [/mm] 0$ kann es nun durchaus sein, dass die Lösung $x(t) = [mm] t^{\alpha}$ [/mm] nicht mehr die einzige ist.
Viele Grüße,
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:27 Mo 15.04.2013 | | Autor: | Lustique |
Hallo Stefan, danke für deine Antwort! Wäre hier also die Lösung des AWP (und damit der Aufgabe): [mm] $x\colon (0,\infty)\to\mathbb{R}, \quad x(t)=t^\alpha$, [/mm] bzw. [mm] $x\colon I_0\to\mathbb{R}, \quad x(t)=t^\alpha$ [/mm] mit Intervall [mm] $I_0\subseteq (0,\infty)$ [/mm] beliebig?
Hier wurde ja dann der Definitionsbereich der DGL einfach so einschränkt, dass sie nach dem Satz eindeutig lösbar ist.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 06:15 Di 16.04.2013 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Stefan, danke für deine Antwort! Wäre hier also die
> Lösung des AWP (und damit der Aufgabe): [mm]x\colon (0,\infty)\to\mathbb{R}, \quad x(t)=t^\alpha[/mm],
Ja
> bzw. [mm]x\colon I_0\to\mathbb{R}, \quad x(t)=t^\alpha[/mm] mit
> Intervall [mm]I_0\subseteq (0,\infty)[/mm] beliebig?
Es sollte schon 1 [mm] \in I_0 [/mm] gelten !
Die Lsg des AWPs hat das Existenzintervall (0, [mm] \infty)
[/mm]
FRED
> Hier wurde ja dann der Definitionsbereich der DGL einfach
> so einschränkt, dass sie nach dem Satz eindeutig lösbar
> ist.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:10 Di 16.04.2013 | | Autor: | Lustique |
Hallo FRED,
> Es sollte schon 1 [mm]\in I_0[/mm] gelten !
natürlich, da habe ich nicht dran gedacht. Danke nochmal!
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