Trägheitsmoment < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 02:00 Mi 01.12.2004 | | Autor: | Bastiane |
Hallo oder guten Morgen *gg*!
Hier habe ich noch eine schöne Aufgabe, ich hoffe, ihr findet sie genauso schön... 
Habe nämlich eigentlich erstmal nur ein paar Fragen, bei denen ich mir eigentlich sicher bin, aber man weiß ja nie...
Sei [mm] L\subset\IR^3 [/mm] eine Gerade. Sei d(x,L) der Abstand zwischen dem Punkt [mm] x\in\IR^3 [/mm] und der Gerade L. Dann versteht man unter dem Trägheitsmoment des Körpers K bezüglich der Achse L den Wert
[mm] \Theta_L [/mm] = [mm] \integral_{K}{(d(x,L))^2 d\mu(x)}
[/mm]
Aufgabe a ist nun:
Seien r, R mit 0 < r < R gegeben. Berechnen Sie das Trägheitsmoment des Hohlzylinders
[mm] Z=\{x\in\IR^3, x_3\in[0,l], r^2\le x_1 ^2+x_2 ^2 \le R^2\}
[/mm]
bezüglich seiner Hauptsymmetrieachse.
Hier nun erstmal ein paar Fragen zum Verständnis:
Ein Hohlzylinder ist im Prinzip ein dreidimensionaler Kreisring!? Oder man könnte auch sagen, man nimmt aus einem Vollzylinder einen kleineren Vollzylinder, der um den Mittelpunkt geht, raus, oder?
Und die Hauptsymmetriachse ist die Höhe, also die Achse [mm] x_3, [/mm] oder?!
Nun habe ich noch eine andere Definition des Trägheitsmomentes gefunden, die zumindest für den [mm] \IR^3 [/mm] gilt (da befinde ich mich hier ja zum Glück!  ):
[mm] \Theta_L [/mm] = [mm] \integral_{K}{(x_1 ^2+x_2 ^2) d\mu(x)}
[/mm]
Meine Frage nun: sind beide Definitionen wirklich äquivalent? Ich habe mir das folgendermaßen überlegt:
In der ersten Definition nimmt man den Abstand zwischen x und L zum Quadrat und in der zweiten ja eigentlich auch (berechnet mit Pythagoras), denn [mm] x_3 [/mm] hat damit ja sozusagen gar nichts mehr zu tun (falls ihr versteht, was ich meine).
Also kann ich meine Aufgabe mit der zweiten Definition lösen, die ist mir irgendwie handlicher...
Naja, und nach Fubini kann ich doch jetzt schreiben:
[mm] \integral_{Z}{(x_1 ^2+x_2 ^2)d\mu(x)} [/mm] = [mm] \integral_{\wurzel{r^2-x_2 ^2}}^{\wurzel{R^2-x_2 ^2}} {\integral_{\wurzel{r^2-x_1 ^2}}^{\wurzel{R^2-x_1 ^2}} {\integral_{0}^{l}{(x_1 ^2+x_2 ^2)d\mu(x_3) d\mu(x_2) d\mu(x_1)}}} [/mm] = [mm] \integral_{\wurzel{r^2-x_2 ^2}}^{\wurzel{R^2-x_2 ^2}} {\integral_{\wurzel{r^2-x_1 ^2}}^{\wurzel{R^2-x_1 ^2}} {(x_1 ^2+x_2 ^2)*l d\mu(x_2) d\mu(x_1)}} [/mm] = [mm] l*\integral_{\wurzel{r^2-x_2 ^2}}^{\wurzel{R^2-x_2 ^2}} {\bruch{1}{3}(\wurzel{r^2-x_1 ^2}^3-\wurzel{R^2-x_1 ^2}^3) d\mu(x_1)}
[/mm]
und hier komme ich nun nicht wirklich weiter - nun müsste ich ja nach [mm] x_1 [/mm] integrieren, und da [mm] x_1 [/mm] unter der Wurzel steht, ist das nicht so einfach. Deshalb habe ich es erstmal gar nicht erst versucht, wer weiß, vielleicht steckt hier ja schon ein Fehler.
Was ich mir dann noch überlegt habe, ist, dass es vielleicht einfacher sein könnte, wenn ich erst das Trägheitsmoment des Vollzylinders berechne, und dann das des "inneren" Zylinders abziehe. Geht das??? Oder hilft es mir vielleicht gar nicht, weil es genauso kompliziert wird?
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:18 Mi 01.12.2004 | | Autor: | Paulus |
Liebe Christiane
jetzt kann ich doch mein schlechtes Gewissen beruhigen und halt wenigstens zu dieser Aufgabe etwas beitragen!
> Hallo oder guten Morgen *gg*!
> Hier habe ich noch eine schöne Aufgabe, ich hoffe, ihr
> findet sie genauso schön...
Oh ja, die ist wirklich schön!
> Habe nämlich eigentlich erstmal nur ein paar Fragen, bei
> denen ich mir eigentlich sicher bin, aber man weiß ja
> nie...
>
> Sei [mm]L\subset\IR^3[/mm] eine Gerade. Sei d(x,L) der Abstand
> zwischen dem Punkt [mm]x\in\IR^3[/mm] und der Gerade L. Dann
> versteht man unter dem Trägheitsmoment des Körpers K
> bezüglich der Achse L den Wert
> [mm]\Theta_L[/mm] = [mm]\integral_{K}{(d(x,L))^2 d\mu(x)}
[/mm]
>
> Aufgabe a ist nun:
> Seien r, R mit 0 < r < R gegeben. Berechnen Sie das
> Trägheitsmoment des Hohlzylinders
> [mm]Z=\{x\in\IR^3, x_3\in[0,l], r^2\le x_1 ^2+x_2 ^2 \le R^2\}
[/mm]
>
> bezüglich seiner Hauptsymmetrieachse.
>
> Hier nun erstmal ein paar Fragen zum Verständnis:
> Ein Hohlzylinder ist im Prinzip ein dreidimensionaler
> Kreisring!? Oder man könnte auch sagen, man nimmt aus einem
> Vollzylinder einen kleineren Vollzylinder, der um den
> Mittelpunkt geht, raus, oder?
Ja, das ist korrekt, wobei in der Aufgabe der Radius des herausgenommenen Zylinders mit $r_$ bezeichnet wird, der äussere Radius aber mit $R_$.
> Und die Hauptsymmetriachse ist die Höhe, also die Achse
> [mm]x_3,[/mm] oder?!
>
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Nun habe ich noch eine andere Definition des
> Trägheitsmomentes gefunden, die zumindest für den [mm]\IR^3[/mm]
> gilt (da befinde ich mich hier ja zum Glück! ):
> [mm]\Theta_L[/mm] = [mm]\integral_{K}{(x_1 ^2+x_2 ^2) d\mu(x)}
[/mm]
> Meine
> Frage nun: sind beide Definitionen wirklich äquivalent? Ich
Ja, wobei hier einfach vorausgesetzt wird, dass die Achse entlang der z-Achse (x3-Achse) verläuft, in der ersten Definition ist diese Einschränkung nicht gegeben.
> habe mir das folgendermaßen überlegt:
> In der ersten Definition nimmt man den Abstand zwischen x
> und L zum Quadrat und in der zweiten ja eigentlich auch
> (berechnet mit Pythagoras), denn [mm]x_3[/mm] hat damit ja sozusagen
> gar nichts mehr zu tun (falls ihr versteht, was ich
> meine).
Genau. [mm] $x_3$ [/mm] ist hier eben die Achse des Hohlzylinders.
> Also kann ich meine Aufgabe mit der zweiten Definition
> lösen, die ist mir irgendwie handlicher...
>
Ja, das würde ich auf alle Fälle tun. Die Wahl eines geeigneten Koordinatensystem ist ja oftmals entscheidend, wie einfach oder eben kompliziert die Rechnung wird!
(Die Eigenvektoren können unter anderem auch für das Auffinden eines günstigen Koordinatensystems ihre Dienste tun, das ist aber ein anderes Kapitel )
> Naja, und nach Fubini kann ich doch jetzt schreiben:
> [mm]\integral_{Z}{(x_1 ^2+x_2 ^2)d\mu(x)}[/mm] =
> [mm]\integral_{\wurzel{r^2-x_2 ^2}}^{\wurzel{R^2-x_2 ^2}} {\integral_{\wurzel{r^2-x_1 ^2}}^{\wurzel{R^2-x_1 ^2}} {\integral_{0}^{l}{(x_1 ^2+x_2 ^2)d\mu(x_3) d\mu(x_2) d\mu(x_1)}}}[/mm]
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Die Grenzen stimmen nicht ganz, so sollte es eher stimmen:
[mm] $2*\integral_{-R}^{+R} {\integral_{\wurzel{r^2-x_1 ^2}}^{\wurzel{R^2-x_1 ^2}} {\integral_{0}^{l}{(x_1 ^2+x_2 ^2)dx_3 dx_2 dx_1}}}$
[/mm]
Wie ich jetzt plötzlich dazukomme, noch eine $2_$ als Faktor davorzusetzen, will ich dir als Denksportaufgabe lassen. Wenn du das nicht herausfindest, dann frage bitte einfach wieder!
> = [mm]\integral_{\wurzel{r^2-x_2 ^2}}^{\wurzel{R^2-x_2 ^2}} {\integral_{\wurzel{r^2-x_1 ^2}}^{\wurzel{R^2-x_1 ^2}} {(x_1 ^2+x_2 ^2)*l d\mu(x_2) d\mu(x_1)}}[/mm]
> = [mm]l*\integral_{\wurzel{r^2-x_2 ^2}}^{\wurzel{R^2-x_2 ^2}} {\bruch{1}{3}(\wurzel{r^2-x_1 ^2}^3-\wurzel{R^2-x_1 ^2}^3) d\mu(x_1)}
[/mm]
>
Ja, das wird wohl tatsächlich kompliziert (auch wenn die Grenzen korrigiert sind). ABER: wir könnten ja eine geeignete Koordinatentransformation durchführen!
Ich würde vorschlagen: nimm Zylinderkoordinaten (und stelle gedanklich den Zusammenhang mit der vorherigen Aufgabe her, wo ich noch eine Antwort schuldig bin, die sich aber evtl. gleich erübrigt, wenn diese Aufgabe gelöst ist).
Als Koordinatentransformation wäre dann also das hier:
[mm] $x_1 [/mm] = r [mm] \cos{\varphi}$
[/mm]
[mm] $x_2 [/mm] = r [mm] \sin{\varphi}$
[/mm]
[mm] $x_3 [/mm] = z$
Kannst du die Funktionaldetermimante hiervon mal berechnen?
Zur Kontrolle: es sollte der Wertr $r_$ herauskommen.
> und hier komme ich nun nicht wirklich weiter - nun müsste
> ich ja nach [mm]x_1[/mm] integrieren, und da [mm]x_1[/mm] unter der Wurzel
> steht, ist das nicht so einfach. Deshalb habe ich es
> erstmal gar nicht erst versucht, wer weiß, vielleicht
> steckt hier ja schon ein Fehler.
>
Nach der Transformation wird dann [mm] $x_1^2+x_2^2=r^2$
[/mm]
[mm] $\varphi$ [/mm] läuft einfach von 0 bis [mm] $2\pi$, [/mm] r von $r_$ bis $R_$ und z von $0_$ bis $l_$
Das ist jetzt ein wirklich sehr gutes Beispiel um vor Augen zu führen, wie die Koordinatentransformation einem das Leben erleichtern kann! Alle Wurzeln sind wie weggeblasen!
> Was ich mir dann noch überlegt habe, ist, dass es
> vielleicht einfacher sein könnte, wenn ich erst das
> Trägheitsmoment des Vollzylinders berechne, und dann das
> des "inneren" Zylinders abziehe. Geht das??? Oder hilft es
> mir vielleicht gar nicht, weil es genauso kompliziert
> wird?
>
Das würde theoretisch gehen, bringt aber nix, weil du einfach einmal von 0 bis R integrierst, dann noch von 0 bis r, und die beiden Ergebnisse subtrahierst. Das ist aber genau das Gleiche, wie wenn du direkt von r bis R integrierst!
> Viele Grüße
> Bastiane
>
>
Liebe Grüsse
Paul
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:08 Fr 03.12.2004 | | Autor: | Bastiane |
Hallo Paul!
> jetzt kann ich doch mein schlechtes Gewissen beruhigen und
> halt wenigstens zu dieser Aufgabe etwas beitragen!
Hattest du etwa ein schlechtes Gewissen??? Ich bin mir keiner Schuld deinerseits bewusst! Meinst du die Aufgabe von letztens? Das ist doch nicht so schlimm. Wenn's an die Klausur geht, werde ich hoffentlich die meisten Aufgabe nochmal durchrechnen und dann entsprechende Fragen stellen (vielleicht kann ich die bis dahin dann auch allgemeiner stellen, weil ich dann hoffentlich etwas mehr weiß... ), und abgegeben hatte ich ja was (das kann allerdings noch dauern, bis wir das wiederbekommen). Und du hattest mir dabei sehr geholfen, sonst hätte ich da gar nichts machen können...
Also: bloß kein schlechtes Gewissen haben!!!
> Oh ja, die ist wirklich schön!
Fandest du die Aufgabe wirklich schön, oder war das ironisch gemeint? (Es soll ja Leute geben, die sowas geometrie-mäßiges gar nicht mögen... )
> Meine
> > Frage nun: sind beide Definitionen wirklich äquivalent?
> Ich
>
> Ja, wobei hier einfach vorausgesetzt wird, dass die Achse
> entlang der z-Achse (x3-Achse) verläuft, in der ersten
> Definition ist diese Einschränkung nicht gegeben.
Gut, also lag ich mit den Vermutungen ganz gut. Das mit der Achse hatte ich gar nicht gemerkt, ist aber logisch.
> (Die Eigenvektoren können unter anderem auch für das
> Auffinden eines günstigen Koordinatensystems ihre Dienste
> tun, das ist aber ein anderes Kapitel )
Puh - ich hatte zuerst gedacht, jetzt bräuchte ich auch noch EV... Da bin ich aber froh, dass das doch ein anderes Kapitel ist (das ist aber auch irgendwann mal intensiver studieren muss!)!
> Die Grenzen stimmen nicht ganz, so sollte es eher
> stimmen:
>
> [mm]2*\integral_{-R}^{+R} {\integral_{\wurzel{r^2-x_1 ^2}}^{\wurzel{R^2-x_1 ^2}} {\integral_{0}^{l}{(x_1 ^2+x_2 ^2)dx_3 dx_2 dx_1}}}[/mm]
Danke, dass du auch gesagt hast, wie's richtig sein muss, das ist nämlich im Moment mein Hauptproblem. Aber so ganz verstehe ich das immer noch. Im Prinzip integriere ich doch über alle Richtungen, oder? Und über die Höhe ist ja klar. Und vorher - ach, jetzt verstehe ich gar nichts mehr... Aber egal, irgendwann muss ich mich nochmal hinsetzen und mir das alles klarmachen...
Oder gibt's ne kurze Erklärung, wie ich da auf die Grenzen komme, bzw. weißt du, wie ich auf die falschen gekommen bin? (Und was ich noch festgestellt habe: die einzelnen Grenzen hängen doch irgendwie voneinander ab, oder?)
>
> Wie ich jetzt plötzlich dazukomme, noch eine [mm]2_[/mm] als Faktor
> davorzusetzen, will ich dir als Denksportaufgabe lassen.
> Wenn du das nicht herausfindest, dann frage bitte einfach
> wieder!
Mmh, eigentlich mag ich solche Denkaufgaben ja gerne! Ja, wirklich! Aber hier sehe ich das irgendwie nicht. Hatte schon überlegt, ob wir die Figur vielleicht in zwei Teile zerlegt haben, aber das ist wohl nicht so...
> Ich würde vorschlagen: nimm Zylinderkoordinaten (und stelle
> gedanklich den Zusammenhang mit der vorherigen Aufgabe her,
> wo ich noch eine Antwort schuldig bin, die sich aber evtl.
> gleich erübrigt, wenn diese Aufgabe gelöst ist).
Also, mit Zylinderkoordinaten muss ich mich wohl auch mal beschäftigen - was ist das denn? Hört sich eigentlich nicht so kompliziert an, aber ich habe das Wort noch nie gehört...
>
> Als Koordinatentransformation wäre dann also das hier:
>
> [mm]x_1 = r \cos{\varphi}[/mm]
> [mm]x_2 = r \sin{\varphi}[/mm]
> [mm]x_3 = z[/mm]
>
>
> Kannst du die Funktionaldetermimante hiervon mal
> berechnen?
>
> Zur Kontrolle: es sollte der Wertr [mm]r_[/mm] herauskommen.
Mmh, das Wort "Funktionaldeterminante" hatte ich auch letzte Woche ich glaub' von Stefan (oder von dir?) das erste Mal gehört, obwohl mir die Jacobi-Matrix bekannt ist... Jedenfalls weiß ich auch nicht so ganz, wofür das hier gebraucht wird oder wovon nun die Matrix und Determinante berechnet werden soll. Ich weiß auch nicht, wie du auf genau diese Transformation kommst, aber das führt im Moment auch wohl alles etwas zu weit. (Du hast mir ja letztens schon ein halbes Buch geschrieben. )
> Nach der Transformation wird dann [mm]x_1^2+x_2^2=r^2[/mm]
Das habe ich dann auch noch herausbekommen.
>
> [mm]\varphi[/mm] läuft einfach von 0 bis [mm]2\pi[/mm], r von [mm]r_[/mm] bis [mm]R_[/mm] und z
> von [mm]0_[/mm] bis [mm]l_[/mm]
>
Aber diese Integrationsgrenzen? ![[kopfschuettel]](/images/smileys/kopfschuettel.gif "[kopfschuettel]")
von 0 bis l ist klar, aber bei r kam ich immer irgendwie auf r [mm] \sin [/mm] bzw. R [mm] \sin. [/mm] Und die letzte hatte ich glaube ich gar nicht mehr versucht...
> Das ist jetzt ein wirklich sehr gutes Beispiel um vor Augen
> zu führen, wie die Koordinatentransformation einem das
> Leben erleichtern kann! Alle Wurzeln sind wie weggeblasen!
>
>
Oja, das stimmt! ![[applaus]](/images/smileys/applaus.gif "[applaus]")
So, ich schreibe das hier diesmal alles extra als Mitteilung und nicht als Frage, damit du nicht wieder ein schlechtes Gewissen bekommst!
Jedenfalls habe ich da was hingeschrieben, was ich morgen abgeben kann. Und da es dann auch schon den neuen Zettel gibt, werde ich mich wohl sowieso mehr mit den neuen Aufgaben beschäftigen als mit den alten, auch wenn's nötig wäre.
Aber ich komme ich Moment mit der Zeit überhaupt nicht hin - ich lasse schon fast alle Hobbies aus und machen von morgens bis abends Mathe, fange auch schon vor dem WE an, damit ich am Ende der nächsten Woche irgendwas abgeben kann, und trotzdem sitze ich dann am Abend vorher da und überlege und überlege...
Was ich damit sagen wollte:
Falls du oder irgendjemand, der das hier liest, Spaß daran und die Zeit dafür hat, darf er mir gerne noch was dazu schreiben, ich werde es bestimmt lesen, wenn auch vertiefend erst in einigen Wochen oder Monaten.
Aber wenn nicht, dann bin ich auch nicht böse. Werde mich dann wohl nochmal melden, wenn's so weit ist - wie gesagt, hoffentlich mit allgemeineren Fragen.
Danke für deine Antwort und die Rechenschritte.
Viele Grüße
Bastiane
![[winken]](/images/smileys/winken.gif "[winken]")
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:51 Fr 03.12.2004 | | Autor: | Paulus |
Liebe Christiane,
ich versuche hiermit auf ganz naive Weise, die Integrationsgrenzen zu erklären. Sei mir nicht böse, wenn ich das auf diese anschauliche Art mache, aber immerhin konnte ich selber mir das anno dazumal so einprägen.
Bitte ganz genau lesen und dazu auch eine Zeichnung machen!
Ein Aha-Erlebnis in dieser Sache könnte hier für die nächste Zukunft einigen Aerger ersparen.
Ich wünschte mir von ganzem Herzen, ich könnte mal mit dir eine Stunde zusammensitzen! Es ist einfach mühsam, wenn man während dem Erklären nicht gerade mit Bleistift und Papier bewaffnet, skizzieren und malen kann, und auch spontan auftauchende Fragen diskutieren kann. Aber diese blöden geografischen Distanzen...
Bevor wir aber beginnen, noch ganz kurz:
Funktionalmatrix und Jacobi-Matrix sind ein und dasselbe.
Die Determinante davon ist dann eben auch die Funktionaldeterminante oder die Jacobi-Determinante.
Ich selber hasse es auch, gerade in der Mathematik, wenn man für die selbe Sache verschiedene Namen hat. Diese verfluchten Germanisten!
Zylinderkoordinaten? Führe in der x-y-Ebene Polarkoordinaten ein, und belasse die z-Koordinate so wie sie ist, dann hast du Zylinderkoordinaten. Ein Punkt im 3-dimensionalen Raum wird dann durch die drei Angaben "Abstand von der z-Achse", "Winkel von der ursprünglichen x-Achse aus gemessen" und "Höhe über der ursprünglichen x-y-Ebene" beschrieben.
Der Uebergang von rechtwinkligen Koordinaten zu Polarkoordinaten geht so:
$x := [mm] r*\cos{\varphi}$
[/mm]
$y := [mm] r*\sin{\varphi}$
[/mm]
Für die z-Koordinate im dreidimensionalen Fall schreiben wir einfach noch
$z := z_$
So, jetzt aber zu deinem Problem: der Hohlzylinder. Bitte um eine kleine Skizze, in der Vogelperspektive.
In der Integralrechnung Ueberdeckt man ja ein Volumen mit einem Würfelgebäude und macht das einfach ganz ganz fein. Wir wollen jetzt aber davon absehen, die Würfelchen klein werden zu lassen, wir sollen nur mal die Anschauung fördern!
Mach das bitte in deiner Skizze: erriche in Richtung der z-Achse einige quadratische Säulen, die du in der Höhe dann noch unterteilst, so dass Säulen aus Würfeln entstehen, ganz grob.
Jetzt haben wir ja auch eine Funktion gegeben, [mm] ($\mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}$)
[/mm]
Da könnten wir mal in jedem Würfel den Funktionswert berechnen (auch ganz grob, einfach vielleicht den Wert in der Mitte des jeweiligen Würfels, ist nicht kritisch). In alle Würfel schreibst du den Funktionswert, mindestens in Gedanken in alle, in deiner Skizze vielleicht nur in einer einzigen Säule) als Zahl hinein.
So, jetzt sind wir Buchhalter, die mit einen Notizblock versehen, uns an der Spitze eines solchen Würfelturmes in einen Lift setzen und langsam bis zum Boden hinunterfahren. Während der Fahrt addieren wir auf jedem Stockwerk (das sind die Würfel) die darin notierte Zahl. Wenn wir unten angekommen sind, schreiben wir unsere Summe in grossen Buchstaben auf den Boden. Das machen wir so mit jeder Säule.
Am Schluss dieser Aktion ist also die Grundfläche jedes Würfelturmes mit der Zahl versehen, die die addierten Werte der darüberliegenden Säule darstellt.
Jetzt können wir das Dreidimensionale verlassen!
Es gibt eine neue Skizze, nur noch die x-y-Ebene. Die z-Richtung haben wir ja mittels unserer Liftfahrt abgehandelt.
Auf der x-y-Ebene sehen wir jetzt quadratische Bodenplatten, die zum Teil mit einer Zahl versehen sind. Jene Platten mit einer Zahl bilden, grob, einen Kreisring. (Die Projektion des Hohlzylinders auf die x-y-Ebene)
Die weitere Aufgabe besteht darin, alle Zahlen, die auf diesen Platten aufgemalt sind, zusammenzuzählen. (Hier ist es Wert zu überlegen, dass der übriggebliebene Integrationsbereich einfach die Projektion (der Schatten) des ursprünglichen Körpers, welche Gestalt er auch haben mag, in die nächsttiefere Dimension ist)
Ja, was machen wir als gewissenhafte Buchhalter weiter?
Nun, wir nehmen wieder unseren Notizblock und beschreiten die Ebene parallel zur y-Achse. Dabei addieren wir wieder alle Werte, die auf den Bodenplatten stehen, und notieren die jeweiligen Summen auf der x-Achse.
(Kleiner Einschub für dich (der Buchhlter versteht ja eh nichts von Mathe): jetzt erkennst du, dass der Buchhalter jeweils Zahlen im y-Bereich von [mm] $-\wurzel{R^2-x^2}$ [/mm] bis [mm] $-\wurzel{r^2-x^2}$ [/mm] und auch im Bereich von [mm] $+\wurzel{r^2-x^2}$ [/mm] bis [mm] $+\wurzel{R^2-x^2}$ [/mm] zu addieren hat. Von hier stammt also der Faktor $2_$ aus der vorherigen Antwort!)
So, wenn der Buchhalter alle Zahlen addiert und notiert hat, dann stehen auf der x-Achse einige Werte, im Bereich von etwa $-R_$ bis $+R_$. Beachte auch hier: das ist einfach die Projektion der 2-dimensionalen Figur (unser Kreisring) auf die nächsttiefere Dimension (die x-Achse).
Der Buchhalter muss aber die Summe des ganzen Bereiches präsentieren, sonst ist die Buchprüfungsrevision nicht zufrieden!
Was muss er noch tun?
Ja klar, er muss noch entlang der x-Achse spazieren und wieder alle dort aufgemalten Zahlen zusammenzählen. Natürlich muss er von $-R_$ bis $+R_$ wandern. Die Summe schreibt er wieder eine Dimension tiefer, also in den Koordinatenursprung. Damit ist er fertig, es sind alle Dimensionen durchfahren, durchschritten und durchwandert!
Ha, jetzt haben wir doch tatsächlich einem Finanzheini schon fast die Integralrechnung beigebracht! Würde er noch begreifen, dass er seine Würfelchen infinitesimal klein machen muss und zudem vor dem Notieren der Zahl diese mit der Würfelhöhe, auch mit der Quadrathöhe und der Wanderschrittlänge zu multiplizieren hat, dann hätte er die Integralrechnung kapiert! Das wollen wir ihm aber nicht zumuten, sein Notizblock würde dann ja nicht mehr ausreichen für so viele (kleine) Zahlen. Das bleibt also unser Geheimnis!
Liebe Christiane, sage mir bitte, ob das einigermassen nachvollziebar ist. Wenn ja, dann machen wir das Ganze nochmals, in Zylinderkoordinaten (ist auch ganz einfach: der Buchhalter sammelt die Werte im 2. Schritt einfach nicht entlang der Parallelen zur y-Achse, sondern schreitet ringsherum auf dem Ring von 0° bis 360° und notiert die Zahlen jedesmal, wenn er auf der x-Achse angelangt ist. Im letzen Schritt muss er dann aber nur noch von $r_$ bis $R_$ gehen. Daher also auch die Integrationsgrenzen von $0_$ bis [mm] $2\pi$ [/mm] und von $r_$ bis $R_$ nach der Koordinatentransformation in meiner vorherigen Antwort.
Ich hoffe, ich habe dich jetzt mit dem Buchhalterbild nicht beleidigt, aber manchmal sind solche Bilder halt tatsächlich ein geeignetes Mittel, um die Dinge der Mathematik zu verstehen und plötzlich in die Kategorie "Das Einfachste der Welt" einordnen zu können!
Auch Stefan und Marcel sollen mir nicht grollen, ich weiss, dass sie auf geometrischen Anschauung eigentlich am Liebsten ganz verzichten würden!
Mit lieben Grüssen
Paul
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:17 Fr 03.12.2004 | | Autor: | Stefan |
Lieber Paul!
Eine ganz liebevolle Erklärung.
> Auch Stefan und Marcel sollen mir nicht grollen, ich weiss,
> dass sie auf geometrischen Anschauung eigentlich am
> Liebsten ganz verzichten würden!
Das stimmt nicht, das habe ich nie behauptet. Eine geometrische Anschauung ist mega-wichtig. Ich wäre nur froh, wenn ich mehr davon hätte!!! Sie fehlt mir nur einfach (leider!) häufig und hindert mich daran jemals ein guter Mathematiker zu werden.
Liebe Grüße
Stefan
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:17 So 05.12.2004 | | Autor: | Bastiane |
Hallo Paul!
Also, ich habe es doch tatsächlich jetzt schon geschafft, deine Antwort mal genauer durchzulesen - sie ist dir echt gut gelungen. Vielleicht solltest du mal ein Buch herausgeben: Mathe für Dummies oder so?
Also, ich habe mir erstmal den Wikipedia-Artikel über die Polarkoordinaten durchgelesen, irgendwie wusste ich vorher gar nicht mehr so richtig, was das ist und so, und mit den Zylinderkorrdinaten ist das ja dann auch nicht so schwierig...
Und für Anschauung bin ich immer, ich stelle mir sowieso immer alles irgendwie in 3D vor, anders kann ich das gar nicht... Und wenn's dann noch eine Liftfahrt wird
> Ich wünschte mir von ganzem Herzen, ich könnte mal mit dir
> eine Stunde zusammensitzen! Es ist einfach mühsam, wenn man
> während dem Erklären nicht gerade mit Bleistift und Papier
> bewaffnet, skizzieren und malen kann, und auch spontan
> auftauchende Fragen diskutieren kann. Aber diese blöden
> geografischen Distanzen...
Ja, das ist wahr.
> So, jetzt aber zu deinem Problem: der Hohlzylinder. Bitte
> um eine kleine Skizze, in der Vogelperspektive.
Mmh, also ein Hohlzylinder aus der Vogelperspektive - das wäre meiner Meinung nach nur noch ein Kreisring? Naja, ich habe einfach einen dreidimensionalen Hohlzylinder gezeichnet, damit hat's funktioniert.
Nun, ich denke, ich brauche nicht deinen ganzen Artikel zu kommentieren, sonst kommen mir womöglich doch noch Fragen und wir werden nie fertig. Nein, nein, wenn ich Fragen habe, melde ich mich schon - aber im Moment reicht's erstmal.
> Ha, jetzt haben wir doch tatsächlich einem Finanzheini
> schon fast die Integralrechnung beigebracht! Würde er noch
> begreifen, dass er seine Würfelchen infinitesimal klein
> machen muss und zudem vor dem Notieren der Zahl diese mit
> der Würfelhöhe, auch mit der Quadrathöhe und der
> Wanderschrittlänge zu multiplizieren hat, dann hätte er die
> Integralrechnung kapiert! Das wollen wir ihm aber nicht
> zumuten, sein Notizblock würde dann ja nicht mehr
> ausreichen für so viele (kleine) Zahlen. Das bleibt also
> unser Geheimnis!
Cool - ein Geheimnis. *lol*
> Liebe Christiane, sage mir bitte, ob das einigermassen
> nachvollziebar ist.
Ja, natürlich war das gut nachvollziehbar - und so lustig, dass es sogar gerade eine Freundin von mir liest, weil sie was Abwechslung braucht, weil sie morgen eine Klausur schreibt (sie studiert Medizin) und gerade keine DVDs gucken kann...
> Ich hoffe, ich habe dich jetzt mit dem Buchhalterbild nicht
> beleidigt, aber manchmal sind solche Bilder halt
> tatsächlich ein geeignetes Mittel, um die Dinge der
> Mathematik zu verstehen und plötzlich in die Kategorie "Das
> Einfachste der Welt" einordnen zu können!
Nein, wieso solltest du mich beleidigt haben? Es war eine richtig schöne Geschichte. Und warum nicht mal Buchhalter spielen?
> Auch Stefan und Marcel sollen mir nicht grollen, ich weiss,
> dass sie auf geometrischen Anschauung eigentlich am
> Liebsten ganz verzichten würden!
Ach, ist Marcel auch so wenig geometrie-freundlich? Naja, Stefan hat ja schon seinen Kommentar dazugegeben - aber ich finde: er ist doch schon ein guter Mathematiker, oder etwa nicht???
Viele Grüße
Christiane
![[banane]](/images/smileys/banane.gif "[banane]")
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:21 Di 07.12.2004 | | Autor: | Paulus |
Liebe Christiane
> Hallo Paul!
> Also, ich habe es doch tatsächlich jetzt schon geschafft,
> deine Antwort mal genauer durchzulesen - sie ist dir echt
> gut gelungen. Vielleicht solltest du mal ein Buch
> herausgeben: Mathe für Dummies oder so?
Ja, das wäre wohl was. Nur - wer hält sich schon für einen Dummi (ausser ich selber)? Und: das war gar nicht für Dummies gedacht! Das ist wirklich nichts Anderes, als die Theorie interpretiert und auf Alltägliches zurückgeführt!
> Mmh, also ein Hohlzylinder aus der Vogelperspektive - das
> wäre meiner Meinung nach nur noch ein Kreisring? Naja, ich
> habe einfach einen dreidimensionalen Hohlzylinder
> gezeichnet, damit hat's funktioniert.
Ja, so meinte ich das auch. Vogelperspektive ist für mich so eine Schrägansicht.
> Ja, natürlich war das gut nachvollziehbar - und so lustig,
> dass es sogar gerade eine Freundin von mir liest, weil sie
War aber nicht nur zur alllgemeinen Belustigung gedacht...
Ehrlich: das war ganz seriös! Die Theorie sagt nichts Anderes aus.
> Ach, ist Marcel auch so wenig geometrie-freundlich? Naja,
> Stefan hat ja schon seinen Kommentar dazugegeben - aber ich
> finde: er ist doch schon ein guter Mathematiker, oder etwa
> nicht???
>
Oh ja, mir jedenfalls macht Stefan allemal was vor! Ich selber bleibe meistens auf einem tieferen Niveau stecken. Das hat vielleicht aber auch den Vorteil, dass ich die Problem der Studenten besser nachvollziehen kann. Ich schwebe nicht in den Wolken ...
Ja, Marcel will immer alles abstrakt und axiomatisch. Das geht, wenn man genug Uebung darin hat! Lernt man aber etwas Neues, dann ist es schon am einfachsten, wenn man das Neue auf altbekannte Bilder projizieren kann. Mit der Zeit löst man sich dann schon von den Bildern...
Mit lieben Grüssen
Paul
Und sag deiner Medizinfreundin einen schönen Gruss von mir. Ich drücke ihr die Daumen bei der Klausur!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:01 Di 07.12.2004 | | Autor: | Bastiane |
Hallo Paul!
> Ja, das wäre wohl was. Nur - wer hält sich schon für einen
> Dummi (ausser ich selber)? Und: das war gar nicht für
> Dummies gedacht! Das ist wirklich nichts Anderes, als die
> Theorie interpretiert und auf Alltägliches zurückgeführt!
Ja, ich hab' das auch nicht anders verstanden. Es ist doch oft so, dass alles gar nicht so schwierig ist, wenn man es einmal verstanden hat, und am besten kann man es verstehen, wenn man es so auf Alltägliches zurückführt, wie du es gemacht hast!
> War aber nicht nur zur alllgemeinen Belustigung gedacht...
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> Ehrlich: das war ganz seriös! Die Theorie sagt nichts
> Anderes aus.
Ja, schon klar! War aber trotzdem lustig! Aber ich habe es ernst gelesen, aber lachen durfte ich dochdabei, oder?
> Und sag deiner Medizinfreundin einen schönen Gruss von mir.
> Ich drücke ihr die Daumen bei der Klausur!
Werde ich machen. Wenn du ihr wenigstens die Daumen gedrückt hast, vielleicht hat's ja geholfen, ich habe es nämlich leider total vergessen...
Viele Grüße
Christiane
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