Trägheitsmoment < Mechanik < Physik < Naturwiss. < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Zwei Zylinder gleicher Masse und Radius rollen eine geneigte Ebene mit der Steigung [mm] $\alpha [/mm] = 30°$ herunter. Anfänglich befinden sich beide in Ruhe. Nach einer bestimmten Zeit ist Körper A eine Strecke von 0,5m und Körper B eine Strecke von 0,4m gerollt.
Bestimmen Sie das Verhältnis der Trägheitsmomente! |
Hallo an alle,
hatte diese Aufgabe in einer Prüfung. Mir ist aber noch nicht so recht klar, wie ich sie hätte lösen sollen. Einer meiner Ansätze war es, die Drehmomente gleichzusetzen, ein anderer, die Rotationsenergien in ein Verhältnis zu setzen.
Für beide weiß ich nicht so recht, wie ich vorgehen soll.
Welcher der beiden Ansätze ist denn der richtige? Oder sind sie beide falsch, wie rechnet man die Aufgabe sinnvoll?
Danke und Gruß,
miniscout ![[clown]](/images/smileys/clown.gif "[clown]")
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:54 Di 30.09.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Zwei Zylinder gleicher Masse und Radius rollen eine
> geneigte Ebene mit der Steigung [mm]\alpha = 30°[/mm] herunter.
> Anfänglich befinden sich beide in Ruhe. Nach einer
> bestimmten Zeit ist Körper A eine Strecke von 0,5m und
> Körper B eine Strecke von 0,4m gerollt.
>
> Bestimmen Sie das Verhältnis der Trägheitsmomente!
> Hallo an alle,
>
> hatte diese Aufgabe in einer Prüfung. Mir ist aber noch
> nicht so recht klar, wie ich sie hätte lösen sollen. Einer
> meiner Ansätze war es, die Drehmomente gleichzusetzen, ein
> anderer, die Rotationsenergien in ein Verhältnis zu
> setzen.
>
> Für beide weiß ich nicht so recht, wie ich vorgehen soll.
>
> Welcher der beiden Ansätze ist denn der richtige? Oder sind
> sie beide falsch, wie rechnet man die Aufgabe sinnvoll?
![[guckstduhier]](/images/smileys/guckstduhier.gif "[guckstduhier]") ![[]](/images/popup.gif) hier!
Im Prinzip sollten beide Ansätze zur Lösung führen.
Das Drehmoment ist in beiden Fällen gleich (ich gehe hier davon aus, dass die Massenverteilung der Zylinder symmetrisch zur Mittelachse ist, damit der Schwerpunkt auf dieser Achse liegt), nämlich:
$ [mm] mgr\sin\alpha$
[/mm]
Andererseits ist das Drehmoment gleich Trägheitsmoment I mal Winkelbeschleunigung. (Hier handelt es sich um das Trägheitsmoment bezüglich der Auflageachse, nicht bezüglich der Mittelachse!)
Da das Drehmoment konstant ist, ist die Winkelbeschleunigung konstant und damit die Winkelgeschwindigkeit linear ansteigend, also
[mm] mgr\sin\alpha = I\dot\omega \implies \omega = \bruch{mgr\sin\alpha}{I} t [/mm]
Da der Zylinder schlupffrei rollt, ist die Geschwindigkeit des Auflagepunktes gerade [mm] $r\omega$. [/mm] Damit ergibt sich die zurückgelegte Strecke zu
[mm] x = \bruch{1}{2} t^2 \bruch{mgr^2\sin\alpha}{I} [/mm]
Oder:
[mm] \bruch{x_A}{x_B} = \bruch{I_B}{I_A} [/mm]
Energieerhaltung führt zum selben Ergebnis: Die kinetische Energie der Bewegung ist die kinetische Energie des Schwerpunkts plus der Rotationsenergie bzgl der Mittelachse:
[mm] mgr\sin\alpha = \bruch{1}{2} m v^2 + \bruch{1}{2} J \omega^2 [/mm]
(Ich habe hier J statt I geschrieben, da es sich hier um das Trägheitsmoment bezüglich der Mittelachse handelt.)
Mit [mm] $v=r\omega$ [/mm] und dem Steinerschen Satz $I = [mm] mr^2 [/mm] + J$ ergibt sich dasselbe Ergebnis.
Viele Grüße
Rainer
Viele Grüße
Rainer
|
|
|
|
