Trägheitsmoment einer Kugel < HochschulPhysik < Physik < Naturwiss. < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:41 Fr 27.03.2009 | | Autor: | physicus |
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Hallo zusammen!
Ich habe eine kleine Frage zur Berechnung des Trägheitsmoments der Vollkugel m mit Radius r und Masse m.
Ich habe das ganze in Kugelkoordinaten berechnet und darum handelt sich meine Frage:
[mm] \integral_{0}^{r}{r^4 dr}\integral_{0}^{\pi}{d\theta} \integral_{0}^{2\pi}{\sin{\phi}^3d\phi}
[/mm]
wie man darauf kommt ist mir klar, allerdings nicht ganz warum man das machen darf: Das Trägheitsmoment ist wie folgt definiert:
[mm] \summe_{i=1} m_i r_{i senkrecht}
[/mm]
Also aus der Summe der infinitesimal Massenteilchen [mm] m_i [/mm] mit SENKRECHTEM! Abstand zur Drehachse. Jetzt zu meiner Frage: bei meiner Integration sehe ich nicht, dass der senkrechte Abstand wirklich gewährleistet ist. Hat das damit zu tun, dass mein bei der Kugel keine Drehachse bestimmten kann(was ich meine ist, dass sie alle gleich sind aus Symmetrie der Kugel)? Ist es deshalb von Vorteilen immer die Zylinderkoordinaten zu nehmen und den senkrechten Abstand zu haben?
Danke für die Hilfe!
Cheers!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:41 Fr 27.03.2009 | | Autor: | Kroni |
> Hallo zusammen!
> Ich habe eine kleine Frage zur Berechnung des
> Trägheitsmoments der Vollkugel m mit Radius r und Masse m.
>
> Ich habe das ganze in Kugelkoordinaten berechnet und darum
> handelt sich meine Frage:
> [mm]\integral_{0}^{r}{r^4 dr}\integral_{0}^{\pi}{d\theta} \integral_{0}^{2\pi}{\sin{\phi}^3d\phi}[/mm]
>
> wie man darauf kommt ist mir klar, allerdings nicht ganz
> warum man das machen darf: Das Trägheitsmoment ist wie
> folgt definiert:
> [mm]\summe_{i=1} m_i r_{i senkrecht}[/mm]
> Also aus der Summe der
> infinitesimal Massenteilchen [mm]m_i[/mm] mit SENKRECHTEM! Abstand
> zur Drehachse. Jetzt zu meiner Frage: bei meiner
> Integration sehe ich nicht, dass der senkrechte Abstand
> wirklich gewährleistet ist. Hat das damit zu tun, dass mein
> bei der Kugel keine Drehachse bestimmten kann(was ich meine
> ist, dass sie alle gleich sind aus Symmetrie der Kugel)?
> Ist es deshalb von Vorteilen immer die Zylinderkoordinaten
> zu nehmen und den senkrechten Abstand zu haben?
>
Hi,
ganz wichtig, wie du schon betonst ist es, den senkrechten Abstand zur Drehachse zu nehmen. Wenn wir uns das also anschauen, fangen wir bei
[mm] $I:=\int r_\perp^2\,dm$ [/mm] an.
Wichtig ist, dass wir das Trägheitsmoment durch den Mittelpunkt der Kugel berechnen.
Wenn wir noch annehmen, dass der Körper homogen ist, also [mm] $\rho=\text{const}$ [/mm] für alle Masseteilchen $dm$ gilt, dann können wir schreiben, dass [mm] $dm=\rho [/mm] dV$ gilt.
Also gilt dann für [mm] $I=\rho \int r_\perp^2\,dV$
[/mm]
Dein Volumenelement in Kugelkoordinaten, was auch sinnvoll ist, das das Problem ja auch schon diese Symmetrie hat, lautet [mm] $dV=r^2\sin\vartheta\,dr\,d\varphi\,d\vartheta$
[/mm]
Dabei ist $r$ der Radius der Kugel, [mm] $\vartheta$ [/mm] der Winkel zwischen deiner z-Achse und dem Radiusvektor. Wenn du dir jetzt einen Querschnitt deiner Kugel einzeichnest, kannst du ein rechtwinkliges Dreieck einzeichnen, in dem der Winekl [mm] $\vartheta$, [/mm] der Radiusvektor r und [mm] $\r_\perp$ [/mm] vorkommt. Dort gilt dann die Beziehung [mm] $\sin\vartheta=\frac{r_\perp}{r}$, [/mm] also [mm] $r_\perp=r\sin\vartheta$.
[/mm]
Wenn wir das jetzt in das Trägheitsmoment einbauen, gilt:
[mm] $I=\rho\int r_\perp^2 r^2\sin\vartheta \,dr\,d\varphi\,d\vartheta$
[/mm]
Wenn wir jetzt noch den Ausdruck für [mm] $r_\perp$ [/mm] einsetzen, wo du nämlich jetzt explizit den senkrechten Abstand mit reinnimmst, gilt:
[mm] $I=\rho\int \left(r\sin\vartheta\right)^2 r^2\sin\vartheta \,dr\,d\varphi\,d\vartheta$, [/mm] also
[mm] $I=\rho \int r^4 \sin^3\vartheta \,dr\,d\varphi\,d\vartheta$, [/mm] wie du es schon dort stehen hast (wo sich aber ein Fehler eingeschlichen hat: Der [mm] $\vartheta$-Anteil [/mm] geht von $0$ bis [mm] $\pi$, [/mm] und der [mm] $\varphi$-Anteil [/mm] geht von $0$ bis [mm] $2\pi$, [/mm] d.h. du hast in deinem Integral [mm] $\varphi$ [/mm] und [mm] $\vartheta$ [/mm] etwas durcheinander gebracht).
D.h. man hat schon alles "korrekt" gerechnet, damit auch das richtige rauskommt.
Man kann das ganze natürlich auch in Zylinderkoordinaten rechnen, dann bekommt man aber hässliche Wurzeln, weil dann dein senkrechter Radius-Anteil von $z$ und von [mm] $\rho$ [/mm] abhängt, was man schön umgehen kann, indem man in Kugelkoordinaten den senkrechten Abstand zum Mittelpunkt mithilfe von [mm] $r\sin\vartheta$ [/mm] ausdrückt.
> Danke für die Hilfe!
Kein Thema.
LG
Kroni
>
> Cheers!
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:21 Fr 27.03.2009 | | Autor: | physicus |
Danke für deine Antwort!
aber ich habe noch eine kleine Zusatzfrage:
Ich bin genau gleich vorgegangen wie du. Sprich ich habe das [mm] \rho [/mm] durch dV ersetzt. also:
J = [mm] \rho \integral {r_{senkrecht}^2 dV}
[/mm]
das dV habe ich erhalten, indem ich die Determinante der Funktionalmatrix berechnet habe! Somit bin ich auf die [mm] r^4 sin^3\theta [/mm] gekommen. Muss ich mir, wenn ich die Determinante der Funktionalmatrix berechne keine Sorgen mehr machen, dass ich nicht den Senkrechten Abstand zur Drehachse genommen habe?
Ich hoffe die Frage ist verständlich, ich bin gerade ziemlich verwirrt:)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:27 Fr 27.03.2009 | | Autor: | Kroni |
Hi,
da musst du dich irgendwo verrechnet haben. Die Funktionaldeterminante ist [mm] $r^2\sin\vartheta$, [/mm] von daher war es dann "Zufall", dass du auf das selbe kommst. Denn das [mm] $r^4$ [/mm] und das [mm] $\sin^3\vartheta$ [/mm] kommt nur daher, weil man für das [mm] $r_\perp$ $r\sin\vartheta$ [/mm] einsetzt.
LG
Kroni
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