Trägheitssatz von Sylvester < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:29 Di 09.10.2007 | | Autor: | kittie |
Hallo zusammen,
habe eine Bitte. Und zwar habe ich morgen eine mündliche Prüfung in Lineare Algebra. Habe gehört, dass vomProf des öfteren der Zusammenhang zwischen Trägheitssatz von Sylvester und dem Spektralsatz gefragt wird. Da ich trotz Recherschen bisher keine vernüftige Erklärung gefunden habe, hoffe ich dass mir hier weitergeholfen werden kann.
Für all diejenigen, denen der "Spektralsatz" erstmal nichts sagt, hier nochmal die Definition unserer VL:
a)Sei [mm] \phi [/mm] ein symmetrischer Endomorphismus eines euklidischen Vektorraums. Dann existiert eine Orthonormalbasis, die aus Eigenvektoren besteht.
b) Sei A [mm] \in M_n(\IR) [/mm] eine symmetrische Matrix. Dann existiert eine Matrix g [mm] \in O_n(\IR) [/mm] sodass: [mm] g^tAg=g^{-1}Ag [/mm] Diagonalmatrix ist.
Desweiteren wäre ich euch sehr verbunden, wenn ihr mir noch sagen könntet, warum der Trägheitssatz berhaupt Trägheitssatz heißt!!!
Hoffe sehr dass ihr mir helfen könnt!
liebe grüße, die kittie
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> Für all diejenigen, denen der "Spektralsatz" erstmal nichts
> sagt, hier nochmal die Definition unserer VL:
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> a)Sei [mm]\phi[/mm] ein symmetrischer Endomorphismus eines
> euklidischen Vektorraums. Dann existiert eine
> Orthonormalbasis, die aus Eigenvektoren besteht.
> b) Sei A [mm]\in M_n(\IR)[/mm] eine symmetrische Matrix. Dann
> existiert eine Matrix g [mm]\in O_n(\IR)[/mm] sodass: [mm]g^tAg=g^{-1}Ag[/mm]
> Diagonalmatrix ist.
Hallo,
ich weiß nun nicht, in welcher Form der Trägheitssatz Dir vorliegt, das scheint verschieden gehandhabt zu werden.
Der Trägheitssatz sagt, daß die Anzahl der positiven und negativen Eigenwerte einer symmetrischen Matrix eine feste Größe ist, unabhängig von der gewählten Basis, diese Anzahlen ändern sich beim Basiswechsel nicht, sie sind träge.
Daß man für Deine symmetrische Matrix A eine Matrix S findet, so daß S^tAS eine Diagonalmatrix ist, welche auf der Hauptdiagonalen soviele Einsen hat wie positive Eigenwerte und soviele minus Einsen wie negative Eigenwerte, wird teilweise als Trägheitssatz gehandelt, andernorts als Folgerung aus diesem.
Ich habe da mal versucht zu erklären, wie man diese Matrix S findet.
Gruß v. Angela
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:44 Di 09.10.2007 | | Autor: | Blueman |
Hi Kittie
Ich habe demnächst auch LA-Prüfung, beim selben Prof. wie du.
Also ich hab das so verstanden:
Spektralsatz: Symmetrischer Endomorphismus eines euklidischen Raums => Es existiert eine ONB aus Eigenvektoren.
Trägheitssatz von Sylvester: Symmetrische Billinearform => Es existiert Basis B, sodass die Matrix A der Billinearform bezgl. B eine Diagonalmatrix ist mit p x 1 auf der Diagonale und q x -1 auf der Diagonalen.
Außerdem gilt p = Anzahl positiver Eigenwerte der Matrix, q = Anzahl negativer Eigenwerte der Matrix.
Den 1. Teil des Trägheitssatzes beweist man durch den Satz davor (orthogonale Abspaltung => Diagonalmatrix.) Danach normiert man die Basisvektoren und erhält die gewünschte Form. (Dies wurde in einer Prüfung übrigens auch schon mal gefragt). Den 2.Teil beweist man komplizierter, aber es läuft darauf hinaus, dass es eine eine orthogonale Matrix aus Eigenvektoren gibts sodass tgAg Diagonalmatrix ist. (war jetzt sehr knapp und wohl auch etwas falsch, lies dir einfach nochmal den Beweis vom Spektralsatz durch da stehts). Das wichtige kommt jetzt: Denn hieraus (also dem Trägheitssatz) folgert der Prof den Spektralsatz! Und das liegt daran das eine Matrix g genau dann orthogonal ist, wenn ihre Spaltenvektoren eine ONB bilden! Schätze mal, das will er auf die Frage hören. Aber wie gesagt: Les dir nochmal den Spektralsatz-Beweis durch.
Hast du vielleicht noch ein paar Tipps was vielleicht dran kommen könnte?
Wäre super!
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