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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:05 Do 06.03.2014 | | Autor: | Katthi |
| Aufgabe | [mm] y''= sin(y) [/mm]
1) Schreibe die DGL in ein System 1. Ordnung.
2) Wie verlaufen die Trajektorien in (0,0), [mm] (\pi,0) [/mm], [mm] (2 \pi,0) [/mm]? |
Hallo Leute,
Also ich habe zuerst einmal eine Frage zur Linearisierung.
Ich habe die Aufgabe aus einem alten Prüfungsprotokoll und da stand, dass diese so gelöst werden sollte, dass man die DGL für kleine Winkel betrachtet, da dann ja gilt [mm] sin(y) \approx y [/mm]. Das verstehe ich, aber gibt es noch eine andere Möglichkeit? Denn bei einem anderen Protokoll steht etwas davon, dass mit y' multipliziert werden soll, aber wieso?
Gehen wir von der Näherung mit kleinen Winkeln aus,
erhalte ich als System mit a= y und b=y':
[mm] \vektor{a \\ b}' = \pmat{ 0 & 1 \\ 1 & 0 } \vektor{a \\ b} [/mm]
Betrachtet man die Matrix erhalten wir als Eigenwerte [mm] \pm 1 [/mm] .
Das bedeutet der stationäre Punkt ist ein Sattelpunkt.
Wenn ich jetzt die Trajektorien zeichnen soll, muss ich ja wissen, wie die Lösungen laufen. Ich weiß, wie ein Sattelpunkt aussieht. ich würde die Geraden der beiden Eigenvektoren eintragen und dann nach gefühl die Kurven, die sich an diese Geraden anschmiegen.
Aber wie bekomme ich diese Kurven genau hin, bzw. wie erhalte ich die Gleichungen von denen, sodass ich eine Aussage über die angegebenen Punkte treffen kann?
Ich hoffe, dass ihr mir mal wieder helfen könnt :)
Viele Grüße,
Katthi
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Hallo Katthi,
> [mm]y''= sin(y)[/mm]
> 1) Schreibe die DGL in ein System 1. Ordnung.
> 2) Wie verlaufen die Trajektorien in (0,0), [mm](\pi,0) [/mm], [mm](2 \pi,0) [/mm]?
>
> Hallo Leute,
>
> Also ich habe zuerst einmal eine Frage zur Linearisierung.
> Ich habe die Aufgabe aus einem alten Prüfungsprotokoll
> und da stand, dass diese so gelöst werden sollte, dass man
> die DGL für kleine Winkel betrachtet, da dann ja gilt
> [mm]sin(y) \approx y [/mm]. Das verstehe ich, aber gibt es noch eine
> andere Möglichkeit? Denn bei einem anderen Protokoll steht
> etwas davon, dass mit y' multipliziert werden soll, aber
> wieso?
>
Das macht man, um die linearisierte DGL einfacher zu lösen.
> Gehen wir von der Näherung mit kleinen Winkeln aus,
> erhalte ich als System mit a= y und b=y':
> [mm]\vektor{a \\ b}' = \pmat{ 0 & 1 \\ 1 & 0 } \vektor{a \\ b}[/mm]
>
> Betrachtet man die Matrix erhalten wir als Eigenwerte [mm]\pm 1[/mm]
> .
> Das bedeutet der stationäre Punkt ist ein Sattelpunkt.
>
> Wenn ich jetzt die Trajektorien zeichnen soll, muss ich ja
> wissen, wie die Lösungen laufen. Ich weiß, wie ein
> Sattelpunkt aussieht. ich würde die Geraden der beiden
> Eigenvektoren eintragen und dann nach gefühl die Kurven,
> die sich an diese Geraden anschmiegen.
> Aber wie bekomme ich diese Kurven genau hin, bzw. wie
> erhalte ich die Gleichungen von denen, sodass ich eine
> Aussage über die angegebenen Punkte treffen kann?
Siehe hier: ![[]](/images/popup.gif) Trajektorien bestimmen
Hier heisst das, die Lösung der DGL
[mm]\bruch{da}{db}=\bruch{b}{a}[/mm]
ist zu bestimmen.
> Ich hoffe, dass ihr mir mal wieder helfen könnt :)
>
> Viele Grüße,
>
> Katthi
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:45 Do 06.03.2014 | | Autor: | Katthi |
Aber was erleichtert mir das denn wenn ich mit y' multipliziere?
Es gilt also:
[mm] \bruch{da}{db} = \bruch{0*a+1*b}{1*b+0*b} = \bruch{b}{a} [/mm] aufgrund der einfachen Matrix richtig? Ansonsten könnte das auch komplizierter aussehen, oder?
Nun kann ich die DGL mit Trennung der Variablen lösen zu: [mm] \pm a= \pm b [/mm] . Auflösen muss ich jetzt nach b oder? Weil in meinem Koordinatensystem ist b = y' meine "y-Achse"?!
Aber wie mache ich jetzt weiter? Jetzt hätte ich ja dann quasi nur Geraden?
Aber das würde ja mit dem Aussehen des Sattelpunktes nicht passen?!
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Hallo Katthi,
> Aber was erleichtert mir das denn wenn ich mit y'
> multipliziere?
>
Wenn Du die linearisierte DGL mit y' multiplizierst,
dann steht da:
[mm]y''*\blue{y'}=y*\blue{y'}[/mm]
Jetzt steht auf beiden Seiten der Gleichung
je eine Ableitung einer Funktion.
>
> Es gilt also:
> [mm]\bruch{da}{db} = \bruch{0*a+1*b}{1*b+0*b} = \bruch{b}{a}[/mm]
> aufgrund der einfachen Matrix richtig? Ansonsten könnte
> das auch komplizierter aussehen, oder?
> Nun kann ich die DGL mit Trennung der Variablen lösen zu:
> [mm]\pm a= \pm b[/mm] . Auflösen muss ich jetzt nach b oder? Weil
Beim Lösen der DGL hast Du die Integrationskonstante vergessen.
Die Integrationskonstante wird durch die Anfangsbedingungen bestimmt.
> in meinem Koordinatensystem ist b = y' meine "y-Achse"?!
> Aber wie mache ich jetzt weiter? Jetzt hätte ich ja dann
> quasi nur Geraden?
> Aber das würde ja mit dem Aussehen des Sattelpunktes nicht
> passen?!
>
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:23 Do 06.03.2014 | | Autor: | Katthi |
Also ich benutze trotzdem die Näherung für kleine Winkel, multipliziere dann mit y' und dann steht es auf beiden Seiten. OK, aber was kann ich denn dann benutzen, dass es einfacher wird?
Ach stimmt, die hab ich vergessen.
Aber dann habe ich ja trotzdem Geraden. Ich kann mir irgendwie nicht vorstellen, wie das Portrait dann aussieht. Bei (0,0) ist mein Sattelpunkt. Als Geraden trage ich [mm] t * \vektor{1 \\ 1} [/mm] und [mm] s * \vektor{-1 \\ 1} [/mm] ein. für meine gegebenen Punkte setze ich ein und erhalte durch das System ja die Richtung in diesen Punkten. Müsste ich quasi für die Kurven, die zum Sattelpunkt gehören viele Punkte um den stationären Punkt einsetzen um dann die Richtungen zu erhalten und diese dann "verbinden"?
Und wo sind nun die Geraden, die ich eben errechnet habe?
ich hoffe, du verstehst was ich meine :D
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Hallo Katthi,
> Also ich benutze trotzdem die Näherung für kleine Winkel,
> multipliziere dann mit y' und dann steht es auf beiden
> Seiten. OK, aber was kann ich denn dann benutzen, dass es
> einfacher wird?
>
Wie sollte das einfacher werden?
>
> Ach stimmt, die hab ich vergessen.
> Aber dann habe ich ja trotzdem Geraden. Ich kann mir
> irgendwie nicht vorstellen, wie das Portrait dann aussieht.
> Bei (0,0) ist mein Sattelpunkt. Als Geraden trage ich [mm]t * \vektor{1 \\ 1} [/mm]
> und [mm]s * \vektor{-1 \\ 1} [/mm] ein. für meine gegebenen Punkte
> setze ich ein und erhalte durch das System ja die Richtung
> in diesen Punkten. Müsste ich quasi für die Kurven, die
> zum Sattelpunkt gehören viele Punkte um den stationären
> Punkt einsetzen um dann die Richtungen zu erhalten und
> diese dann "verbinden"?
> Und wo sind nun die Geraden, die ich eben errechnet habe?
>
Die DGL
[mm]\bruch{da}{db}=\bruch{b}{a}[/mm]
liefert
[mm]a^{2}-b^{2}=C[/mm]
Für die Anfangsbedingung (0,0) erhältst Du ebenfalls C=0,
und somit auch die zwei Geraden.
> ich hoffe, du verstehst was ich meine :D
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:18 Do 06.03.2014 | | Autor: | Katthi |
Stimmt :)
Danke dir!!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:49 Di 11.03.2014 | | Autor: | Katthi |
Hallo,
ich versuche grad nochmal alles nachzuvollziehen und hänge schon wieder beim Zeichnen der Trajektorien :D
Wie bringe ich denn nun meine gegebenen Punkt mit ins Spiel?
Wenn ich mir die Trajektorie in (0,0) anschaue, dann erhalte ich durch Einsetzen in [mm] a^2-b^2 = C [/mm] dass C = 0 ist, aber wie zeichne ich dies nun ein?
Und was ist wenn ich nun [mm] (\pi,0) [/mm] anschaue, dann erhalte ich [mm] C = -\pi ^2 [/mm].
Bedeutet das dann, dass mein Pfeil in diesem Punkt in Richtung [mm] -\pi ^2 [/mm] zeigt und bei (0,0) waagerecht (was ja Sinn machen würde, weil hier ja ein Sattelpunkt vorliegt).
D.h. meine Konstante, die ich durch die Punkte erhalte, würde mir die Richtung des Phasenportraits in dem gegebenen Punkt liefern?
Bzw. wenn ich jetzt einfach meine Punkte in das System einsetze, erhalte ich andere Richtungen. z.B:
[mm] \vektor{a \\ b}' = \pmat{ 0 & 1 \\ 1 & 0 } \vektor{\pi \\ 0} = \vektor{0 \\ \pi} [/mm]
Viele Grüße,
Katthi
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Hallo Katthi,
> Hallo,
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> ich versuche grad nochmal alles nachzuvollziehen und hänge
> schon wieder beim Zeichnen der Trajektorien :D
> Wie bringe ich denn nun meine gegebenen Punkt mit ins
> Spiel?
> Wenn ich mir die Trajektorie in (0,0) anschaue, dann
> erhalte ich durch Einsetzen in [mm]a^2-b^2 = C[/mm] dass C = 0 ist,
> aber wie zeichne ich dies nun ein?
Die Gleichung lautet
[mm]a^{2}-b^{2}=0[/mm]
Daraus ergeben sich die Geraden [mm]b=-a, \ b=+a[/mm]
> Und was ist wenn ich nun [mm](\pi,0)[/mm] anschaue, dann erhalte ich
> [mm]C = -\pi ^2 [/mm].
Nein, es folgt doch [mm]C=\pi^{2}[/mm]
> Bedeutet das dann, dass mein Pfeil in diesem Punkt in
> Richtung [mm]-\pi ^2[/mm] zeigt und bei (0,0) waagerecht (was ja
> Sinn machen würde, weil hier ja ein Sattelpunkt
> vorliegt).
> D.h. meine Konstante, die ich durch die Punkte erhalte,
> würde mir die Richtung des Phasenportraits in dem
> gegebenen Punkt liefern?
>
> Bzw. wenn ich jetzt einfach meine Punkte in das System
> einsetze, erhalte ich andere Richtungen. z.B:
> [mm]\vektor{a \\ b}' = \pmat{ 0 & 1 \\ 1 & 0 } \vektor{\pi \\ 0} = \vektor{0 \\ \pi}[/mm]
>
>
> Viele Grüße,
> Katthi
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:27 Di 11.03.2014 | | Autor: | Katthi |
Danke für deine Antwort.
Oh stimmt. Das minus muss weg.
Aber was gibt mit das [mm] C= \pi^2 [/mm] nun an? Ist es die Richtung im Punkt [mm] (\pi,0) [/mm] ?
Und wieso erhalte ich, wenn ich den Punkt in das System einsetze eine andere Richtung?
Viele Grüße,
Katthi
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Hallo Katthi,
> Danke für deine Antwort.
>
> Oh stimmt. Das minus muss weg.
> Aber was gibt mit das [mm]C= \pi^2[/mm] nun an? Ist es die Richtung
> im Punkt [mm](\pi,0)[/mm] ?
Nein, das C ist doch über die Anfangsbedingung bestimmt worden.
> Und wieso erhalte ich, wenn ich den Punkt in das System
> einsetze eine andere Richtung?
>
> Viele Grüße,
>
> Katthi
Gruss
MathePower
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 14:05 Di 11.03.2014 | | Autor: | Katthi |
Ich kann mir einfach nicht vorstellen, weie das Phasenportrait aussieht.
Also wenn ich die Anfangsbedingungen habe, dann erhalte ich z.B. [mm] b^2-a^2= \pi^2 [/mm] Wenn ich dies nun nach b auflöse erhalte ich eine Gerade. Wenn ich die nun einzeichne, sagt diese mir was? ;)
Und die Richtung in den verschiedenen Punkten erhalte ich dann wenn ich diese in das System einsetze, richtig? Wenn ich das dann bei ganz vielen Punkten mache, bekomme ich ganz viele kleine Pfeile in einem Koordinatensystem, richtig?
Und noch eine weitere Frage, was kann ich darüber aussagen, was mit der Lösung im Unendlichen passiert?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:20 Fr 14.03.2014 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:10 Di 11.03.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
behandelst du nur den linearisierten Fall dann zeichne doch einfach das Richtungsfeld in y', y Koordintensystem. dann kannst du die Kurve im Phasenraum verfolgen. Aber das ist ja für anfangswerte nicht in deer Nähe von 0 nicht mehr für die nichtlinearisierte Gleichung gültig.
etwa bei [mm] (\pi,0) [/mm] usw kann man ja nicht mehr von der linearen Näherung ausgehen.
Gruß leduart
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