Transformation 1.Ordnung < Sonstige < Transformationen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Transformieren Sie folgendes Anfangswertproblem in ein System autonomer Differentialgleichungen 1. Ordnung. Stellen Sie das System anschließend in der Form [mm] x^{'}= [/mm] Ax+b dar.
[mm] y_{1}^{''}+y_{2}+y_{3}+t=-1
[/mm]
[mm] y_{1}+y_{2}^{''}+y_{3}+0.75t=0
[/mm]
[mm] -y_{1}^{'}-y_{2}^{'}+y_{3}^{''}=0 [/mm] |
Hallo zusammen,
ich habe ein problem bei der aufg. wenn ich die dgl's einzeln betrachtet in abhängigkeit der neuen zustände ausdrücke, dann hab ich 3 gleichungen 1.ordnung. jetzt ist meine frage wie fasse ich diese in einer großen matrix zusammen. ist der ansatz schon falsch?
[mm] x_{1}=y_{1}
[/mm]
[mm] x_{2}=y_{2}
[/mm]
[mm] x_{3}=y_{3}
[/mm]
[mm] x_{4}=y_{1}^{'}
[/mm]
[mm] x_{5}=y_{2}^{'}
[/mm]
[mm] x_{6}=y_{3}^{'}
[/mm]
sind meine anfangszustände. dann komme ich auf die dgl's :
1. [mm] x^{'}=\vektor{x_{4} \\ -1-t-x_{2}-x_{3}}
[/mm]
2. [mm] x^{'}=\vektor{x_{5} \\ -0.75t-x_{3}-x_{1}}
[/mm]
3. [mm] x^{'}=\vektor{x_{6} \\ x_{4}+x_{5}}
[/mm]
nun weiß ich nicht wie ich daraus eine matrix mache bzw welche positionen der matrix dadurch belegt werden.
gruß
Mathe_001
|
|
| |
|
Hallo Mathe_001,
> Transformieren Sie folgendes Anfangswertproblem in ein
> System autonomer Differentialgleichungen 1. Ordnung.
> Stellen Sie das System anschließend in der Form [mm]x^{'}=[/mm]
> Ax+b dar.
>
> [mm]y_{1}^{''}+y_{2}+y_{3}+t=-1[/mm]
> [mm]y_{1}+y_{2}^{''}+y_{3}+0.75t=0[/mm]
> [mm]-y_{1}^{'}-y_{2}^{'}+y_{3}^{''}=0[/mm]
> Hallo zusammen,
>
> ich habe ein problem bei der aufg. wenn ich die dgl's
> einzeln betrachtet in abhängigkeit der neuen zustände
> ausdrücke, dann hab ich 3 gleichungen 1.ordnung. jetzt ist
> meine frage wie fasse ich diese in einer großen matrix
> zusammen. ist der ansatz schon falsch?
>
> [mm]x_{1}=y_{1}[/mm]
> [mm]x_{2}=y_{2}[/mm]
> [mm]x_{3}=y_{3}[/mm]
> [mm]x_{4}=y_{1}^{'}[/mm]
> [mm]x_{5}=y_{2}^{'}[/mm]
> [mm]x_{6}=y_{3}^{'}[/mm]
>
> sind meine anfangszustände. dann komme ich auf die dgl's
> :
>
> 1. [mm]x^{'}=\vektor{x_{4} \\ -1-t-x_{2}-x_{3}}[/mm]
Hier hast Du doch stehen:
[mm]\blue{\pmat{x_{1}' \\ x_{4}'}}=\vektor{x_{4} \\ -1-t-x_{2}-x_{3}}[/mm]
> 2.
> [mm]x^{'}=\vektor{x_{5} \\ -0.75t-x_{3}-x_{1}}[/mm]
Analog hier:
[mm]\blue{\pmat{x_{2}' \\ x_{5}'}}=\vektor{x_{5} \\ -0.75t-x_{3}-x_{1}}[/mm]
> 3.
> [mm]x^{'}=\vektor{x_{6} \\ x_{4}+x_{5}}[/mm]
>
Und auch hier:
[mm]\blue{\pmat{x_{3}' \\ x_{6}'}}=\vektor{x_{6} \\ x_{4}+x_{5}}[/mm]
Ausgeschrieben bedeutet das:
[mm]x_{1}'=x_{4}[/mm]
[mm]x_{2}'=x_{5}[/mm]
[mm]x_{3}'=x_{6}[/mm]
[mm]x_{4}'=-1-t-x_{2}-x_{3}[/mm]
[mm]x_{5}'=-0.75t-x_{1}-x_{3}[/mm]
[mm]x_{6}'= x_{4}+x_{5}[/mm]
Das kannst Du in der Form [mm]x'=Ax+b[/mm] schreiben,
wobei [mm]x=\pmat{x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ x_{4} \\ x_{5} \\ x_{6}} \in \IR^{6}[/mm]
sowie A eine konstante 6x6-Matrix und
b ein von t abhängiger Vektor des [mm]\IR^{6}[/mm] ist.
> nun weiß ich nicht wie ich daraus eine matrix mache bzw
> welche positionen der matrix dadurch belegt werden.
>
> gruß
>
> Mathe_001
>
Gruss
MathePower
|
|
|
|
