Transformation Integral < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:49 Do 29.11.2012 | | Autor: | sissile |
| Aufgabe | Man berechne
[mm] \int_K x^2 [/mm] y d(x,y),
K= [mm] \{ (x,y) \in \IR^2 : x^2 \le y^ \le 3x^2 , 2 \le xy \le 3 \}
[/mm]
und den Flächeninhalt von K.
Hinweis: Transformation auf ein Rechteck |
Hallo,
ich verstehe nicht wie eine Transformation auf ein Rechteck aussehen soll...Sind Polar-, Kugel-, oder Zylinderkoordianten gemeint? Oder was ganz anderes.
Ich verstehe den Hinweis nicht.
Liebe Grüße
|
|
| |
|
Hallo sissile,
> Man berechne
> [mm]\int_K x^2[/mm] y d(x,y),
> K= [mm]\{ (x,y) \in \IR^2 : x^2 \le y^ \le 3x^2 , 2 \le xy \le 3 \}[/mm]
>
> und den Flächeninhalt von K.
> Hinweis: Transformation auf ein Rechteck
> Hallo,
> ich verstehe nicht wie eine Transformation auf ein
> Rechteck aussehen soll...Sind Polar-, Kugel-, oder
> Zylinderkoordianten gemeint? Oder was ganz anderes.
> Ich verstehe den Hinweis nicht.
>
Die Ungleichungen lassen nur eine Transformation zu:
[mm]u=\bruch{y}{x^{2}}, \ 1 \le u \le 3[/mm]
[mm]v=x*y, \ 2 \le v \le 3[/mm]
Jetzt muss Du allerdings das Flächenelement d(x,y) noch transformieren.
> Liebe Grüße
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:18 Do 29.11.2012 | | Autor: | sissile |
> Hallo sissile,
>
> > Man berechne
> > [mm]\int_K x^2[/mm] y d(x,y),
> > K= [mm]\{ (x,y) \in \IR^2 : x^2 \le y^ \le 3x^2 , 2 \le xy \le 3 \}[/mm]
>
> >
> > und den Flächeninhalt von K.
> > Hinweis: Transformation auf ein Rechteck
> > Hallo,
> > ich verstehe nicht wie eine Transformation auf ein
> > Rechteck aussehen soll...Sind Polar-, Kugel-, oder
> > Zylinderkoordianten gemeint? Oder was ganz anderes.
> > Ich verstehe den Hinweis nicht.
> >
>
>
> Die Ungleichungen lassen nur eine Transformation zu:
>
> [mm]u=\bruch{y}{x^{2}}, \ 1 \le u \le 3[/mm]
>
> [mm]v=x*y, \ 2 \le v \le 3[/mm]
>
>
> Jetzt muss Du allerdings das Flächenelement d(x,y) noch
> transformieren.
Danke.
Ja das ist klar
d (x,y) = [mm] \frac{-3y}{x^2} [/mm] d(u,v)
Oder schreibt man das anderes an?.
Aufjedenfall ist [mm] \frac{-3y}{x^2} [/mm] die determinante der Jacobimatrix.
Du hast ja nun als integrand den Term: [mm] x^2 [/mm] y | [mm] \frac{-3y}{x^2}| [/mm]
Wie ersetzt du denn nun in v und u so dass kein x und y mehr überigbleibt?
|
|
|
| |
|
Hallo sissile,
> > Hallo sissile,
> >
> > > Man berechne
> > > [mm]\int_K x^2[/mm] y d(x,y),
> > > K= [mm]\{ (x,y) \in \IR^2 : x^2 \le y^ \le 3x^2 , 2 \le xy \le 3 \}[/mm]
>
> >
> > >
> > > und den Flächeninhalt von K.
> > > Hinweis: Transformation auf ein Rechteck
> > > Hallo,
> > > ich verstehe nicht wie eine Transformation auf ein
> > > Rechteck aussehen soll...Sind Polar-, Kugel-, oder
> > > Zylinderkoordianten gemeint? Oder was ganz anderes.
> > > Ich verstehe den Hinweis nicht.
> > >
> >
> >
> > Die Ungleichungen lassen nur eine Transformation zu:
> >
> > [mm]u=\bruch{y}{x^{2}}, \ 1 \le u \le 3[/mm]
> >
> > [mm]v=x*y, \ 2 \le v \le 3[/mm]
> >
> >
> > Jetzt muss Du allerdings das Flächenelement d(x,y) noch
> > transformieren.
> Danke.
> Ja das ist klar
> d (x,y) = [mm]\frac{-3y}{x^2}[/mm] d(u,v)
Das muss doch [mm]d (x,y) = -\frac{x^{2}}{3y} \ d(u,v)[/mm] lauten.
> Oder schreibt man das anderes an?.
Der Ausdruck [mm]\bruch{-3y}{x^{2}}[/mm] muß in u und v ausgedrückt werden.
> Aufjedenfall ist [mm]\frac{-3y}{x^2}[/mm] die determinante der
> Jacobimatrix.
> Du hast ja nun als integrand den Term: [mm]x^2[/mm] y |
> [mm]\frac{-3y}{x^2}|[/mm]
> Wie ersetzt du denn nun in v und u so dass kein x und y
> mehr überigbleibt?
>
Löse
[mm]u=\bruch{y}{x^{2}}, \ v=x*y[/mm]
nach x und y auf.
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:16 Do 29.11.2012 | | Autor: | sissile |
> Das muss doch d (x,y) = [mm] -\frac{x^2}{3y} [/mm] d(u,v) lauten.
Warum?
[mm] \phi= \vektor{y/x^2 \\ xy}
[/mm]
D [mm] \phi =\pmat{ - 2 y/x^3 & 1/x^2\\ y& x }
[/mm]
det (D [mm] \phi) [/mm] = - [mm] \frac{3y}{x^2}
[/mm]
Muss ich dann nicht beim transfomrieren den betrag davon nehmen .
also | [mm] -\frac{3y}{x^2}| [/mm] = [mm] \frac{3y}{x^2}
[/mm]
da [mm] x^2 [/mm] pos. und y zwischen pos werten eingeschlossen ist [mm] (x^2 \le [/mm] y [mm] \le 3x^2)
[/mm]
> $ [mm] u=\bruch{y}{x^{2}}, [/mm] \ [mm] v=x\cdot{}y [/mm] $
> nach x und y auf.
u = [mm] y/x^2 [/mm] <=> y= u [mm] x^2
[/mm]
v= xy <=> v = x u [mm] x^2 [/mm] <=> v= [mm] x^3 [/mm] u <=> [mm] \wurzel[3]{v/u }= [/mm] x
Also y = u * [mm] (\wurzel[3]{v/u })^2 [/mm] = u [mm] \wurzel{v/u}
[/mm]
|
|
|
| |
|
Hallo sissile,
> > Das muss doch d (x,y) = [mm]-\frac{x^2}{3y}[/mm] d(u,v) lauten.
> Warum?
Hier ist nicht [mm]x=x\left(u,v\right), \ y=y\left(u,v\right)[/mm] gegeben,
sondern [mm]u=u\left(x,y\right), \ v=v\left(x,y\right)[/mm]
Und für die Jacobi-Matrix benötigst Du [mm]x=x\left(u,v\right), \ y=y\left(u,v\right)[/mm].
> [mm]\phi= \vektor{y/x^2 \\ xy}[/mm]
> D [mm]\phi =\pmat{ - 2 y/x^3 & 1/x^2\\ y& x }[/mm]
>
> det (D [mm]\phi)[/mm] = - [mm]\frac{3y}{x^2}[/mm]
>
> Muss ich dann nicht beim transfomrieren den betrag davon
> nehmen .
> also | [mm]-\frac{3y}{x^2}|[/mm] = [mm]\frac{3y}{x^2}[/mm]
> da [mm]x^2[/mm] pos. und y zwischen pos werten eingeschlossen ist
> [mm](x^2 \le[/mm] y [mm]\le 3x^2)[/mm]
>
Ja, beim Transformieren ist der Betrag zu nehmen.
> > [mm]u=\bruch{y}{x^{2}}, \ v=x\cdot{}y[/mm]
>
> > nach x und y auf.
> u = [mm]y/x^2[/mm] <=> y= u [mm]x^2[/mm]
> v= xy <=> v = x u [mm]x^2[/mm] <=> v= [mm]x^3[/mm] u <=> [mm]\wurzel[3]{v/u }=[/mm]
> x
> Also y = u * [mm](\wurzel[3]{v/u })^2[/mm] = u [mm]\wurzel{v/u}[/mm]
Der Ausdruck nach dem letzten Gleichheitszeichen stimmt nicht.
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:48 Do 29.11.2012 | | Autor: | sissile |
Ah okay. Ich bin in den gebiet noch nicht so bewandert... Hab das erst gelernt.
Also heißt die Transformation: d(x,y) = [mm] |-\frac{x^2}{3y} [/mm] | d(u,v) <=> d(x,y) = [mm] \frac{x^2}{3y} [/mm] d(u,v)
x= [mm] (v/u)^{1/3}
[/mm]
y= u [mm] (v/u)^{2/3}
[/mm]
[mm] \int_K x^2 [/mm] y d(x,y) = [mm] \int_2^3 \int_1^3 (\frac{v}{u})^{\frac{2}{3}} [/mm] u [mm] (\frac{v}{u})^{\frac{2}{3}} [/mm] * [mm] \frac{1}{3u} [/mm] du dv = [mm] \frac{1}{3}\int_2^3 \int_1^3 (\frac{v}{u})^{\frac{4}{3}} [/mm] du dv
Oder am weg vorbei?
LG
|
|
|
| |
|
Hallo sissile,
> Ah okay. Ich bin in den gebiet noch nicht so bewandert...
> Hab das erst gelernt.
> Also heißt die Transformation: d(x,y) = [mm]|-\frac{x^2}{3y}[/mm]
> | d(u,v) <=> d(x,y) = [mm]\frac{x^2}{3y}[/mm] d(u,v)
>
> x= [mm](v/u)^{1/3}[/mm]
> y= u [mm](v/u)^{2/3}[/mm]
>
> [mm]\int_K x^2[/mm] y d(x,y) = [mm]\int_2^3 \int_1^3 (\frac{v}{u})^{\frac{2}{3}}[/mm]
> u [mm](\frac{v}{u})^{\frac{2}{3}}[/mm] * [mm]\frac{1}{3u}[/mm] du dv =
> [mm]\frac{1}{3}\int_2^3 \int_1^3 (\frac{v}{u})^{\frac{4}{3}}[/mm]
> du dv
> Oder am weg vorbei?
Nein, da bist Du auf dem richtigen Weg.
> LG
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:36 Do 29.11.2012 | | Autor: | sissile |
Gut ;)
Ich erhalte dann
[mm] \frac{7*(3^{7/3} + 3^{-1/3} -1 - 3^2}{27}
[/mm]
|
|
|
| |
|
Hallo sissile,
> Gut ;)
> Ich erhalte dann
> [mm]\frac{7*(3^{7/3} + 3^{-1/3} -1 - 3^2}{27}[/mm]
Da hab ich etwas anderes.
Gruss
MathePower
|
|
|
|
