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| Aufgabe | Berechnen Sie:
wobei [mm]\integral_{M}{z^2\wurzel{x^2+y^2}d\lambda (x,y,z)}[/mm]
[mm]M:=\{(y,x,z):x^2+x^2+z^2\leq4, z^2\leq x^2+y^2\}
[/mm] |
Hallo,
Bei der Aufgabe habe ich Probleme den Integrationsbereich der Kugel einzugrenzen.
Erst mal will ich den Inhalt der Kugel bestimmen dazu verwende ich die Transformationsformel. Also bekomme ich
[mm]\integral_{M}{z^2\wurzel{x^2+y^2}d\lambda (x,y,z)} = \int_{0}^{2} \int_{0}^{\pi} \int_{0}^{2\pi} (r^2 cos(v)^2+\wurzel{r^2sin(v)^2cos(\varphi)^2+r^2sin(v)^2sin(\varphi)^2})r^2sin(v) d\varphi dv dr [/mm]
Jedoch weis ich nich wie ich die zweite Bedingung mit da rein fließen lassen kann.
Über Hilfe würde ich mich sehr freuen.
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Hallo barnly_gumbel2003,
> Berechnen Sie:
> wobei [mm]\integral_{M}{z^2\wurzel{x^2+y^2}d\lambda (x,y,z)}[/mm]
>
> [mm]M:=\{(y,x,z):x^2+x^2+z^2\leq4, z^2\leq x^2+y^2\}
[/mm]
>
> Hallo,
> Bei der Aufgabe habe ich Probleme den Integrationsbereich
> der Kugel einzugrenzen.
> Erst mal will ich den Inhalt der Kugel bestimmen dazu
> verwende ich die Transformationsformel. Also bekomme ich
> [mm]\integral_{M}{z^2\wurzel{x^2+y^2}d\lambda (x,y,z)} = \int_{0}^{2} \int_{0}^{\pi} \int_{0}^{2\pi} (r^2 cos(v)^2+\wurzel{r^2sin(v)^2cos(\varphi)^2+r^2sin(v)^2sin(\varphi)^2})r^2sin(v) d\varphi dv dr[/mm]
Statt dem "+" muß ein "*" stehen:
[mm]\int_{0}^{2} \int_{0}^{\pi} \int_{0}^{2\pi} (r^2 cos(v)^2\blue{*}\wurzel{r^2sin(v)^2cos(\varphi)^2+r^2sin(v)^2sin(\varphi)^2})r^2sin(v) d\varphi dv dr[/mm]
>
> Jedoch weis ich nich wie ich die zweite Bedingung mit da
> rein fließen lassen kann.
Die zweite Bedinung
[mm]z^{2}\leq x^{2}+y^{2}[/mm]
bestimmt die Grenzen für v.
> Über Hilfe würde ich mich sehr freuen.
>
Gruss
MathePower
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Danke fürs Berichtigen wie kann ich durch zweite Bedingung die Grenzen für v berechnen?
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Hallo barney_gumbel2003,
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> Danke fürs Berichtigen wie kann ich durch zweite Bedingung
> die Grenzen für v berechnen?
>
Indem Du die Menge derjenigen v bestimmst,
die die zweite Bedingung erfüllen.
Poste dazu Deine bisherigen Rechenschritte,
dann können wir schauen, an welcher Stelle es klemmt.
Gruss
MathePower
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Ich würde gerne erste Schritte posten aber ich weis nicht was ich machen muss,ich hab mir schon gedacht dass ich transformiere also [mm]z^2\leq x^2+y^2\gdw (r cos(\varphi))^2\leq (r sin(v)cos(\varphi))^2+(r sin(v)cos(\varphi))^2 [/mm] aber damit kann ich dann auch nicht wirklich weiter arbeiten...
Ich wäre für einen Denkanstoß dankbar.
Danke im vorraus ;)
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Hallo barney_gumbel2003,
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> Ich würde gerne erste Schritte posten aber ich weis nicht
> was ich machen muss,ich hab mir schon gedacht dass ich
> transformiere also [mm]z^2\leq x^2+y^2\gdw (r cos(\varphi))^2\leq (r sin(v)cos(\varphi))^2+(r sin(v)cos(\varphi))^2[/mm]
Hier muss doch stehen:
[mm](\ r cos(\blue{v}) \ )^2\leq (\ r sin(v)cos(\varphi) \ )^2+( \ r sin(v)\blue{sin}(\varphi) \ )^2[/mm]
Dann kannst Du die rechte Seite mit Hilfe
des trigonometrischen Pythagoras zusammenfassen.
Alles auf eine Seite bringen,
und ein bestimmtes Additionstheorem anwenden.
> aber damit kann ich dann auch nicht wirklich weiter
> arbeiten...
>
> Ich wäre für einen Denkanstoß dankbar.
> Danke im vorraus ;)
>
Gruss
MathePower
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Hallo danke für die Hilfe ich habe jetzt:
[mm]
(\ r cos({v}) \ )^2\leq (\ r sin(v)cos(\varphi) \ )^2+( \ r sin(v){sin}(\varphi) \ )^2 \gdw
(r cos({v}) ) ^2 \leq r^2 sin^2(v) *(cos^2(\varphi)+sin^2(\varphi)) \gdw (r cos({v}) ) ^2 \leq r^2 sin^2(v)[/mm]
[mm]\gdw r^2 (cos^2({v})-sin^2(v)) \leq 0 \gdw r^2 cos(2v) \leq 0[/mm]
also folgt hieraus dass [mm]v\epsilon [\bruch{\pi}{4},\bruch{3\pi}{4}][/mm] ??
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Hallo barney_gumbel2003,
> Hallo danke für die Hilfe ich habe jetzt:
>
> [mm]
(\ r cos({v}) \ )^2\leq (\ r sin(v)cos(\varphi) \ )^2+( \ r sin(v){sin}(\varphi) \ )^2 \gdw
(r cos({v}) ) ^2 \leq r^2 sin^2(v) *(cos^2(\varphi)+sin^2(\varphi)) \gdw (r cos({v}) ) ^2 \leq r^2 sin^2(v)[/mm]
>
> [mm]\gdw r^2 (cos^2({v})-sin^2(v)) \leq 0 \gdw r^2 cos(2v) \leq 0[/mm]
>
> also folgt hieraus dass [mm]v\epsilon [\bruch{\pi}{4},\bruch{3\pi}{4}][/mm]
> ??
>
Ja, falls [mm]0 \leq v \leq \pi[/mm].
Gruss
MathePower
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