Transformation von W-Räumen < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:10 Do 02.05.2013 | | Autor: | sissile |
| Aufgabe | Allgemeine Wahrscheinlichkeits- Räume
Satz:
Die Abbildung [mm] \overline{P} [/mm] : [mm] \mathcal{\overline{A}} [/mm] -> [0,1] definiert durch [mm] \overline{P}(A)= P(\phi^{-1} [/mm] (A)), A [mm] \in \mathcal{\overline{A}} [/mm] ist ein W-Maß auf auf [mm] (\overline{\Omega},\mathcal{\overline{A}}) [/mm] . [mm] \overline{P} [/mm] heißt Verteilung von [mm] \phi [/mm] unter P
Wir hatten nun ein Bsp wo wir den Satz angewendet haben( unabhängige 0-1 Folge mit Erfolgsparameter 1/2)
[mm] (\Omega, \mathcal{A}, [/mm] P)= ([0,1), Borelmenge([0,1)), Lebesgue-Maß)
[mm] \overline{\Omega}= \{0,1\}^{\IN}
[/mm]
A wurde als Zylindermenge definiert, wenn A die Form:
A= [mm] \{ \omega =(\omega_1 ,\omega_2 ,..): \omega_i= x_i \forall i \in I\}, [/mm] wobei I endlich, [mm] x_i \in \{0,1\}
[/mm]
Und [mm] \mathcal{\overline{A}} [/mm] = [mm] \sigma(Zylindermenge) [/mm] die kleinste [mm] \sigma-Algebra [/mm] die alle Zylindermengen enthält.
(*)
Wir definieren jetzt [mm] \phi [/mm] : [mm] \Omega [/mm] -> [mm] \overline{\Omega} [/mm] durch die binäre Darstellung:
[mm] \phi(\omega)= (\phi_1 (\omega), \phi_2 (\omega),..)
[/mm]
wobei [mm] \phi_k (\omega)= \begin{cases} 0, & \mbox{für } \omega \in \bigcup_{i=0}^{2^{k-1}-1} [i 2^{-k+1},i 2^{-k+1} + 2^{-k}] \\ 1, & \mbox{sonst } \end{cases} [/mm] (**)
Dann haben wir gezeigt, dass [mm] \phi [/mm] messbar ist (Beweis war mir klar)
Sei [mm] X_i (\omega)= \omega_i, \omega= (\omega_1 [/mm] , [mm] \omega_2 [/mm] ,..), [mm] x_i \in \{0,1\}, [/mm] I endlich
[mm] \overline{P}(X_i=x_i \forall [/mm] i [mm] \in [/mm] I)= [mm] \overline{P} (\{ \omega \in \overline{\omega} : \omega_i = x_i \forall i \in I \} [/mm] = [mm] P(\{ y \in \Omega: \phi_i (y)=x_i \forall i \in I\})= 2^{-|I|} [/mm] = [mm] \prod_{i\in I} P[X_i=x_i]
[/mm]
(***) |
Hallo,
Wenn mal wer lust hat sich mit dem Thema zu beschäftigen, würd ich mich freuen wenn er/sie meine Fragen dazu beantworten könnte.
LG
(*)FRAGE1: Wieso sind die Zylindermengen durchschnittstabil? Denn dass
war eine vorrausetzung für die Konstruktion.
(**) FRAGE 2:
Was soll diese Konstruktion von [mm] \phi_k. [/mm] Ich verstehe nicht was diese soll mit den Zweierpotenzen? Ich habe mir schon [mm] \phi_1 [/mm] und [mm] \phi_2 [/mm] aufgezeichnet, aber was ist der sinn hinter [mm] \phi(\omega)=(\phi_1 (\omega), \phi_2 (\omega),..)
[/mm]
(***) FRAGE 3:
Wie kommt man auf die zweierPotenz:
[mm] P(\{ y \in \Omega: \phi_i (y)=x_i \forall i \in I\})= 2^{-|I|} [/mm]
und auf
[mm] 2^{-|I|} [/mm] = [mm] \prod_{i\in I} P[X_i=x_i]
[/mm]
??
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:26 Fr 03.05.2013 | | Autor: | tobit09 |
Hallo sissile,
> (*)FRAGE1: Wieso sind die Zylindermengen
> durchschnittstabil? Denn dass
> war eine vorrausetzung für die Konstruktion.
Wofür benötigst du das?
Die Zylindermengen, wie ihr sie definiert habt, sind nicht durchschnittsstabil. Nimmt man jedoch die leere Menge als Zylindermenge hinzu, werden die Zylindermengen durchschnittsstabil.
> $ [mm] \phi_k (\omega)= \begin{cases} 0, & \mbox{für } \omega \in \bigcup_{i=0}^{2^{k-1}-1} [i 2^{-k+1},i 2^{-k+1} + 2^{-k}] \\ 1, & \mbox{sonst } \end{cases} [/mm] $
Ich nehme mal an, es soll $[i [mm] 2^{-k+1},i 2^{-k+1} [/mm] + [mm] 2^{-k})$ [/mm] statt $[i [mm] 2^{-k+1},i 2^{-k+1} [/mm] + [mm] 2^{-k}]$ [/mm] heißen?
> (**) FRAGE 2:
> Was soll diese Konstruktion von [mm]\phi_k.[/mm] Ich verstehe nicht
> was diese soll mit den Zweierpotenzen? Ich habe mir schon
> [mm]\phi_1[/mm] und [mm]\phi_2[/mm] aufgezeichnet, aber was ist der sinn
> hinter [mm]\phi(\omega)=(\phi_1 (\omega), \phi_2 (\omega),..)[/mm]
Der Sinn der gesamten Konstruktion ist ja, eine stochastisch unabhängige Folge auf [mm] $\{0,1\}$ [/mm] Laplace-verteilter Zufallsgrößen zu konstruieren.
Vielleicht zeichnest du dir auch die Intervalle aus der Definition von [mm] $\phi_3$ [/mm] einmal auf? Daran erkennt man vielleicht besser als bei [mm] $\phi_1$ [/mm] und [mm] $\phi_2$, [/mm] welche Intervalle betrachtet werden.
Für jedes [mm] $k\in\IN$ [/mm] bilden die Intervalle
[mm] $I_i^k:=[i2^{-k},i2^{-k}+2^{-k})$ [/mm] für [mm] $i=0,\ldots,2^k-1$
[/mm]
eine disjunkte Zerlegung von $[0,1)$ in [mm] $2^k$ [/mm] Teilintervalle der Länge [mm] $2^{-k}$.
[/mm]
Es gilt
[mm] $\phi_k(\omega)=\begin{cases}0, & \mbox{für } \omega \in \bigcup_{i=0}^{2^{-k}-1}I_{2i}^k\\1, & \mbox{für } \omega \in \bigcup_{i=0}^{2^{-k}-1}I_{2i+1}^k\\\end{cases}$.
[/mm]
Um [mm] $\phi_k(\omega)$ [/mm] zu bestimmen, betrachtet man also, in welchem der [mm] $2^k$ [/mm] vielen Teilintervalle [mm] $\omega$ [/mm] liegt (etwa [mm] $\omega\in I_i^k$) [/mm] und ordnet [mm] $\omega$ [/mm] dann eine $0$ oder $1$ zu, je nachdem ob $i$ gerade oder ungerade ist.
> (***) FRAGE 3:
> Wie kommt man auf die zweierPotenz:
> [mm]P(\{ y \in \Omega: \phi_i (y)=x_i \forall i \in I\})= 2^{-|I|}[/mm]
> und auf
> [mm]2^{-|I|}[/mm] = [mm]\prod_{i\in I} P[X_i=x_i][/mm]
Sei [mm] $n\in\IN$ [/mm] mit [mm] $n\ge [/mm] i$ für alle [mm] $n\in [/mm] I$ (z.B. [mm] $n=\max [/mm] I$ im Falle [mm] $I\not=\emptyset$). [/mm] Man kann sich dann (mit etwas Aufwand induktiv) überlegen, dass
[mm] $\{ y \in \Omega: \phi_i (y)=x_i \forall i \in I\}=\bigcup_{j\in J}I_j^n$
[/mm]
für eine [mm] $\bruch{2^n}{2^{|I|}}$-elementige [/mm] Teilmenge [mm] $J\subseteq\{0,\ldots,2^{-n}\}$ [/mm] gilt.
Die Menge, deren Wahrscheinlichkeit wir suchen, ist also die (disjunkte) Vereinigung von [mm] $\bruch{2^n}{2^{|I|}}$ [/mm] der [mm] $2^n$ [/mm] Teilintervalle der Länge [mm] $2^{-n}$.
[/mm]
Viele Grüße
Tobias
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