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Transformations-Gleichung: Transformation
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:52 Mo 04.02.2013
Autor: StiflersMom

Aufgabe
Beweisen Sie mit Hilfe des Transformationssatzes die folgende Formel:

[mm] \integral_{\{(x_{1}, x_{2}) \in \IR^2 | 0 < x_{1} - x_{2} < 1, 0 < x_{1} + x_{2} < 1 \}}^{}{(x_{1} + x_{2})^2 dx} [/mm] = [mm] \integral_{(0, 1)^2 }^{}{2y_{1}^2 dy} [/mm]

Meine Frage:

Wie komme ich auf den Faktor 2 im rechten Integral?

Ich bin bis jetzt so vorgegangen:

[mm] \phi: (0,1)^2 \to \IR^2 [/mm]
[mm] \phi(x_{1}, x_{2}) [/mm] := 1/2 * [mm] \vektor{x_{1} + x_{2} \\ x_{1} - x_{2}} [/mm]
habe ich mir als Transformationsabbildung gewählt.

Ich habe gezeigt, dass [mm] \phi [/mm] ein Diffeomorphismus ist und die Menge unter dem linken Integral gerade das Bild von [mm] \phi [/mm] unter (0, [mm] 1)^2 [/mm] ist.

Jetzt betrachte ich [mm] D\phi(x_{1}, x_{2}) [/mm] = [mm] \pmat{ 1/2 & 1/2 \\ 1/2 & - 1/2 } [/mm]

|det [mm] D\phi| [/mm] = 1/2

Damit sollte ich 1/2 statt 2 als Faktor im rechten Integral bekommen, was meint ihr?

Wäre für eine Antwort sehr dankbar!


Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.


        
Bezug
Transformations-Gleichung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:08 Mo 04.02.2013
Autor: MathePower

Hallo StiftlersMom,

> Beweisen Sie mit Hilfe des Transformationssatzes die
> folgende Formel:
>  
> [mm]\integral_{\{(x_{1}, x_{2}) \in \IR^2 | 0 < x_{1} - x_{2} < 1, 0 < x_{1} + x_{2} < 1 \}}^{}{(x_{1} + x_{2})^2 dx}[/mm]
> = [mm]\integral_{(0, 1)^2 }^{}{2y_{1}^2 dy}[/mm]
>  Meine Frage:
>  
> Wie komme ich auf den Faktor 2 im rechten Integral?
>  
> Ich bin bis jetzt so vorgegangen:
>  
> [mm]\phi: (0,1)^2 \to \IR^2[/mm]
>  [mm]\phi(x_{1}, x_{2})[/mm] := 1/2 *
> [mm]\vektor{x_{1} + x_{2} \\ x_{1} - x_{2}}[/mm]
>  habe ich mir als
> Transformationsabbildung gewählt.
>  
> Ich habe gezeigt, dass [mm]\phi[/mm] ein Diffeomorphismus ist und
> die Menge unter dem linken Integral gerade das Bild von
> [mm]\phi[/mm] unter (0, [mm]1)^2[/mm] ist.
>  
> Jetzt betrachte ich [mm]D\phi(x_{1}, x_{2})[/mm] = [mm]\pmat{ 1/2 & 1/2 \\ 1/2 & - 1/2 }[/mm]
>  
> |det [mm]D\phi|[/mm] = 1/2
>  
> Damit sollte ich 1/2 statt 2 als Faktor im rechten Integral
> bekommen, was meint ihr?
>  


Du hast doch:

[mm]y_{1}=\bruch{1}{2}*\left(x_{1}+x_{2}\right)[/mm]

[mm]y_{2}=\bruch{1}{2}*\left(x_{1}-x_{2}\right)[/mm]

[mm]x_{1}, \ x_{2}[/mm] sind Funktionen von [mm]y_{1}, \ y_{2}[/mm].

Damit ist [mm]\pmat{\bruch{\partial x_{1}}{\partial y_{1}} & \bruch{\partial x_{1}}{\partial y_{2}} \\ \bruch{\partial x_{2}}{\partial y_{1}} & \bruch{\partial x_{2}}{\partial y_{2}}}[/mm] zu berechnen.


> Wäre für eine Antwort sehr dankbar!
>  
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.

>


Gruss
MathePower  

Bezug
                
Bezug
Transformations-Gleichung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:13 Mo 04.02.2013
Autor: StiflersMom

Gerade kam eine Mail rum, dass die 1/2 stimmt und die 2 nicht. Hat sich also erledigt. Trotzdem vielen Dank für die schnelle Antwort! =)

Bezug
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