Transformationsmatrix Polynome < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:45 Mo 10.07.2006 | | Autor: | wisi |
| Aufgabe | Im linearen Raum [mm] \mathcal{P}_{2} [/mm] (Polynome 2-ten Grades) seien die Basen (a) 1, t, [mm] t^{2}
[/mm]
(b) 2 + t - [mm] t_{2}, [/mm] 2 - t + [mm] 2t^{2}, [/mm] 3 + [mm] t^{2} [/mm] gegeben. Geben Sie die Transformationsmatrizen (a) [mm] \to [/mm] (b) und (b) [mm] \to [/mm] (a) und die Koordinaten des Polynoms p(t) = 1 + t + [mm] t^{2} [/mm] bzgl. der Basis (b) an. |
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Ich kann leider mit den Polynomen an dieser Stelle nichts anfangen, für "normale" Koordinaten im [mm] \IR^{3} [/mm] weiß ich wie ich die Transformationsmatrix berechne, aber bei den Polynomen weiß ich nicht einmal, wie ich anfangen soll.
Kann mir bitte jemand helfen und mir erklären, wie ich diese Transformationsmatrix erstelle?
Danke im vorraus.
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Bei Vektoren gehst du doch i.a. so vor, daß du jeden Basisvektor von (a) durch alle Basisvektoren von (b) ausdrückst. Du bekommst daduch eine Reihe von Vorfaktoren, die kommen in die Matrix.
Jetzt ist es genauso: du drückst jedes Basispolynom von (a) durch die von (b) aus:
$1=a(2 + t - [mm] t_{2})+b( [/mm] 2 - t + [mm] 2t^{2})+c( [/mm] 3 + [mm] t^{2}) [/mm] $
$t=d(2 + t - [mm] t_{2})+e( [/mm] 2 - t + [mm] 2t^{2})+f( [/mm] 3 + [mm] t^{2}) [/mm] $
[mm] $t^2=g(2 [/mm] + t - [mm] t_{2})+h( [/mm] 2 - t + [mm] 2t^{2})+i( [/mm] 3 + [mm] t^{2}) [/mm] $
Du mußt die Koeffizienten a...i bestimmen
Und das gegebene Polynom hat dann die Darstellung
$(a+d+g)(2 + t - [mm] t_{2})+(b+e+h)( [/mm] 2 - t + [mm] 2t^{2})+(c+f+i)( [/mm] 3 + [mm] t^{2}) [/mm] $
wobei du nur die Koeffizienten zusammenrechnest, die Polynome solltest du so stehen lassen, weil das ja die Basen sind.
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