Transformationsmatrizen JNF < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Bestimme Rationale und Jordansche Normalform für die folgende Matrix.
[mm] \begin{pmatrix}
0 & 0 & 4 & -1\\
4 & 3 & 0 & -4\\
0 & 0 & 3 & 0\\
1 & 0 & 4 & -2
\end{pmatrix}
[/mm]
Bestimme eine Matrix, sodass S*A*S^-1 Jordansche Normalform besitzt. |
Mit der rationalen und Jondanschen Normalform hab ich kein Problem. Ich komm nicht ganz mit den Transformationsmatrizen klar. Also als JNF ergibt sich (bin mir ziemlich sicher):
[mm] \begin{pmatrix}
3 & 0 & 0 & 0\\
0 & 3 & 0 & 0\\
0 & 0 & -1 & 0\\
0 & 0 & 1 & -1
\end{pmatrix}
[/mm]
Und ja wir haben in unserer Vorlesung die JNF mit 1en auf der unteren Nebendiagonalen definiert ;D
Mein Vorgehen:
Ich bestimme zu jedem Jordankästchen und den dazu gehörigen Eigenwerten die jeweiligen Eigenräume und bastle eine Basis daraus.
Zum eigenwert [mm] \lambda_1=-1
[/mm]
Der Eigenraum ist der Kern(A+E1)=L((A+E)x=0)
Ich betrachte also das LGS:
[mm] \begin{pmatrix}
1 & 0 & 4 & -1\\
4 & 4 & 0 & -4\\
0 & 0 & 4 & 0\\
1 & 0 & 4 & -1
\end{pmatrix}x=0
[/mm]
Da das Jordankästchen 2x2 ist muss die Dim des Kerns 2 sein. Also ergibt sich als Lösung eine Linearkombination 2er Vektoren. Als 1. Vektor wähle ich
[mm] V_1=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}
[/mm]
und da hakts auch schon, weil die Lösung des LGS nur der eine Vektor und seine Skalaren Vielfachen wären.
Aber grundsätzlich ist mein Ansatz schon ok? Ich steh bei der Aufgabe grad etwas auf dem Schlauch.
Danke! Schonmal für Potentielle Hilfe ;D
Ich habe diese Frage auf keinen anderen Internetseiten oä. gestellt.
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Hallo xxgenisxx,
> Bestimme Rationale und Jordansche Normalform für die
> folgende Matrix.
> [mm]\begin{pmatrix}
0 & 0 & 4 & -1\\
4 & 3 & 0 & -4\\
0 & 0 & 3 & 0\\
1 & 0 & 4 & -2
\end{pmatrix}[/mm]
>
> Bestimme eine Matrix, sodass S*A*S^-1 Jordansche Normalform
> besitzt.
> Mit der rationalen und Jondanschen Normalform hab ich kein
> Problem. Ich komm nicht ganz mit den
> Transformationsmatrizen klar. Also als JNF ergibt sich (bin
> mir ziemlich sicher):
> [mm]\begin{pmatrix}
3 & 0 & 0 & 0\\
0 & 3 & 0 & 0\\
0 & 0 & -1 & 0\\
0 & 0 & 1 & -1
\end{pmatrix}[/mm]
>
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Und ja wir haben in unserer Vorlesung die JNF mit 1en auf
> der unteren Nebendiagonalen definiert ;D
>
> Mein Vorgehen:
>
> Ich bestimme zu jedem Jordankästchen und den dazu
> gehörigen Eigenwerten die jeweiligen Eigenräume und
> bastle eine Basis daraus.
>
> Zum eigenwert [mm]\lambda_1=-1[/mm]
>
> Der Eigenraum ist der Kern(A+E1)=L((A+E)x=0)
> Ich betrachte also das LGS:
> [mm]\begin{pmatrix}
1 & 0 & 4 & -1\\
4 & 4 & 0 & -4\\
0 & 0 & 4 & 0\\
1 & 0 & 4 & -1
\end{pmatrix}x=0[/mm]
>
> Da das Jordankästchen 2x2 ist muss die Dim des Kerns 2
> sein. Also ergibt sich als Lösung eine Linearkombination
> 2er Vektoren. Als 1. Vektor wähle ich
> [mm]V_1=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}[/mm]
> und da
> hakts auch schon, weil die Lösung des LGS nur der eine
> Vektor und seine Skalaren Vielfachen wären.
> Aber grundsätzlich ist mein Ansatz schon ok? Ich steh bei
> der Aufgabe grad etwas auf dem Schlauch.
Bestimme jetzt den Kern von [mm]\left(A+E1\right)^{2}[/mm]
Hieraus bestimmst Du einen Vektor, der durch die Matrix
[mm]A+E1[/mm] auf den erhaltenen Vektor abgebildet wird.
> Danke! Schonmal für Potentielle Hilfe ;D
>
> Ich habe diese Frage auf keinen anderen Internetseiten oä.
> gestellt.
Gruss
MathePower
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> Hallo xxgenisxx,
>
> > Bestimme Rationale und Jordansche Normalform für die
> > folgende Matrix.
> > [mm]\begin{pmatrix}
0 & 0 & 4 & -1\\
4 & 3 & 0 & -4\\
0 & 0 & 3 & 0\\
1 & 0 & 4 & -2
\end{pmatrix}[/mm]
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> >
> > Bestimme eine Matrix, sodass S*A*S^-1 Jordansche Normalform
> > besitzt.
> > Mit der rationalen und Jondanschen Normalform hab ich
> kein
> > Problem. Ich komm nicht ganz mit den
> > Transformationsmatrizen klar. Also als JNF ergibt sich (bin
> > mir ziemlich sicher):
> > [mm]\begin{pmatrix}
3 & 0 & 0 & 0\\
0 & 3 & 0 & 0\\
0 & 0 & -1 & 0\\
0 & 0 & 1 & -1
\end{pmatrix}[/mm]
>
> >
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> > Und ja wir haben in unserer Vorlesung die JNF mit 1en auf
> > der unteren Nebendiagonalen definiert ;D
> >
> > Mein Vorgehen:
> >
> > Ich bestimme zu jedem Jordankästchen und den dazu
> > gehörigen Eigenwerten die jeweiligen Eigenräume und
> > bastle eine Basis daraus.
> >
> > Zum eigenwert [mm]\lambda_1=-1[/mm]
> >
> > Der Eigenraum ist der Kern(A+E1)=L((A+E)x=0)
> > Ich betrachte also das LGS:
> > [mm]\begin{pmatrix}
1 & 0 & 4 & -1\\
4 & 4 & 0 & -4\\
0 & 0 & 4 & 0\\
1 & 0 & 4 & -1
\end{pmatrix}x=0[/mm]
>
> >
> > Da das Jordankästchen 2x2 ist muss die Dim des Kerns 2
> > sein. Also ergibt sich als Lösung eine Linearkombination
> > 2er Vektoren. Als 1. Vektor wähle ich
> > [mm]V_1=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}[/mm]
>
>
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> > und da
> > hakts auch schon, weil die Lösung des LGS nur der eine
> > Vektor und seine Skalaren Vielfachen wären.
> > Aber grundsätzlich ist mein Ansatz schon ok? Ich steh
> bei
> > der Aufgabe grad etwas auf dem Schlauch.
>
>
> Bestimme jetzt den Kern von [mm]\left(A+E1\right)^{2}[/mm]
>
> Hieraus bestimmst Du einen Vektor, der durch die Matrix
> [mm]A+E1[/mm] auf den erhaltenen Vektor abgebildet wird.
Hmm, ok ich berechne dann den Kern, der da wäre:
[mm] \begin{pmatrix}
0 & 0 & 16 & 0\\
16 & 16 & 0 & -16\\
0 & 0 & 16 & 0\\
0 & 0 & 16 & 0
\end{pmatrix}x=0
[/mm]
Die Lösungsmenge wäre hier eine Linearkombination als [mm] V_1 [/mm] wähle ich geschickter Weise den von Vorhin (1,0,0,1). Nun brache ich noch einen 2ten, der Linear unab. dazu ist um eine Basis zu bilden?
Also z.b. (1,1,0,2) der ist offensichtlich linear unabh., demnach müsste Lin((1,1,0,2),(1,0,0,1)) Eine Basis des Jordan Kästchens bilden? Wenn dann stimmt kann ich ja analog bei den beiden anderen Kästchen vorgehen und wäre glücklich, passt das so? :D
>
>
> > Danke! Schonmal für Potentielle Hilfe ;D
> >
> > Ich habe diese Frage auf keinen anderen Internetseiten oä.
> > gestellt.
>
>
> Gruss
> MathePower
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Hallo xxgenisxx,
> > Hallo xxgenisxx,
> >
> > > Bestimme Rationale und Jordansche Normalform für die
> > > folgende Matrix.
> > > [mm]\begin{pmatrix}
0 & 0 & 4 & -1\\
4 & 3 & 0 & -4\\
0 & 0 & 3 & 0\\
1 & 0 & 4 & -2
\end{pmatrix}[/mm]
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> > >
> > > Bestimme eine Matrix, sodass S*A*S^-1 Jordansche Normalform
> > > besitzt.
> > > Mit der rationalen und Jondanschen Normalform hab
> ich
> > kein
> > > Problem. Ich komm nicht ganz mit den
> > > Transformationsmatrizen klar. Also als JNF ergibt sich (bin
> > > mir ziemlich sicher):
> > > [mm]\begin{pmatrix}
3 & 0 & 0 & 0\\
0 & 3 & 0 & 0\\
0 & 0 & -1 & 0\\
0 & 0 & 1 & -1
\end{pmatrix}[/mm]
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> > > Und ja wir haben in unserer Vorlesung die JNF mit 1en auf
> > > der unteren Nebendiagonalen definiert ;D
> > >
> > > Mein Vorgehen:
> > >
> > > Ich bestimme zu jedem Jordankästchen und den dazu
> > > gehörigen Eigenwerten die jeweiligen Eigenräume und
> > > bastle eine Basis daraus.
> > >
> > > Zum eigenwert [mm]\lambda_1=-1[/mm]
> > >
> > > Der Eigenraum ist der Kern(A+E1)=L((A+E)x=0)
> > > Ich betrachte also das LGS:
> > > [mm]\begin{pmatrix}
1 & 0 & 4 & -1\\
4 & 4 & 0 & -4\\
0 & 0 & 4 & 0\\
1 & 0 & 4 & -1
\end{pmatrix}x=0[/mm]
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> > > Da das Jordankästchen 2x2 ist muss die Dim des Kerns 2
> > > sein. Also ergibt sich als Lösung eine Linearkombination
> > > 2er Vektoren. Als 1. Vektor wähle ich
> > > [mm]V_1=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}[/mm]
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> > > und da
> > > hakts auch schon, weil die Lösung des LGS nur der eine
> > > Vektor und seine Skalaren Vielfachen wären.
> > > Aber grundsätzlich ist mein Ansatz schon ok? Ich
> steh
> > bei
> > > der Aufgabe grad etwas auf dem Schlauch.
> >
> >
> > Bestimme jetzt den Kern von [mm]\left(A+E1\right)^{2}[/mm]
> >
> > Hieraus bestimmst Du einen Vektor, der durch die Matrix
> > [mm]A+E1[/mm] auf den erhaltenen Vektor abgebildet wird.
>
> Hmm, ok ich berechne dann den Kern, der da wäre:
> [mm]\begin{pmatrix}
0 & 0 & 16 & 0\\
16 & 16 & 0 & -16\\
0 & 0 & 16 & 0\\
0 & 0 & 16 & 0
\end{pmatrix}x=0[/mm]
>
> Die Lösungsmenge wäre hier eine Linearkombination als [mm]V_1[/mm]
> wähle ich geschickter Weise den von Vorhin (1,0,0,1). Nun
> brache ich noch einen 2ten, der Linear unab. dazu ist um
> eine Basis zu bilden?
> Also z.b. (1,1,0,2) der ist offensichtlich linear unabh.,
> demnach müsste Lin((1,1,0,2),(1,0,0,1)) Eine Basis des
> Jordan Kästchens bilden? Wenn dann stimmt kann ich ja
> analog bei den beiden anderen Kästchen vorgehen und wäre
> glücklich, passt das so? :D
Der Vektor (1,1,0,2) bildet aber nicht auf (1,0,0,1) ab.
> >
> >
> > > Danke! Schonmal für Potentielle Hilfe ;D
> > >
> > > Ich habe diese Frage auf keinen anderen Internetseiten oä.
> > > gestellt.
> >
> >
> > Gruss
> > MathePower
>
Gruss
MathePower
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Wieso muss er das? Mir ist der Sinn aktuell leider nicht so ganz klar, auch wenn ich zugegebener maßen auch glücklich wäre wenn ich für die Prüfung eifach die Matrizen berechnen könnte ;)
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Hallo xxgenisxx,
> Wieso muss er das? Mir ist der Sinn aktuell leider nicht so
> ganz klar, auch wenn ich zugegebener maßen auch glücklich
> wäre wenn ich für die Prüfung eifach die Matrizen
> berechnen könnte ;)
Die Lösungsmenge von [mm]\left(A+E1\right)*\vec{v}=\vec{0}[/mm]
wurde doch berechnet.
Weiterhin wurde [mm]\left(A+E1\right)^{2}*\vec{w}=\vec{0}[/mm] berechnet.
Wird dies aufgespaltet, so steht dann da:
[mm]\left(A+E1\right)^{2}*\vec{w}=\left(A+E1\right)*\underbrace{\left(A+E1\right)*\vec{w}}_{=\vec{v}}=\left(A+E1\right)*\vec{v}=\vec{0}[/mm]
Daher ist ein [mm]\vec{w}[/mm] gesucht, das das Gleichungssystem
[mm]\left(A+E1\right)*\vec{w}=\vec{v}[/mm]
erfüllt.
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:03 Mo 08.07.2013 | | Autor: | xxgenisxx |
Ok, ich danke dir nochmal. Ich hoffe mich trifft heut nacht der Geistesblitz ;D
mfg Tobi
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So jetzt hab ich drüber geschlafen ;D
Also ich habe jetzt den Gesuchten Vektor w bestimmt:
[mm] W_1=\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}
[/mm]
Das sind jetzt 2 der Vektoren, die in meine Transformationsmatrix kommen?
Also muss ich noch die anderen beiden ausrechnen. Lineare Unabhängigkeit ist vorerst nicht zu prüfen, da ich nun mit dem Eigenwert 3 arbeite und demnach die Eigenräume automatisch linear unabhängig sind.
Eigenraum zu [mm] \lambda=3
[/mm]
Ker(A-E3)=
[mm] \begin{pmatrix} -3 & 0 & 4 & -1\\ 4 & 0 & 0 & -4\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 1 & 0 & 4 & -5 \end{pmatrix}x=0
[/mm]
Die Lösung ist [mm] x_1=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}
[/mm]
Da [mm] x_2 [/mm] frei wählbar ist, finde ich auchnoch einen Lineare unabhängigen für das obere Jordankästchen:
z.B. [mm] x_2=\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}
[/mm]
Sind das dann alle gesuchten Vektoren? Und wenn ja in welcher Reihnfolge gehören sie in die Matrix? Ich danke nochmals für die Hilfe ;D
Ok, ich hab jetz einfach mal rumprobiert und rausgefunden dass
[mm] \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 2\\ 1 & 0 & 0 & -1\\ 1 & 1 & 0 & 0\\ 1 & 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} [/mm]
Es tut, ABER mit nem 1er auf der oberen Nebendiagonalen, nach unserer Vorlesung sollte die 1 unten stehn. Ich hab des Gefühl, dass das eig echt trivial ist, aber wie bekomme ich die 1 nach unten ? ;D
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Hallo xxgenisxx,
> So jetzt hab ich drüber geschlafen ;D
> Also ich habe jetzt den Gesuchten Vektor w bestimmt:
>
> [mm]W_1=\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}[/mm]
>
> Das sind jetzt 2 der Vektoren, die in meine
> Transformationsmatrix kommen?
>
Ja.
> Also muss ich noch die anderen beiden ausrechnen. Lineare
> Unabhängigkeit ist vorerst nicht zu prüfen, da ich nun
> mit dem Eigenwert 3 arbeite und demnach die Eigenräume
> automatisch linear unabhängig sind.
>
> Eigenraum zu [mm]\lambda=3[/mm]
>
> Ker(A-E3)=
>
> [mm]\begin{pmatrix} -3 & 0 & 4 & -1\\ 4 & 0 & 0 & -4\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 1 & 0 & 4 & -5 \end{pmatrix}x=0[/mm]
>
> Die Lösung ist [mm]x_1=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}[/mm]
>
> Da [mm]x_2[/mm] frei wählbar ist, finde ich auchnoch einen Lineare
> unabhängigen für das obere Jordankästchen:
> z.B. [mm]x_2=\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}[/mm]
>
> Sind das dann alle gesuchten Vektoren? Und wenn ja in
> welcher Reihnfolge gehören sie in die Matrix? Ich danke
> nochmals für die Hilfe ;D
>
Ja, das sind alle gesuchten Vektoren.
> Ok, ich hab jetz einfach mal rumprobiert und rausgefunden
> dass
>
> [mm]\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 2\\ 1 & 0 & 0 & -1\\ 1 & 1 & 0 & 0\\ 1 & 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}[/mm]
Die Basis ist so richtig.
> Es tut, ABER mit nem 1er auf der oberen Nebendiagonalen,
> nach unserer Vorlesung sollte die 1 unten stehn. Ich hab
> des Gefühl, dass das eig echt trivial ist, aber wie
> bekomme ich die 1 nach unten ? ;D
Dann müssen die Vektoren zum Eigenwert -1
in der Transformationsmatrix vertauscht werden:
[mm]\[\begin{pmatrix}1 & 1 & 2 & 1\cr 1 & 0 & -1 & 0\cr 1 & 1 & 0 & 0\cr 1 & 1 & 1 & 1\end{pmatrix}\][/mm]
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:03 Di 09.07.2013 | | Autor: | xxgenisxx |
Ok vielen dank, ich schätze du hast meine LinA Note gerettet ;D
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