Transformationssatz, Dichte < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:12 Di 24.11.2009 | | Autor: | Peon |
| Aufgabe | Der Zufallsvektor [mm] (X_1,X_2) [/mm] sei absolut-stetig verteilt mit gemeinsamer Dichte f.
a) Bestimmen Sie die gemeinsame Dichte von [mm] X_1/X_2 [/mm] und [mm] X_2 [/mm] .
Hinweis: Verwenden Sie, dass die Aussage von Satz 4.4 (Transformationssatz) erhalten bleibt, falls man die
Abbildung h : R × (R \ {0}) ! R × (R \ {0}) mit Bildbereich W := h (R × (R \ {0}))
betrachtet.
b) Seien nun [mm] X_1 [/mm] und [mm] X_2 [/mm] unabh¨angige und identisch N(0, 1)-verteilte Zufallsvariablen.
Berechnen Sie die Dichte von [mm] X_1/X_2 [/mm] . |
Also zu a) habe ich mal was gerechnet (nach einem Bsp. aus der VL):
[mm] Y_1=\bruch{X_1}{X_2}, Y_2=X_2
[/mm]
[mm] \Rightarrow X_1=Y_1*Y_2, X_2=Y_2
[/mm]
[mm] \Rightarrow u_1(y)=y_1*y_2, u_2(y)=y_2
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] |detJ(y)| = [mm] |det\pmat{ \bruch{\partial u_1}{\partial y_1} & \bruch{\partial u_1}{\partial y_2} \\ \bruch{\partial u_2}{\partial y_1} & \bruch{\partial u_2}{\partial y_2} }=...=|y_2|
[/mm]
[mm] \Rightarrow g(y_1, y_2)=f(y_1*y_2,y_2)*|y_2|*I_W
[/mm]
Ist das so richtig, wie gesagt habe mich eng an einem Beispiel aus der VL orientiert.
Danke
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:35 Mi 25.11.2009 | | Autor: | Peon |
Hey cool, dann wäre das ja schon mal geklärt.
Aber wie gehe ich an die b) ran, ich hab das mal nach dem gleichen Schema versucht, aber hat nicht hingehauen. Liegt vielleicht auch daran, dass ich gar nicht so 100%ig verstehe was ich da gemacht habe :) daher kann ich es nicht so gut auf die b) übertragen, hast du da einen Tipp?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:49 Mi 25.11.2009 | | Autor: | luis52 |
> hast du da einen Tipp?
Ja, schau mal hier:
| 1: | @BOOK{Mood74,
| | 2: | title = {Introduction to the Theory of Statistics},
| | 3: | publisher = {Mc-Graw-Hill},
| | 4: | year = {1974},
| | 5: | author = {A. M. Mood and F. A. Graybill and D. C. Boes},
| | 6: | edition = {3.}
| | 7: | }
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Seite 206-7
vg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:07 Mi 25.11.2009 | | Autor: | Peon |
Wie komme ich an das Buch ran, also jetzt auf die schnelle. Habe mal bei Google Büchersuche geguckt (da habe ich zB den Georgii gefunden), aber das Buch, das du genannt hast gibts da leider nicht mit Vorschau.
Es würde mir vielleicht auch helfen wenn du mir sagen könntest, warum die Dichte von [mm] X_1-X_2 [/mm] : [mm] g_1(y_1)=\bruch{\lambda}{2}e^{-\lambda|y_<|} [/mm] ist, mit [mm] X_1,X_2 [/mm] unabhängig, identisch verteil (i.i.d.), [mm] Exp(\lambda)- [/mm] verteilt.
Also wie man dadrauf kommt, ich habe mal versucht das nachzurechnen komme aber nicht weiter.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:43 Mi 25.11.2009 | | Autor: | luis52 |
> Wie komme ich an das Buch ran, also jetzt auf die schnelle.
> Habe mal bei Google Büchersuche geguckt (da habe ich zB
> den Georgii gefunden), aber das Buch, das du genannt hast
> gibts da leider nicht mit Vorschau.
Hast du keinen Zugang zu einer Uni-Bibliothek?
>
> Es würde mir vielleicht auch helfen wenn du mir sagen
> könntest, warum die Dichte von [mm]X_1-X_2[/mm] :
> [mm]g_1(y_1)=\bruch{\lambda}{2}e^{-\lambda|y_<|}[/mm] ist, mit
> [mm]X_1,X_2[/mm] unabhängig, identisch verteil (i.i.d.),
> [mm]Exp(\lambda)-[/mm] verteilt.
> Also wie man dadrauf kommt, ich habe mal versucht das
> nachzurechnen komme aber nicht weiter.
Hm, was ich entziffern kann deutet auf Expoentialverteilung hin. [mm] $X_1,X_2$ [/mm] wurden doch aber als normalverteilt unterstellt oder?
vg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:49 Mi 25.11.2009 | | Autor: | Peon |
Klar habe ich Zugang zur Uni Bib, aber dachte vielleicht du hast ein kostenloses ebook, ow ich sofort nachschlagen könnte, damit ich da jetzt noch was zu machen kann. Ob ich das Buch in der Bib finde ist ne andere Frage :)
Das Beispiel, das ich genannt habe, hat nichts mit der Aufgabe zu tun, das ist ein Bsp aus dem Skript, von dem ich mir erhoffe es auf die Aufgabe b) zu transferieren.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:53 Mi 25.11.2009 | | Autor: | luis52 |
Konsultiere lieber mal das Buch.
Da wird die Chose wirklich gut erklaert.
![[gutenacht]](/images/smileys/gutenacht.gif "[gutenacht]")
vg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:05 Mi 25.11.2009 | | Autor: | Peon |
Ich hab grad online nachgeguckt, das Buch gibts nicht in der Uni Bib... :(
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:04 Do 26.11.2009 | | Autor: | luis52 |
> Ich hab grad online nachgeguckt, das Buch gibts nicht in
> der Uni Bib... :(
:-( Sofort wechseln!
Hier die Schritte in Kuerze:
[mm] $y_1=x_1+x_2$ $y_2=x_1/x_2$, $x_1=y_1y_2/(1+y_2)$, $x_2=y_1/(1+y_2)$, $\det(\ldots)=-y_1/(1+y_2)^2$.
[/mm]
Gemeinsame Dichte von [mm] $(Y_1,Y_2)$:
[/mm]
[mm] $\frac{|y_1|}{2\pi(1+y_2)^2}\exp(-(1+y_2^2)y_1^2/(2(1+y_2)^2)$
[/mm]
[mm] $y_1$ [/mm] Herausintegrieren liefert die Randdichte von [mm] $Y_2$:
[/mm]
[mm] $1/(\pi(1+y_2^2))$ [/mm] (Cauchy-Verteilung).
Alles ohne Gewaehr!
vg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:23 Fr 27.11.2009 | | Autor: | Peon |
> Hier die Schritte in Kuerze:
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> [mm]y_1=x_1+x_2[/mm] [mm]y_2=x_1/x_2[/mm], [mm]x_1=y_1y_2/(1+y_2)[/mm],
> [mm]x_2=y_1/(1+y_2)[/mm], [mm]\det(\ldots)=-y_1/(1+y_2)^2[/mm].
>
> Gemeinsame Dichte von [mm](Y_1,Y_2)[/mm]:
>
> [mm]\frac{|y_1|}{2\pi(1+y_2)^2}\exp(-(1+y_2^2)y_1^2/(2(1+y_2)^2)[/mm]
>
> [mm]y_1[/mm] Herausintegrieren liefert die Randdichte von [mm]Y_2[/mm]:
> [mm]1/(\pi(1+y_2^2))[/mm] (Cauchy-Verteilung).
Auf was bezieht sich das jetzt? :)
Hast du vielleicht einen Ansatz für Aufgabe b) ?
DAnke
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:38 Fr 27.11.2009 | | Autor: | luis52 |
> Auf was bezieht sich das jetzt? :)
> Hast du vielleicht einen Ansatz für Aufgabe b) ?
>
Auf eben jene Aufgabe ...
vg Luis
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Ja, das stimmt, da kommt die Cauchy-Verteilung raus. Man muss es aber nicht so kompliziert ausrechnen.
Gruss
FrankNStein
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:00 So 29.11.2009 | | Autor: | luis52 |
Moin Frank
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Ja, das stimmt, da kommt die Cauchy-Verteilung raus. Man
> muss es aber nicht so kompliziert ausrechnen.
Sondern?
vg Luis
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Hallo,
man nimmt das Ergebnis aus Teil a),
also $ [mm] g(y_1, y_2)=f(y_1\cdot{}y_2,y_2)\cdot{}|y_2|\cdot{}I_W [/mm] $ ,
und integriert das nach [mm] $y_2$, [/mm] wobei man die Unabhängigkeit von [mm] $X_1, X_2$ [/mm] benutzt um die gemeinsame Dichte $f$ als Produkt der Dichten von [mm] $X_1$ [/mm] und [mm] $X_2$ [/mm] hinzuschreiben. Das dabei auftretende Integral lässt sich sehtr leicht lösen, man braucht nicht einmal partielle Integration zu benutzen, und fertig.
Gruss
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![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
