Transistivität < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
Hallo,
Gegeben ist eine Abbildung:
d : [mm] \IR \times \IR \to \IR
[/mm]
(x,y) [mm] \mapsto \bruch{ |x-y| }{1+ | x-y|}
[/mm]
Ich will da die Transitivität prüfen, also zeigen, dass:
d(x,y) [mm] \le [/mm] d(x,z) + d(z,y) gilt.
Meine Ideen:
d(x,y) = [mm] \bruch{ |x-y| }{1+ | x-y|} [/mm] = [mm] \bruch{ |x-z+z-y| }{1+ | x-y|} \le \bruch{ |x-z|+ | z-y| }{1+ | x-y|}.
[/mm]
d(x,z) + d(z,y) = [mm] \bruch{ |x-z| }{1+ | x-z|} [/mm] + [mm] \bruch{ |z-y| }{1+ | z-y|}
[/mm]
Wenn ich nun zeige, dass
[mm] \bruch{ |x-z| }{1+ | x-z|} [/mm] + [mm] \bruch{ |z-y| }{1+ | z-y|} [/mm] > [mm] \bruch{ |x-z|+ | z-y| }{1+ | x-y|} [/mm] gilt, dann habe ich doch die Transistivität geprüft, oder?
Den hinteren Term kann ich noch auseinanderziehen:
[mm] \bruch{ |x-z| }{1+ | x-z|} [/mm] + [mm] \bruch{ |z-y| }{1+ | z-y|} [/mm] > [mm] \bruch{ |x-z|}{1+ | x-y|} [/mm] + [mm] \bruch{ | z-y| }{1+ | x-y|}.
[/mm]
So, nun sind die Zähler auf beiden Seiten identisch, nur die Nenner nicht. Meine Frage: kann ich da durch genaues Hinsehen erkennen, dass die Ungleichung stimmt? Durch Nennerbetrachtung, oder muss ich da alles ausmultilpizieren und es dann zu einer wahren Aussage führen?
Viele Grüße, dancingestrella
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:01 Di 28.12.2004 | | Autor: | andreas |
guten morgen dancingestrella
ich denke du willst nachrechnen, dass [m] d : \mathbb{R} \times \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R} [/m] mit [m] (x, y) \longmapsto \frac{|x-y|}{1 + |x-y|} [/m] eine metrik ist?
> Ich will da die Transitivität prüfen, also zeigen, dass:
> d(x,y) [mm]\le[/mm] d(x,z) + d(z,y) gilt.
heißt das bei euch tatsächlich transitvität? bei uns hieß das ganz einfach dreiecksungleichung.
oder willst du zeigen, dass $d$ eine ordnungsrelation auf [mm] $\mathbb{R}$ [/mm] definiert? ist ja eigentlich egal, ist die selbe rechnung!
> Meine Ideen:
>
> d(x,y) = [mm]\bruch{ |x-y| }{1+ | x-y|}[/mm] = [mm]\bruch{ |x-z+z-y| }{1+ | x-y|} \le \bruch{ |x-z|+ | z-y| }{1+ | x-y|}.
[/mm] [mm] ($\star$)
[/mm]
>
>
> d(x,z) + d(z,y) = [mm]\bruch{ |x-z| }{1+ | x-z|}[/mm] + [mm]\bruch{ |z-y| }{1+ | z-y|}
[/mm]
>
>
> Wenn ich nun zeige, dass
> [mm]\bruch{ |x-z| }{1+ | x-z|}[/mm] + [mm]\bruch{ |z-y| }{1+ | z-y|}[/mm] >
> [mm]\bruch{ |x-z|+ | z-y| }{1+ | x-y|}[/mm] gilt, dann habe ich doch
> die Transistivität geprüft, oder?
ja genau! ich befürchte nur das geht schief, da bei der abschätzung in [mm] ($\star$) [/mm] schon ein zu großer fehler gemacht wurde.
> Den hinteren Term kann ich noch auseinanderziehen:
> [mm]\bruch{ |x-z| }{1+ | x-z|}[/mm] + [mm]\bruch{ |z-y| }{1+ | z-y|}[/mm] >
> [mm]\bruch{ |x-z|}{1+ | x-y|}[/mm] + [mm]\bruch{ | z-y| }{1+ | x-y|}.
[/mm]
>
>
> So, nun sind die Zähler auf beiden Seiten identisch, nur
> die Nenner nicht. Meine Frage: kann ich da durch genaues
> Hinsehen erkennen, dass die Ungleichung stimmt? Durch
> Nennerbetrachtung, oder muss ich da alles ausmultilpizieren
> und es dann zu einer wahren Aussage führen?
ich sehe das nicht direkt sondern müsste da etwas rechnen. der ansatz die ungleichung aufzuschreiben und einfach mal drauf loszurechnen ist hier glaube ich recht vielversprechend:
[m] \begin{tabbular} \frac{|x - y|}{1 + |x-y|} & \leq & \frac{|x - z|}{1 + |x-z|} + \frac{|z - y|}{1 + |z - y|}\end{tabbular} [/m]
das ist jetzt bei mir eine etwas längliche rechnung, da man mit dem hauptnenner durchmultiplizieren muss, aber es hebt sich alles schön auf und ich erhalte am ende
[m] 2 |x-y| \leq 2 |x-z| + 2 |z-y| + \underbrace{2|x-z||z-y|}_{\geq 0} [/m],
was nach der dreiecksunglichung eine wahre aussage ist.
eine vielleicht sogar etwas weniger rechenintensive lösung ist, zu zeigen, dass die funktion [m] f: [0, \infty[ \longrightarrow \mathbb{R}; \; x \longmapsto \frac{x}{1 + x} [/m] eine monoton wachesnde funktion ist, denn daraus folgt dann direkt mit [m] |x - y| \leq |x-z| + |z - y| [/m] die gewünscht aussage, da dann
[m] \frac{|x - y|}{1 + |x- y|} \leq \frac{|x - z| + |z - y|}{ 1 + |x - z| + |z - y|} = \frac{|x - z|}{ 1 + |x - z| + |z - y|} + \frac{|z - y|}{ 1 + |x - z| + |z - y|} \leq \frac{|x - z|}{ 1 + |x - z| } + \frac{|z - y|}{ 1 + |z - y|} [/m]
jetzt sollte ich aber langsam dringend aufhören. ich hoffe ich habe da nicht allzuviel müdigkeitsfehler drin.
grüße
andreas
|
|
|
| |
|
Hallo Andreas!
Danke für deine Antwort 
Ja, bei uns heißt das tatsächlich Transistivität.
Ich vermute, dass wir den Begriff "Dreiecksungleichung" nur bei der ülichen Metrik, also für den Sachverhalt:
|x-y | [mm] \le [/mm] |x-z | + |z-y |
benutzen, bin mir aber nicht sicher.
Aber mir ist noch schleierhaft, wieso:
d(x,y) [mm] \le \bruch{|x - z|}{1 + |x-z|} [/mm] + [mm] \bruch{|z - y|}{1 + |z - y|}
[/mm]
gilt statt:
d(x,y) [mm] \le \bruch{ |x-z|+ | z-y| }{1+ | x-y|}
[/mm]
Wer oder was hindert mich denn daran, dass ich den Nenner als konstant betrachte und nur im Zähler die Dreiecksungleichung anwende???
Da komm ich nicht dahinter. Mit dem Ausmultiplizieren (mit deinen Termen) hat es auch geklappt, die andere Variante ist mir im Moment noch ein bißchen zu naja "verspielt"  Im ersten Semester möchte ich lieber noch Ausmultiplizieren...
gruß, dancingestrella
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:24 Mi 29.12.2004 | | Autor: | andreas |
hi
ich fürchte, das was zu dem missverständniss geführt hat, war einfach nur verwirrend von mir aufgeschrieben, daher nochmal etwas ausführlicher und hoffentlich weniger verwirrend: du willst zeigen, dass [m] \textrm{transitivität für } d \; \Longleftarrow\; \textrm{dreiecksungleichung für den betrag} [/m] und zwar geht das z.b. so:
[m] \begin{array}{cl} & d(x, y) \leq d(x, z) + d(z, y) \\
\Longleftrightarrow & \dfrac{|x - y|}{1 + |x - y|} \leq \dfrac{|x - z|}{1 + |x-z|} + \dfrac{|z - y|}{1 + | z - y|} \\
\Longleftrightarrow & |x - y| + |x - y||x - z| + |x-y| + |x-y||z-y| \leq |x-z| + |x-z||x - y| + |x-z| + |x - z||z-y| + |z-y| + |z- y| + |z - y||x - z| + - y| + |z - y||x - y| \\
\Longleftrightarrow & 2|x - y| \leq 2|x - z| + 2|z - y| + 2|x - z||z - y| \\
\Longleftarrow & |x - y| \leq |x - z| + |z - y|
\end{array}[/m]
dabei wurde von der 1. in die 2. zeile einfach die definition von $d$ verwendet, von der 2. in die 3. mit dem hauptnenner (der größer als null ist) durchmultipliziert, dann auf beiden seiten vorkommende terme abgezogen und schließlich von der 4. in die 5. zeile durch 2 geteilt und auf der rechten seite ein term weggelassen, der größer als null ist (dies ist keine äquivalenzumformung genügt aber um das zu zeigen, was hier gezeigt werden soll).
wenn man dies nun von unten nach oben liest folgt aus einer wahren aussage (der dreiecksungleichung für den betrag) das was bewiesen werden soll und man ist somit fertig.
vielleicht ist das jetzt etwas klarer?
grüße
andreas
|
|
|
| |
|
hallo andreas!
na, klar! so kann man es auch machen... super, jetzt ist alles klar
danke,
dancingestrella
|
|
|
|
