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| Aufgabe | Diese Aufgabe, die man mit geometrischen Mitteln oder z.B. als Extremwertaufgabe bearbeiten kann, ist für alle gedacht, die sich daran versuchen möchten.
Zur Lösung habe ich zwei mögliche Ansätze, aber die Ausarbeitung habe ich bisher noch nicht geschafft. |
Zwei Kreiszylinderflächen, nennen wir sie A und B, mit Radien [mm] r_A [/mm] und [mm] r_B [/mm] , haben zueinander windschief normal stehende Achsen a und b , deren (kürzester) Abstand mit d bezeichnet werden soll. Dabei soll $\ d\ >\ [mm] r_A\,+\, r_B$ [/mm] sein.
Um diese beiden Zylinder soll nun ein Band in der Art eines Transmissionsriemens geschlungen werden. Der Einfachheit halber reduzieren wir den "Riemen" zu einem "Faden", geometrisch ausgedrückt zu einer topologisch zum Kreis äquivalenten einfach geschlossenen Kurve.
Gesucht ist nun die kürzeste mögliche Kurve dieser Art.
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Um sich die Arbeit etwas einfacher zu machen, könnte man allenfalls einmal den Spezialfall betrachten, wo die beiden Zylinder denselben Radius haben, also $\ [mm] r_A\,=\,r_B$ [/mm] .
Für ein konkretes Zahlenbeispiel möchte ich einmal vorschlagen:
$\ [mm] r_A\,=\, r_B\ [/mm] :=\ [mm] 1\quad [/mm] , [mm] \quad d\,:=\,3$
[/mm]
Al-Chwarizmi
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Hier zum Spezialfall mit $\ [mm] r_A\,=\,r_B\,=\,1$ [/mm] und $\ [mm] d\,=\,3$ [/mm] eine Zeichnung,
mittels Geogebra in der Art der darstellenden Geometrie gezeichnet:
[Dateianhang nicht öffentlich]
LG , Al-Chwarizmi
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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Nachdem die Reaktionen auf meine Aufgabe sich in (sehr) engen
Grenzen gehalten haben, möchte ich nun doch mal die für den
Spezialfall ($\ [mm] r_A=r_B\, =1\,, \, [/mm] d=3 [mm] \, [/mm] $) am Ende zu lösende Gleichung
sowie die numerische Lösung angeben.
Die zwei Hauptvariablen habe ich so benannt (siehe Figur in
obigem Beitrag "Zeichnung dazu"):
$\ [mm] \alpha\ [/mm] =\ $ spitzer Winkel zwischen Radius AD und horizontaler Achse
$\ h\ =\ $ halber Hub eines der Spiralbögen auf den Zylindermänteln
Für diese beiden Unbekannten kommt man auf das Gleichungssystem:
$\ [mm] cos(\alpha)\ [/mm] =\ [mm] \frac{h}{\pi -\alpha}$ [/mm]
$\ [mm] tan(\alpha)\ [/mm] =\ [mm] \frac{3-2\ cos(\alpha)}{sin(\alpha)-h}$ [/mm]
Durch Elimination von $\ h$ kann man daraus die folgende Gleichung
erzeugen:
$\ [mm] \left[\,(\pi-\alpha)\, sin(\alpha) - cos(\alpha)+3\,\right]cos(\alpha) [/mm] - 1 = 0$
Im interessierenden Intervall [mm] 0<\alpha<\frac{\pi}{2} [/mm] hat diese Gleichung nur
die Lösung
$\ [mm] \alpha\ [/mm] =\ [mm] \,1.348138... \,\approx\ [/mm] 77.24$°
Der zugehörige Wert von $\ h$ (siehe oben) ist dann
$\ h\ [mm] \approx\ [/mm] 0.396$
LG , Al-Chwarizmi
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| Status: |
(Frage) statuslos  (unbefristet) | | Datum: | 19:12 Mo 26.03.2018 | | Autor: | ChopSuey |
Hallo Al-Chwarizmi,
ich war mal so frei, und habe deine Aufgabe als Übungsaufgabe deklariert. Ich hoffe dass das in deinem Sinne ist. Wenn nicht, einfach melden.
In diesem Sinne darf diese Frage als Dummy-Frage interpretiert werden, so dass die Übungsaufgabe weiterhin unter den offenen Fragen bestehen bleibt.
LG,
ChopSuey
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Zur Vorbereitung der Lösung macht man sich natürlich zuerst eine Zeichnung. Die "Riemenkurve" spannt sich je in einem Schraubenbogen [mm] (s_A [/mm] bzw. [mm] s_B) [/mm] um jeden der beiden Zylinder. Zwischen diesen Bögen verläuft sie in geradlinigen Strecken. Betrachten wir eine dieser Strecken, sagen wir $\ g\ =\ [mm] \overline{EF}$ [/mm] . E ist Endpunkt des Bogens [mm] s_A [/mm] auf der Mantelfläche von A und F Startpunkt des Bogens [mm] s_B [/mm] auf der Mantelfläche von B.
Zur Beschreibung der genauen Lage dieser Punkte braucht man jeweils zuerst die entsprechenden Zylinderkoordinaten, für Punkt E also den Radius [mm] r_A [/mm] , einen Winkel [mm] \alpha [/mm] und eine entlang einer Mantellinie zu messende Koordinate e. Analog für B: [mm] r_B [/mm] , [mm] \beta [/mm] und f .
Natürlich drückt man dann die Punktkoordinaten von E und F auch in einem "globalen" x-y-z-Koordinatensystem aus.
Nun kann man die beteiligten Kurvenstücke parametrisieren, also die beiden Kurvenbögen [mm] s_A [/mm] und [mm] s_B [/mm] sowie die Strecke g. Dabei berücksichtigt man schon, dass sich [mm] s_A [/mm] und g in E sowie g und [mm] s_B [/mm] in F treffen. Wichtig ist dann ferner, dass die Kurvenstücke in E bzw. F ohne jeden Knick ineinander übergehen müssen. Das erreicht man, indem man die Übereinstimmung (bzw. Proportionalität) der entsprechenden Tangentialvektoren (in den Punkten E und F) fordert.
Insgesamt kommt man damit auf ein nichtlineares Gleichungssystem für die 4 Unbekannten [mm] \alpha, \beta, [/mm] e und f . Eine exakte algebraische Lösung ist dabei nicht möglich. Leider musste ich dann feststellen, dass nicht einmal Wolfram Alpha (Standardversion) genügend Power hatte, um etwa das Beispiel mit [mm] r_A=2 [/mm] , [mm] r_B=1 [/mm] , d=4 numerisch aufzulösen ...
Erheblich angenehmer ist es, wenn man sich auf den Spezialfall mit gleichen Zylinderradien beschränkt. Dann hat man nämlich zuerst nur noch 2 Unbekannte, und es gelingt sogar, das Gleichungssystem auf eine einzige nichtlineare Gleichung für einen Winkel [mm] \alpha [/mm] zu reduzieren.
LG , Al-Chwarizmi
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