Transponierte Eigenwert < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:26 Mo 07.03.2011 | | Autor: | kushkush |
| Aufgabe | 1. Sei [mm] $K=\IR [/mm] $, sei [mm] $V=M_{K}(2)$, [/mm] und sei $f [mm] \in End_{K}(V)$ [/mm] durch $f(A)=^{t}A$ (transponierte) definiert.
a) Zeige, dass +1 und -1 Eigenwerte von f sind.
b) Überprüfe, ob 2 ein Eigenwert ist.
c) Was sind die Eigenwerte von f?
d) Ist f diagonalisierbar?
e) Berechne $det f$ |
Hallo,
a) [mm] $M_{\IR}(2)$ [/mm] sind alle Matrizen der Form [mm] $\vektor{a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} }$ [/mm] und die Transponierten ist [mm] $\vektor{a_{11}& a_{21} \\ a_{12} & a_{22}}$. [/mm] Weil $f [mm] \in End_{\IR}(V) [/mm] gilt: [mm] $a_{12}=a_{21}$
[/mm]
Klappt aber nicht so ganz dann mit den Eigenwerten berechnen. Wie mache ich das richtig?
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
Danke und Gruss
kushkush
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> 1. Sei [mm]K=\IR [/mm], sei [mm]V=M_{K}(2)[/mm], und sei [mm]f \in End_{K}(V)[/mm]
> durch [mm]f(A)=^{t}A[/mm] (transponierte) definiert.
>
> a) Zeige, dass +1 und -1 Eigenwerte von f sind.
> b) Überprüfe, ob 2 ein Eigenwert ist.
> c) Was sind die Eigenwerte von f?
> d) Ist f diagonalisierbar?
> e) Berechne [mm]det f[/mm]
> Hallo,
>
>
> a) [mm]M_{\IR}(2)[/mm][/mm] sind alle Matrizen der Form [mm]\vektor{a_{11} & a_{12} \\
a_{21} & a_{22} }[/mm][/mm]
> und die Transponierten ist [mm]\vektor{a_{11}& a_{21} \\
a_{12} & a_{22}}[/mm].[/mm]
> Weil [mm]f \in End_{\IR}(V)[/mm] gilt: [mm][/mm][mm] a_{12}=a_{21}$[/mm]
[/mm]
>
> Klappt aber nicht so ganz dann mit den Eigenwerten
> berechnen. Wie mache ich das richtig?
Hallo,
in Aufgabe a) sollst Du doch gar keine Eigenwerte berechnen, sondern zeigen, daß 1 und -1 Eigenwerte von f sind, daß es also von der Nullmatrix verschiedene Matrizen A und B gibt mit
i) f(A)=A und ii) f(B)=-B.
Bei i) mußt Du eine Matrix angeben mit [mm] a_1_2=a_2_1.
[/mm]
Das ist nicht schwer.
Und die ii) ist geht fast ebenso.
Gruß v. Angela
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> Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
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> Danke und Gruss
>
> kushkush
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:38 Mo 07.03.2011 | | Autor: | kushkush |
Hallo,
a) Eigenwert 1 :
[mm] $\vektor{a_{11}&a_{12} \\ a_{21} & a_{22}}$ [/mm] mit [mm] $a_{12}=a_{21}$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow \vektor{a_{11}&a_{12} \\ a_{21} & a_{22}}=\vektor{a_{11}&a_{21}\\a_{12}&a_{22}}=f( \vektor{a_{11}&a_{12}\\ a_{21} & a_{22}})$
[/mm]
< mußt Du eine Matrix angeben mit
ZahleN?
$A= [mm] \vektor{1 & 2 \\ 2 & 1} [/mm] = [mm] A^{T}$
[/mm]
b) Eigenwert -1:
es gilt [mm] $b_{11}=-b_{11}; b_{22}=-b_{22}; b_{21}=-b_{12}$
[/mm]
Beispiel: [mm] $f(\vektor{0&1 \\ -1 & 0})=-\vektor{0&1 \\ -1 & 0}$ [/mm]
c) 2 ist kein Eigenwert, weil es kein A gibt für welches f(A)=2A gilt ausser der Nullmatrix.
d) diagonalisierbar ist eine Matrix wenn die Eigenvektoren linear unabhängig sind. Nur komme ich schlecht zu den Eigenvektoren wenn ich die Eigenwerte nicht berechnen kann ?
e) das läuft wohl auf die Determinante eines Endomorphismus hinaus??
Danke.
Gruss
kushkush
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Hallo,
> Hallo,
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> a) Eigenwert 1 :
>
> [mm]\vektor{a_{11}&a_{12} \\ a_{21} & a_{22}}[/mm] mit
> [mm]a_{12}=a_{21}[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow \vektor{a_{11}&a_{12} \\ a_{21} & a_{22}}=\vektor{a_{11}&a_{21}\\a_{12}&a_{22}}=f( \vektor{a_{11}&a_{12}\\ a_{21} & a_{22}})[/mm]
>
>
> < mußt Du eine Matrix angeben mit
>
> ZahleN?
>
> [mm]A= \vektor{1 & 2 \\ 2 & 1} = A^{T}[/mm]
Genau, das ist eine Möglichkeit, denn [mm] f(A)=A=A^T
[/mm]
>
> b) Eigenwert -1:
>
> es gilt [mm]b_{11}=-b_{11}; b_{22}=-b_{22}; b_{21}=-b_{12}[/mm]
>
> Beispiel: [mm]f(\vektor{0&1 \\ -1 & 0})=-\vektor{0&1 \\ -1 & 0}[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
>
> c) 2 ist kein Eigenwert, weil es kein A gibt für welches
> f(A)=2A gilt ausser der Nullmatrix.
Das sollst du aber noch zeigen. Ist aber nicht schwer.
Warum folgt aus [mm] 2\vektor{a_{11}&a_{12} \\ a_{21} & a_{22}}=\vektor{a_{11}&a_{21} \\ a_{12} & a_{22}}, [/mm] dass [mm] \vektor{a_{11}&a_{12} \\ a_{21} & a_{22}} [/mm] die Nullmatrix ist?
>
> d) diagonalisierbar ist eine Matrix wenn die Eigenvektoren
> linear unabhängig sind.
EVs unterschiedlicher Eigenräume sind immer linear unabhängig. Diagbar ist sie, wenn es eine Basis aus Eigenvektoren gibt.
> Nur komme ich schlecht zu den
> Eigenvektoren wenn ich die Eigenwerte nicht berechnen kann?
Zwei sind dir bereits gegeben. Überlege einmal, ob es noch mehr geben kann. Wie groß ist die Dimension von V? Wie sieht denn überhaupt eine Basis von V aus? Wie viele Basiselemente kannst du in allen Eigenräumen sammeln?
>
> e) das läuft wohl auf die Determinante eines
> Endomorphismus hinaus??
Genau. Probier mal, ob du eine Abbildungsmatrix hinbekommst.
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> Danke.
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> Gruss
>
> kushkush
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:41 Mo 07.03.2011 | | Autor: | kushkush |
Hallo,
< Das sollst du aber noch zeigen.
[mm] $\vektor{a_{11}&a_{21} \\ a_{12} & a_{22}} [/mm] = [mm] \vektor{a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22}} [/mm] = 2 [mm] \vektor{a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22}}$
[/mm]
< Wie groß ist die Dimension von V?
2
< Wie sieht denn überhaupt eine Basis von V aus?
[mm] $v_{1}: \vektor{1 \\ 0 } [/mm] , [mm] v_{2}: \vektor{0 \\ 1}$
[/mm]
< Wie viele Basiselemente kannst du in allen Eigenräumen sammeln?
2
< Abbildungsmatrix
[mm] $\vektor{0& 1 \\ 1 & 0}$
[/mm]
also determinante -1
Danke
Gruss
kushkush
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> Hallo,
>
> < Das sollst du aber noch zeigen.
>
> [mm]\vektor{a_{11}&a_{21} \\
a_{12} & a_{22}} = \vektor{a_{11} & a_{12} \\
a_{21} & a_{22}} = 2 \vektor{a_{11} & a_{12} \\
a_{21} & a_{22}}[/mm]
Hallo,
nun müßtest Du weiterrechnen und zeigen, wie Du zum von Dir genannten Ergebnis kommst.
>
>
> < Wie groß ist die Dimension von V?
>
> 2
>
> < Wie sieht denn überhaupt eine Basis von V aus?
>
> [mm]v_{1}: \vektor{1 \\
0 } , v_{2}: \vektor{0 \\
1}[/mm]
>
Ganz sicher nicht. V besteht doch aus Matrizen, dh. die Elemente des Vektorraumes V (=Vektoren) sind Matrizen.
Dann besteht die Basis natürlich auch aus Matrizen, und Du solltest Dir mal überlegen, wieviele und welche Matrizen Du benötigst, um jede beliebige Matrix als Linearkombination schreiben zu können.
Was hast Du eigentlich inzwischen bzgl der Eigenwerte festgestellt, und falls Du etwas festgestellt hast: wie hast Du es festgestellt?
>
>
> < Abbildungsmatrix
Genau. Die könnten wir jetzt mal gebrauchen.
Und für die Abbildungsmatrix wiederum brauchen wir erstmal eine Basis des Raumes der [mm] 2\times [/mm] 2-Matrizen.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:17 Di 08.03.2011 | | Autor: | kushkush |
Hallo,
< weiterrechnen
$ [mm] \vektor{a_{11}&a_{21} \\ a_{12} & a_{22}} [/mm] = [mm] \vektor{a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22}} [/mm] = 2 [mm] \vektor{a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22}}= [/mm] A=2A [mm] \Rightarrow [/mm] A=0$
< Ganz sicher nicht. V besteht doch aus Matrizen, dh. die Elemente des < < < < Vektorraumes V (=Vektoren) sind Matrizen.
OK, eine Basis ist doch: [mm] $\vektor{1 & 0 \\ 0 & 0}, \vektor{0 & 1 \\ 0& 0}, \vektor{0&0\\1&0}, \vektor{0&0\\0&1}$
[/mm]
aber wegen $f\ in End(V)$ wäre doch auch [mm] $\vektor{1 & 0 \\ 0 & 0}, \vektor{0 & 1 \\ 1& 0}, \vektor{0&0\\0&1}$ [/mm] eine Basis . Also Dimension 3
<< Was hast Du eigentlich inzwischen bzgl der Eigenwerte festgestellt, und falls << Du etwas festgestellt hast: wie hast Du es festgestellt?
Weil die Dimension 3 ist müsste es auch 3 Eigenwerte geben, richtig?
< Genau. Die könnten wir jetzt mal gebrauchen.
< Und für die Abbildungsmatrix wiederum brauchen wir erstmal eine Basis des < Raumes der 2-Matrizen.
Meine Basis besteht ja aus Matrizen und nicht Vektoren, wie mache ich denn daraus die Abbildungsmatrix??
Danke!
Gruss
kushkush
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Hallo kushkush,
> Hallo,
>
> < weiterrechnen
>
> [mm]\vektor{a_{11}&a_{21} \\ a_{12} & a_{22}} = \vektor{a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22}} = 2 \vektor{a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22}}= A=2A \Rightarrow A=0[/mm]
Das ist immer noch kein schlüssiger Beweis. Zeige doch einmal für jeden Eintrag der Matrix, dass er 0 sein muss.
>
>
> < Ganz sicher nicht. V besteht doch aus Matrizen, dh. die
> Elemente des < < < < Vektorraumes V (=Vektoren) sind
> Matrizen.
>
>
> OK, eine Basis ist doch: [mm]\vektor{1 & 0 \\ 0 & 0}, \vektor{0 & 1 \\ 0& 0}, \vektor{0&0\\1&0}, \vektor{0&0\\0&1}[/mm]
>
> aber wegen [mm]f\ in End(V)[/mm] wäre doch auch [mm]\vektor{1 & 0 \\ 0 & 0}, \vektor{0 & 1 \\ 1& 0}, \vektor{0&0\\0&1}[/mm]
> eine Basis . Also Dimension 3
Nein, das wäre eine Basis der symmetrischen [mm] 2\times2 [/mm] Matrizen.
>
>
> << Was hast Du eigentlich inzwischen bzgl der Eigenwerte
> festgestellt, und falls << Du etwas festgestellt hast: wie
> hast Du es festgestellt?
>
> Weil die Dimension 3 ist müsste es auch 3 Eigenwerte
> geben, richtig?
Nein. Zum Berechnen der Eigenwerte brauchst du erst einmal eine Abbildungsmatrix
>
> < Genau. Die könnten wir jetzt mal gebrauchen.
> < Und für die Abbildungsmatrix wiederum brauchen wir
> erstmal eine Basis des < Raumes der 2-Matrizen.
>
> Meine Basis besteht ja aus Matrizen und nicht Vektoren, wie
> mache ich denn daraus die Abbildungsmatrix??
Abbildungsmatrizen verarbeiten Koordinatenvektoren. Reicht dieser Wink?
LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:55 Di 08.03.2011 | | Autor: | kushkush |
Hallo kamaleonti,
< Zeige doch einmal für jeden Eintrag der Matrix, dass er 0 sein muss.
[mm] $\vektor{0 & 0 \\ 0& 0}= [/mm] 2 [mm] \vektor{ 0&0 \\0 &0} [/mm] = A=2A= [mm] A^{T}$
[/mm]
< Abbildungsmatrizen verarbeiten Koordinatenvektoren. Reicht dieser Wink?
Also wäre die Abbildungsmatrix:
[mm] $\vektor{1 & 1 \\ 1 & 1}$? [/mm]
Danke!
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Hallo kushkush,
> Hallo kamaleonti,
>
> < Zeige doch einmal für jeden Eintrag der Matrix, dass er
> 0 sein muss.
>
> [mm]\vektor{0 & 0 \\
0& 0}= 2 \vektor{ 0&0 \\
0 &0} = A=2A= A^{T}[/mm]
>
>
> < Abbildungsmatrizen verarbeiten Koordinatenvektoren.
> Reicht dieser Wink?
>
> Also wäre die Abbildungsmatrix:
> [mm]\vektor{1 & 1 \\
1 & 1}[/mm]? ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Nein, die Abbildungsmatrix ist vom Format [mm]4\times 4[/mm]
Es ist doch [mm]M_2(\IK) \ \cong \ \IK^{2\cdot{}2}=\IK^4[/mm]
Bzgl. der Standardbasen:
[mm]\pmat{1&0\\
0&0}\mapsto \pmat{1&0\\
0&0}^T=\pmat{1&0\\
0&0}=\red{1}\cdot{}\pmat{1&0\\
0&0}+\red{0}\cdot{}\pmat{0&1\\
0&0}+\red{0}\cdot{}\pmat{0&0\\
1&0}+\red{0}\cdot{}\pmat{0&0\\
0&1}[/mm]
Die erste Spalte der Darstellungsmatrix bzgl. der Standardbasen ist also [mm]\red{\vektor{1\\
0\\
0\\
0}}[/mm]
Nun berechne analog die anderen 3 Spalten ...
>
>
> Danke!
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:35 Di 08.03.2011 | | Autor: | kushkush |
Hallo,
[mm] $\vektor{1 &0& 0 &0 \\ 0&0&1 &0 \\0&1&0&0 \\0&0&0&1 }$ [/mm] Determinante gibt -1 mit Lpalace.
Eigenwerte ausgerechnet: 1 und -1 wobei 1 vielfach vorkommt.
Die Matrix ist nicht diagonalisierbar weil nicht überall entlang der Hauptdiagonalen Eigenwerte vorkommen?
< Gruß
Danke!
Gruss
kushkush
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> Hallo,
>
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> [mm]\vektor{1 &0& 0 &0 \\ 0&0&1 &0 \\0&1&0&0 \\0&0&0&1 }[/mm]
> Determinante gibt -1 mit Lpalace.
>
> Eigenwerte ausgerechnet: 1 und -1 wobei 1 vielfach
> vorkommt.
>
> Die Matrix ist nicht diagonalisierbar weil nicht überall
> entlang der Hauptdiagonalen Eigenwerte vorkommen?
Nein, du musst untersuchen, ob es eine Basis aus Eigenvektoren gibt. Jetzt kannst du noch einmal ganz formal Basiselemente der Eigenräume bestimmen. Da der EW -1 nur die Vielfachheit 1 hat, ist klar, dass es hier nur ein Basiselement gibt. Interessant ist, wie viele es für den EW 1 gibt.
Gruß
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:39 Di 08.03.2011 | | Autor: | kushkush |
Hallo,
Was ist der Unterschied zwischen einem Eigenvektor und einem Basiselement eines Eigenraums?
die 3 zum Eigenwert 1 gehörenden Basiselemente der Eigenräume sind:
[mm] $\vektor{0\\ 0 \\ 0 \\ 1 }, \vektor{0 \\ 1 \\ 1 \\0} [/mm] , [mm] \vektor{1 \\0 \\0 \\0}$
[/mm]
Also gibt es eine Basis und daher ist sie diagonalisierbar.
< LG
Danke!!!
Gruss
kushkush
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Hallo kushkush,
> Was ist der Unterschied zwischen einem Eigenvektor und
> einem Basiselement eines Eigenraums?
Da es mehrere Eigenräume gibt, sprach ich von den Basiselementen dieser Eigenräume. Dieser Begriff ist keiner Literatur entnommen.
Es gibt ein Basiselement zum Eigenwert -1 und wie du unten angegeben hast 3 Basiselemente zum Eigenwert 1. Es handelt sich dabei aber immer noch um Koordinatenvektoren (!) bzgl der anfangs angegebenen Basis.
Die Basiselemente der Eigenräume sind also Eigenvektoren der entsprechenden Eigenräume
>
> die 3 zum Eigenwert 1 gehörenden Basiselemente der
> Eigenräume sind:
>
> [mm]\vektor{0\\ 0 \\ 0 \\ 1 }, \vektor{0 \\ 1 \\ 1 \\0} , \vektor{1 \\0 \\0 \\0}[/mm]
>
> Also gibt es eine Basis aus Eigenvektoren und daher ist sie diagonalisierbar.
Ok.
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>
>
> < LG
>
>
> Danke!!!
>
>
> Gruss
>
> kushkush
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:53 Di 08.03.2011 | | Autor: | kushkush |
Hallo,
< Ok.
Danke.
Gruss
kushkush
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