Transport um Korridorecke < Extremwertprobleme < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:00 Do 21.08.2008 | | Autor: | tuxor |
| Aufgabe | Ein Klavier soll über einen engen Korridor (a = 1m; b = 0,9m) von A nach B transportiert werden. Es ist auf 4 Rollen frei beweglich (siehe Bild).
Kann es um die Ecke E geschoben werden, wenn es einen rechteckigen Grundriss von 0,67m x 1,57m hat? (Hinweis: Stellen Sie die Länge der Strecke PQ als Funktion des Winkels [mm] \alpha [/mm] dar und untersuchen Sie diese Funktion auf Minima.)
Quelle: Lambacher Schweizer: Analysis Gesamtband, Leistungskurs. S. 120 |
[Dateianhang nicht öffentlich]
Mich verwirrt irgendwie der "Hinweis". Was ist das d in der Skizze? Ist das 0,67m? Wie genau geht man beim um die Ecke schieben vor? Schiebt man das Klavier soweit vor, bis es genau zur Hälfte über die Ecke hinausgeschoben ist und dreht es dann um die Ecke als Angelpunkt, oder wie?
So ist es mir leider noch nicht mal gelungen, eine Funktion aufzustellen. Kann mir jemand auf die Sprünge helfen?
Danke im voraus!
tuxor
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:21 Fr 22.08.2008 | | Autor: | ONeill |
Hallo!
> [Dateianhang nicht öffentlich]
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> Mich verwirrt irgendwie der "Hinweis". Was ist das d in der
> Skizze?
d ist nichts anderes als die Breite deines Klaviers, also die von dir angesprochenen 67cm
> Wie genau geht man beim um die Ecke
> schieben vor? Schiebt man das Klavier soweit vor, bis es
> genau zur Hälfte über die Ecke hinausgeschoben ist und
> dreht es dann um die Ecke als Angelpunkt, oder wie?
Naja du willst das Klavier von rechts unten nach linkes oben bringen. Weil dir da nicht viel Platz bleibt versuchst du die Punkte Q und P an der Wand lang ratschen zu lassen (entspricht nicht der Realität, die Wand soll ja heile bleiben, das Klavier ebenso, aber so kannst du deinen maximalen Platz ausrechnen).
Den Hinweis verstehe ich entweder falsch oder er ist wirklich Unsinn. Die Strecke PQ bleibt ja schließlich konstant.
Aber überleg mal, wenn du dein Kalsvier dadurch schiebst. Dann Verändert sich der ABstand der Ecke E zu deinem Klavier, genau gesagt der Geraden, die parallel zu PQ steht. Über Winkelsätze (sin, cos und tan) kannst du dann den Abstand ermitteln. Dieser darf minimal (Extremalbedingung) so groß werden, wie die Breite des Klaviers, besser größer gleich.
Gruß ONeill
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:42 Fr 22.08.2008 | | Autor: | tuxor |
Vielen Dank für deine Antwort ONeill!
Ich habe mich mal hingesetzt und eine Funktionsgleichung aufgestellt. Die Funktion gibt den Abstand der Ecke E von der Strecke PQ in Abhängigkeit des Winkels Alpha an:
[mm]f(x) = \bruch{0.9 \tan^2 x - 1.57 \sin x * \tan x + \tan x}{\sin x + \sin x * \tan^2 x}[/mm]
Ich halte es für unwahrscheinlich, dass eine dermaßen komplizierte Funktion richtig ist. Immerhin soll man das noch ableiten und das war noch vor Ketten-, Produkt- und Quotientenregel in dem Mathebuch!
Einer Darstellung des Graphen mit GeoGebra lässt sich entnehmen, dass ein relevantes Minimum ca. bei 0.83 (Bogenmaß) mit dem Wert 0.56 ist. (Das würde bedeuten, dass das Klavier NICHT um die Ecke passt...)
Kann mir jemand sagen, ob diese Funktionsgleichung richtig ist, ob sie sich noch vereinfachen lässt, oder ob ich doch besser anders an die Sache herangehen sollte?
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> [mm]f(x) = \bruch{0.9 \tan^2 x - 1.57 \sin x * \tan x + \tan x}{\sin x + \sin x * \tan^2 x}[/mm]
Hallo,
den Bruch kannst Du so umformen:
... [mm] =\bruch{1}{sinx}* \bruch{0.9 \tan^2 x - 1.57 \sin x * \tan x + \tan x}{1 + \tan^2 x}
[/mm]
[mm] =\bruch{1}{sinx}* \bruch{0.9 \tan^2 x - 1.57 \sin x * \tan x + \tan x}{\bruch{1}{cos^2x}}
[/mm]
[mm] =\bruch{cos^2x}{sinx}*(0.9 \tan^2 [/mm] x - 1.57 [mm] \sin [/mm] x * [mm] \tan [/mm] x + [mm] \tan [/mm] x)
[mm] =\bruch{cos^2x}{\sin x*\cos²x}*(0.9 \sin^2 [/mm] x - 1.57 [mm] \sin [/mm] x * [mm] \sin x*\cos [/mm] x [mm] +\sin x*\cos [/mm] x)
=(0.9 [mm] \sin [/mm] x - 1.57 [mm] \sin [/mm] x [mm] *\cos [/mm] x [mm] +\cos [/mm] x)
=0.9 [mm] \sin [/mm] x - [mm] \bruch{1.57}{2} \sin(2x) +\cos [/mm] x
Gruß v. Angela
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> Ein Klavier soll über einen engen Korridor (a = 1m; b =
> 0,9m) von A nach B transportiert werden. Es ist auf 4
> Rollen frei beweglich (siehe Bild).
> Kann es um die Ecke E geschoben werden, wenn es einen
> rechteckigen Grundriss von 0,67m x 1,57m hat? (Hinweis:
> Stellen Sie die Länge der Strecke PQ als Funktion des
> Winkels [mm]\alpha[/mm] dar und untersuchen Sie diese Funktion auf
> Minima.)
>
> Quelle: Lambacher Schweizer: Analysis Gesamtband,
> Leistungskurs. S. 120
> [Dateianhang nicht öffentlich]
>
> Mich verwirrt irgendwie der "Hinweis". Was ist das d in der
> Skizze? Ist das 0,67m?
Ja, ausser man schiebt das Klavier um [mm] $90^\circ$ [/mm] gedreht um diese Ecke...
> Wie genau geht man beim um die Ecke
> schieben vor? Schiebt man das Klavier soweit vor, bis es
> genau zur Hälfte über die Ecke hinausgeschoben ist und
> dreht es dann um die Ecke als Angelpunkt, oder wie?
>
> So ist es mir leider noch nicht mal gelungen, eine Funktion
> aufzustellen. Kann mir jemand auf die Sprünge helfen?
Betrachte folgende Skizze:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Die Paramatergleichung der eingezeichneten Tangente [mm] $t(\lambda)$ [/mm] an den Kreis [mm] $x^2+y^2=d^2$ [/mm] lautet
[mm]t:\; \pmat{x\\y}=\pmat{d\cos(\alpha)\\d\sin(\alpha)}+\lambda \pmat{-\sin(\alpha)\\\cos(\alpha)}[/mm]
Für den Punkt $P$ gilt $y=a$ und daher [mm] $d\sin(\alpha)+\lambda_P\cos(\alpha)=a$; [/mm] für den Punkt $Q$ gilt $x=b$ und daher [mm] $d\cos(\alpha)-\lambda_Q\sin(\alpha)=b$, [/mm] d.h.
[mm]\lambda_P=\frac{a-d\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}; \qquad \lambda_Q=\frac{d\cos(\alpha)-b}{\sin(\alpha)}[/mm]
Da der Richtungsvektor von [mm] $t(\lambda)$ [/mm] normiert und vom Berührpunkt nach $P$ gerichtet ist, folgt für die Länge [mm] $f(\alpha)$ [/mm] der Strecke $PQ$ als Funktion von [mm] $\alpha$:
[/mm]
[mm]f(\alpha)=\lambda_P-\lambda_Q=\frac{a-d\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}+\frac{b-d\cos(\alpha)}{\sin(\alpha)}[/mm]
Diese Funktion besitzt ein Minimum der Grösse [mm] $\approx [/mm] 1.34$ bei [mm] $\alpha\approx [/mm] 0.733$.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:57 Sa 23.08.2008 | | Autor: | tuxor |
Der Lösungsweg mag zwar schön sein und das Ergebnis (das Klavier passt nicht um die Ecke) stimmt auch mit meinem per GeoGebra ermittelten Ergebnis überein, nur habe ich keine Ahnung von Vektoren und das wird bei der Aufgabe auch noch nicht vorausgesetzt.
Ich bin natürlich trotzdem dankbar für das Ergebnis, weil es ja damit immerhin mal überhaupt irgendeinen Lösungsweg gibt. Aber hat vielleicht jemand einen Lösungsweg, der mit den Mitteln machbar ist, die mir zur Verfügung stehen (alles außer Vektoren)?
Mein eigener Ansatz Stellt sich ja inzwischen immer mehr als richtig heraus. Könnte es sein, dass meine Lösung richtig ist, nur ein bisschen kompliziert aussieht? Also ich wüsste aber ehrlich gesagt nicht, wie man diese meine ermittelte Funktion ableiten können soll, wenn man noch keine Ketten- und Quotientenregel hatte...
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> Dass in deiner Formel aber d gar nicht auftritt, ist
> sicher ein Fehler ! ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Hallo tuxor,
Gerade merke ich, dass du ja eine ganz andere
Funktion als Somebody und ich betrachtest.
Du hast die Länge e des Klaviers als gegeben
betrachtet und suchst die maximale Klavier-
Breite d für den Fall, dass das Klavier gerade
knapp durchgeschoben werden kann.
Somebody und ich haben es genau umgekehrt
gemacht: Klavierbreite d vorgeben, maximal
mögliche Klavierlänge suchen.
Deshalb war meine vorher hier geäusserte Kritik falsch.
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hallo tuxor,
ich habe deine Lösung nochmal geprüft, und sie
war so weit wirklich richtig. Nach der Vereinfachung
(Angela) ergab sich die Zielfunktion
[mm] d(\alpha)=a*cos(\alpha)+b*sin(\alpha)-e*sin(\alpha)*cos(\alpha)
[/mm]
für den Abstand d der Ecke E von der Geraden PQ.
Ich habe diese Formel auf anderem Weg (via Hessesche
Abstandsformel) bestätigt.
Die nachfolgende Extremalaufgabe soll nun klären,
wie gross der Abstand d minimal ist. Die Zielfunktion
[mm] d(\alpha) [/mm] ist nun sogar einfacher abzuleiten als meine,
da gar keine Brüche auftreten.
Der Rest ist einfach zu erledigen. Als Lösung habe ich
erhalten: [mm] \alpha [/mm] =0.8248... [mm] \approx [/mm] 47.3° d=0.5771
Dies entspricht offenbar deinem "experimentellen"
Resultat mit GeoGebra !
Ein Klavier der vorgegebenen Länge 157 cm dürfte also
höchstens 57 cm breit sein, um durchzupassen.
Umgekehrt: Ein 67 cm breites Klavier dürfte höchstens
134 cm lang sein. Der Winkel wäre dabei [mm] \alpha=0.7327... \approx [/mm] 42°.
Bei diesen beiden Fällen wird es also auch nicht beim
gleichen Winkelwert am engsten.
Wie bringt man das Klavier trotzdem "um die Ecke" ?
Man wird es aufstellen müssen (Klaviatur in der Vertikalen).
Ob das noch einigermassen "Piano-gerecht" ist,
weiss ich nicht ... 
![[hut]](/images/smileys/hut.gif "[hut]")
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> Wie bringt man das Klavier trotzdem "um die Ecke" ?
> Man wird es aufstellen müssen (Klaviatur in der
> Vertikalen).
> Ob das noch einigermassen "Piano-gerecht" ist,
> weiss ich nicht ...
Hallo,
dem Piano tut das nicht so arg weh, die Instrumente sind recht stabil.
Aber für die Träger ist so etwas überhaupt keine Freude, soviel kann ich Dir verraten.
Mein kleiner Pianoschatz wiegt 250 kg...
Gruß v. Angela
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hallo Somebody,
du bezeichnest in deiner Figur einen anderen Winkel
als den in der Figur zur Aufgabenstellung gegebenen
Winkel mit [mm] \alpha [/mm] ! (nämlich den Komplementärwinkel)
Die Formel für die Länge der Strecke [mm] \overline{PQ}, [/mm] die du
angibst, kann man auf die folgende Form bringen:
[mm] |\overline{PQ}|=\bruch{a}{cos(\alpha)}+\bruch{b}{sin(\alpha)}-\bruch{d}{sin(\alpha)*cos(\alpha)}
[/mm]
Mit der ursprünglichen Bedeutung von [mm] \alpha [/mm] würde
daraus die Formel:
[mm] |\overline{PQ}|=\bruch{a}{sin(\alpha)}+\bruch{b}{cos(\alpha)}-\bruch{d}{cos(\alpha)*sin(\alpha)}
[/mm]
Um diese Formel zu bekommen, braucht man nicht unbe-
dingt Vektorgeometrie. Man kann sie auch durch Betrachtung
geeigneter rechtwinkliger Dreiecke in der Figur (jener aus
der Aufgabenstellung !) herleiten.
LG al-Chw.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:18 Sa 23.08.2008 | | Autor: | Somebody |
> hallo Somebody,
>
> du bezeichnest in deiner Figur einen anderen Winkel
> als den in der Figur zur Aufgabenstellung gegebenen
> Winkel mit [mm]\alpha[/mm] ! (nämlich den Komplementärwinkel)
Ach, hoppla! - Tut mir leid.
>
> Die Formel für die Länge der Strecke [mm]\overline{PQ},[/mm] die du
> angibst, kann man auf die folgende Form bringen:
>
> [mm]|\overline{PQ}|=\bruch{a}{cos(\alpha)}+\bruch{b}{sin(\alpha)}-\bruch{d}{sin(\alpha)*cos(\alpha)}[/mm]
>
> Mit der ursprünglichen Bedeutung von [mm]\alpha[/mm] würde
> daraus die Formel:
>
> [mm]|\overline{PQ}|=\bruch{a}{sin(\alpha)}+\bruch{b}{cos(\alpha)}-\bruch{d}{cos(\alpha)*sin(\alpha)}[/mm]
>
> Um diese Formel zu bekommen, braucht man nicht unbe-
> dingt Vektorgeometrie. Man kann sie auch durch
> Betrachtung
> geeigneter rechtwinkliger Dreiecke in der Figur (jener
> aus
> der Aufgabenstellung !) herleiten.
Sicher kann man dies. Ich wollte eigentlich tuxor nur einen groben Hinweis geben, wie man auf eine zumindest auf den ersten Blick etwas einfachere Formel kommen kann, als diejenige, die er selbst angegeben hatte. Daraufhin hätte er meinen Vorschlag ja passend analysieren/kritisieren können und wäre dann wohl auf Deine über geeignete rechtwinklige Dreiecke verlaufende Herleitung gekommen (inklusive Korrektur meines Komplementwinkels).
Dass meine Herleitung der Längenformel an seinen (mir wie üblich nicht genauer bekannten) Stoffplan angepasst war, ist zwar bedauerlich, aber halt eine Möglichkeit, mit der man in diesem Forum doch wohl immer zu rechnen hat.
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Im Prinzip sind in der Aufgabe zu viele Angaben gemacht; daher dann die Frage, die man mit JA oder NEIN beantworten muss:
> Kann es um die Ecke E geschoben werden, wenn es einen
> rechteckigen Grundriss von 0,67m x 1,57m hat ?
Aber mal angekommen, du hättest nicht die Angabe, wie breit der untere Teil des Korridors (also b) ist.
Dann könnte man doch die Frage stellen: Wie breit muss b mindestens sein, damit das Klavier da durch passt?
In diesem Fall "kratzt" du mit den Ecken P und Q jeweils an der Wand lang (also: Q befindet sich zunächst ganz rechts oben in der Ecke und gleitet dann immer weiter runter, während P an der Wand oben nachzieht).
Und dann ermitteltst du jeweils, wo sich E befindet (den Abstand von E zur rechten E Wand).
Irgendwann ist dieser Abstand am größten - und so breit muss der untere Korridor mindestens sein, damikt das Klavier da durch passt.
Und nun vergleichst du diese Zahl mit den vorgegebenen b=0.9 m
Wenn deine ermittelte Mindestbreite kleiner oder gleich 0.9 m ist, dann passt das Klavier durch (Antwort ist dann JA).
Andernfalls musst du die Frage "Kann es um die Ecke E geschoben werden, wenn es einen rechteckigen Grundriss von 0,67m x 1,57m hat ?" mit NEIN beantworten.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:31 Sa 23.08.2008 | | Autor: | rabilein1 |
An Stelle von bkannst du natürlich auch jedes andere Extremum ermitteln.
Der Hinweis, der dir gegeben wurde lautete: "Stellen Sie die Länge der Strecke PQ als Funktion des Winkels dar und untersuchen Sie diese Funktion auf Minima"
Das heißt mit anderen Worten: Wie lang darf das Klavier höchtens sein, damit es um die Ecke transportiert werden kann?
Das rechnest du aus, und dann vergleichst du den Wert mit der vorgegebenen Klavierlänge, und siehst dann, ob es passen würde oder nicht.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:13 Sa 23.08.2008 | | Autor: | tuxor |
Also vielen Dank an euch alle für eure wertvollen und konstruktiven Hinweise. Ich denke, dass die von rabilein1 erwähnte Schwachstelle wirklich am Anfang einiges dazu beigetragen hat, dass ich nicht wusste, wie ich an die Aufgabe heranzugehen hatte.
Ist echt ein super Forum hier! :)
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> Also vielen Dank an euch alle für eure wertvollen und
> konstruktiven Hinweise. Ich denke, dass die von rabilein1
> erwähnte Schwachstelle wirklich am Anfang einiges dazu
> beigetragen hat, dass ich nicht wusste, wie ich an die
> Aufgabe heranzugehen hatte.
> Ist echt ein super Forum hier! :)
Hallo tuxor,
ich weiss nicht genau, was du mit "Schwachstelle" meinst.
Die Aufgabe als solche, so wie sie formuliert ist, finde ich
sehr gut - gerade auch deshalb, weil es nicht von vornherein
ein einfaches Schema gibt, nach dem man die Aufgabe ohne
wesentliche eigene Gedankengänge lösen kann.
LG
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