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(Frage) überfällig  | | Datum: | 11:47 Do 24.04.2008 | | Autor: | Riley |
Hallo,
ich hab eine Frage zu einem Beweis aus LA I. Und zwar haben wir gezeigt, dass [mm] sgn(\tau(i,j)) [/mm] = -1 ist für i [mm] \not=j, [/mm] d.h. sgn ist nichttrivialer Gruppenhomomorphismus [mm] S_n \rightarrow \{\pm 1 \}.
[/mm]
Zuerst schauten wir diesen Spezialfall an:
[mm] sgn(\tau(n-1,n)) [/mm] = [mm] \prod_{1 \leq i \leq j \leq n} \frac{ \tau(n-1,n)(i) - \tau(n-1,n)(j)}{i-j} [/mm] = -1.
Warum ist das -1?
Wir hatten die Definition für [mm] \pi \in S_n:
[/mm]
[mm] sgn(\pi) [/mm] = [mm] \begin{cases} 1, & \mbox{für } \pi = id_N \\ \prod_{1 \leq i \leq j \leq n}, & \mbox{für } \frac{ \pi(i) - \pi(j)}{i-j} (\in Q)\end{cases}
[/mm]
und [mm] \tau(i,j) [/mm] für i,j [mm] \in N=\{1,...,n\} [/mm] sei definert durch
[mm] \tau(i,j) [/mm] = [mm] \begin{cases} k, & \mbox{für } k \notin \{i,j\} \\ j, & \mbox{für } k=i \\ i, & \mbox{für } k=j \end{cases}
[/mm]
Der allgemeine Fall sieht dann wie folgt aus:
k [mm] \not= [/mm] l [mm] \in [/mm] N, wähle [mm] \sigma \in S_n:
[/mm]
[mm] \sigma(k) [/mm] = n-1, [mm] \sigma(l) [/mm] = n, [mm] \tau(k,l) [/mm] = [mm] \sigma^{-1} \tau(n-1,n) \sigma
[/mm]
Warum sieht das [mm] \tau [/mm] dann so aus?
naja, und der letzte Schritt:
[mm] sgn(\tau(k,l)) [/mm] = [mm] sgn(\sigma^{-1} \tau(n-1,n) \sigma) [/mm]
= [mm] sgn(\sigma^{-1}) sgn(\tau(n-1),n)) sgn(\sigma) [/mm] = -1.
Wär super, wenn mir jemand die Fragen zu den Zwischenschritten beantworten könnte, sonst kann ich die letzten Zeilen nie verstehen...
Viele Grüße,
Riley
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:20 So 27.04.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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